初二數(shù)學(xué)平行線難題訓(xùn)練

1、一選擇題（共1小題）1（2014春山西校級(jí)期中）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°，那么這兩個(gè)角是（）A42°、138°B都是10°C42°、138°或42°、10°D以上都不對二解答題（共28小題）2（2015六盤水）如圖，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)B在l2上設(shè)ABC1的面積為S1，ABC2的面積為S2，ABC3的面積為S3，小穎認(rèn)為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由3（2014春宜昌校級(jí)期中）如圖，直線EFGH，點(diǎn)B、A分別

2、在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中ACB=90°，且DAB=BAC，直線BD平分FBC交直線GH于D（1）若點(diǎn)C恰在EF上，如圖1，則DBA=_（2）將A點(diǎn)向左移動(dòng)，其它條件不變，如圖2，設(shè)BAD=試求EBC和PBC的大?。ㄓ帽硎荆﹩朌BA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求DBA的值；若變化，說明理由（3）若將題目條件“ACB=90°”，改為：“ACB=”，其它條件不變，那么DBA=_（直接寫出結(jié)果，不必證明）4（2014春雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在ABC邊AB，AC上，CBD=CDB，DEBC，CDE的平分線交AC于F點(diǎn)（1）求證：DBF

3、+DFB=90°；（2）如圖，如果ACD的平分線與AB交于G點(diǎn)，BGC=50°，求DEC的度數(shù)（3）如圖，如果H點(diǎn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），AH交DC于M點(diǎn)，CAH的平分線AI交DF于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值5如圖所示，直線AEBD，點(diǎn)C在BD上，若AE=7，BD=3，ABD的面積為12，求ACE的面積6（1）如圖，如果直線l1l2，那么三角形ABC與三角形ABC面積相等嗎？為什么？（2）如圖，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，BC和BC在同一直線上，這兩個(gè)平行四邊形的面積相等

4、嗎？為什么？7（2016春平定縣期末）如圖，已知直線l1l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P 在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合記AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：3=1+2；（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請直接寫出1、2、3之間的關(guān)系；（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫出1、2、3之間的關(guān)系并給予證明8（2016春滑縣期中）如圖所示，已知ABCD，分別探究下面圖形中APC，PAB，PCD的關(guān)系，請你從四個(gè)圖形中任選一個(gè)，說明你所探究的結(jié)論的正確性結(jié)論：（1）_（2）_（3）_（4）_選擇結(jié)論_，說明理由9（2016春威海期中）

5、如圖，已知ABCD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中P=90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F（1）當(dāng)PMN所放位置如圖所示時(shí)，則PFD與AEM的數(shù)量關(guān)系為_；（2）當(dāng)PMN所放位置如圖所示時(shí)，求證：PFDAEM=90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且DON=30°，PEB=15°，求N的度數(shù)10（2015秋渠縣期末）如圖，ABCD，CDE=121°，GF交DEB的平分線EF于點(diǎn)F，AGF=140°，求F的度數(shù)11（2015春武安市期末）探索：小明和小亮在研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題：已知ABCD，AB和CD都不經(jīng)過點(diǎn)P

6、，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：APC=A+C； 小明是這樣證明的：過點(diǎn)P作PQABAPQ=A（_）PQAB，ABCDPQCD（_）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C小亮是這樣證明的：過點(diǎn)作PQABCDAPQ=A，CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C請?jiān)谏厦孀C明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是_應(yīng)用：在圖2中，若A=120°，C=140°，則P的度數(shù)為_；在圖3中，若A=30°，C=70°，則P的度數(shù)為_；拓展：在圖4中，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由12（201

7、5春江西校級(jí)期中）已知ADBC，ABCD，E為射線BC上一點(diǎn)，AE平分BAD（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：BAE=BEA（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上時(shí)，連接DE，若ADE=3CDE，AED=60°求證：ABC=ADC；求CED的度數(shù)13（2015秋連云港校級(jí)月考）探究題：（1）如圖1，若ABCD，則B+D=E，你能說明理由嗎？（2）反之，若B+D=E，直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系？簡要說明理由（3）若將點(diǎn)E移至圖2的位置，此時(shí)B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（4）若將點(diǎn)E移至圖3的位置，此時(shí)B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（5）在圖4中，ABCD

8、，E+G與B+F+D之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論14（2015秋連云港校級(jí)月考）如圖，已知OABE，OB平分AOE，4=5，2與3互余；那么DE和CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？15（2015秋連云港校級(jí)月考）（1）根據(jù)下列敘述填依據(jù)：已知：如圖，ABCD，B+BFE=180°，求B+BFD+D的度數(shù)解：因?yàn)锽+BFE=180°所以ABEF（_）因?yàn)锳BCD（_）所以CDEF（_）所以CDF+DFE=180°（_）所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360°（2）根據(jù)以上解答進(jìn)行探索，如圖，ABEF，BDF與B、F有何數(shù)量關(guān)系（3）你能探索處圖、圖兩

9、個(gè)圖形中，BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出來16（2014春路北區(qū)期末）已知直線ABCD，（1）如圖1，點(diǎn)E在直線BD上的左側(cè)，直接寫出ABE，CDE和BED之間的數(shù)量關(guān)系是_（2）如圖2，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分ABE，CDE，直接寫出BFD和BED的數(shù)量關(guān)系是_（3）如圖3，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)BF，DF仍平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由17（2014春濱湖區(qū)期末）如圖1，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分ADC，BE平分ABC，直線DE、BE交于點(diǎn)E，CBN=100°（1）若ADQ=13

10、0°，求BED的度數(shù)；（2）將線段AD沿DC方向平移，使得點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，若ADQ=n°，求BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）18（2014春龍崗區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知ABDE，若ABC=60°，CDE=140°，求BCD的度數(shù)19（2013春蕭山區(qū)期末）如圖，射線OA射線CB，C=OAB=100°點(diǎn)D、E在線段CB上，且DOB=BOA，OE平分DOC（1）試說明ABOC的理由；（2）試求BOE的度數(shù)；（3）平移線段AB；試問OBC：ODC的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不會(huì)，請求出這個(gè)比值；若會(huì)，請找出相應(yīng)變化規(guī)律若在平移過程中存在某種

11、情況使得OEC=OBA，試求此時(shí)OEC的度數(shù)20（2012春瀘州期中）如圖，ABCD，點(diǎn)M是線段EF上一點(diǎn)，若點(diǎn)N是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)N不與F重合）（1）當(dāng)點(diǎn)N在射線FC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：FMN+FNM=AEF；（2）當(dāng)點(diǎn)N在射線FD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想FMN+FNM 與AEF有什么關(guān)系？并說明理由21（2012春北塘區(qū)校級(jí)期中）如圖，DH交BF于點(diǎn)E，CH交BF于點(diǎn)G，1=2，3=4，B=5試判斷CH和DF的位置關(guān)系并說明理由22（2011秋泉港區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在直線CM、DN上，CMDN（1）如圖1，連接AB，則CAB+ABD=_；（2）如圖2，點(diǎn)P1是直線CM、DN內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，

12、連接AP1、BP1求證：CAP1+AP1B+P1BD=360°；（3）如圖3，點(diǎn)P1、P2是直線CM、DN內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)，連接AP1、P1P2、P2B試求CAP1+AP1P2+P1P2B+P2BD的度數(shù)；（4）若按以上規(guī)律，猜想并直接寫出CAP1+AP1P2+P5BD的度數(shù)（不必寫出過程）23（2011春灌陽縣期中）如圖：AE平分DAC，DAC=120°，C=60°，AE與BC平行嗎？為什么？24（2011春薌城區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)圖形及題意填空，并在括號(hào)里寫上理由已知：如圖，ADBC，AD平分EAC試說明：B=C解：AD平分EAC（已知）1=2（角平分線的定義）ADB

13、C（已知）_=_（_）_=_（_）B=C25（2009春鄂州校級(jí)期中）如圖EFC+BDC=180°，AED=ACB，則DEF=B，為什么？26如圖，六邊形ABCDEF中，A=D，B=E，C=F求證：AFCD，ABDE，BCEF27已知，如圖，直線ABCD，直線EFAB，點(diǎn)M在CD上，MP平分GMC，PN平分EGM，且CMG+MGF=90°（1）若MGN=75°，CMG=60°，求MPN的度數(shù)；（2）若MGF=30°，CMG=60°，求MPN的度數(shù)；（3）若點(diǎn)M在直線CD軸上移動(dòng)，MPN的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請給出證明；如果

14、發(fā)生變化，請求出變化范圍28如圖1，ABCD，在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF（1）求證：AEP+CFP=EPF（2）如圖2，已知BEP的平分線與DFP的平分線相交于點(diǎn)Q，試探索EPF與EQF之間的關(guān)系（3）如圖3，已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，則P與Q有什么關(guān)系，說明理由（4）已知BEQ=BEP，DFQ=DFP，有P與Q的關(guān)系為_（直接寫結(jié)論）29已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)F，E，EM平FED，ABCD，H，P分別為直線AB和線段EF上的點(diǎn)（1）如圖1，HM平分BHP，若HPEF，求M的度數(shù)（2）如圖2，EN平分HEF交AB于點(diǎn)N，NQEM于點(diǎn)Q，當(dāng)H在直線AB上運(yùn)動(dòng)（不

15、與點(diǎn)F重合）時(shí)，探究FHE與ENQ的關(guān)系，并證明你的結(jié)論初二數(shù)學(xué)平行線難題訓(xùn)練參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1（2014春山西校級(jí)期中）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°，那么這兩個(gè)角是（）A42°、138°B都是10°C42°、138°或42°、10°D以上都不對【分析】根據(jù)兩邊分別平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)列方程求解【解答】解：設(shè)另一個(gè)角為x，則這一個(gè)角為4x30°，（1）兩個(gè)角相等，則x=4x30°，解得x=10°，4x30°=4

16、5;10°30°=10°；（2）兩個(gè)角互補(bǔ)，則x+（4x30°）=180°，解得x=42°，4x30°=4×42°30°=138°所以這兩個(gè)角是42°、138°或10°、10°以上答案都不對故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要運(yùn)用兩邊分別平行的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，學(xué)生容易忽視互補(bǔ)的情況而導(dǎo)致出錯(cuò)二解答題（共28小題）2（2015六盤水）如圖，已知，l1l2，C1在l1上，并且C1Al2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)B在l2上設(shè)ABC1的面積為S1，A

17、BC2的面積為S2，ABC3的面積為S3，小穎認(rèn)為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，即可解答【解答】解：直線l1l2，ABC1，ABC2，ABC3的底邊AB上的高相等，ABC1，ABC2，ABC3這3個(gè)三角形同底，等高，ABC1，ABC2，ABC3這些三角形的面積相等即S1=S2=S3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線之間的距離，解集本題本題的關(guān)鍵是明確兩平行線間的距離相等3（2014春宜昌校級(jí)期中）如圖，直線EFGH，點(diǎn)B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中ACB=90°，且DAB=BAC，直線BD平分FBC交直線GH于D（1

18、）若點(diǎn)C恰在EF上，如圖1，則DBA=45°（2）將A點(diǎn)向左移動(dòng)，其它條件不變，如圖2，設(shè)BAD=試求EBC和PBC的大?。ㄓ帽硎荆﹩朌BA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求DBA的值；若變化，說明理由（3）若將題目條件“ACB=90°”，改為：“ACB=”，其它條件不變，那么DBA=（直接寫出結(jié)果，不必證明）【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出CAD=90°，然后求出BAC=45°，從而得到ABC=45°，再根據(jù)BD平分FBC求出DBC=90°，然后求解即可；（2）EFGH，得出2=3，進(jìn)一步得出1=3，利用三角形的內(nèi)角和得出

19、EBC，利用平角的意義得出PBC；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得2=3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出4，然后表示5，再利用平角等于180°列式表示出DBA整理即可得解（3）根據(jù)（2）的結(jié)論計(jì)算即可得解【解答】解：（1）EFGH，CAD=180°ACB=180°90°=90°，DAB=BAC，BAC=45°，ABC=45°，BD平分FBC，DBC=×180°=90°，DBA=90°45°=45°；（2）如圖，EFGH，2=3，1=2=，1=3=，ACB=90

20、6;，EBC=90°13=90°2，PBC=（180°EBC）=45°+；設(shè)DAB=BAC=x，即1=2=x，EFGH，2=3，在ABC內(nèi)，4=180°ACB13=180°ACB2x，直線BD平分FBC，5=（180°4）=（180°180°+ACB+2x）=ACB+x，DBA=180°345，=180°x（180°ACB2x）（ACB+x），=180°x180°+ACB+2xACBx，=ACB，=×90°，=45°；（3）由

21、（2）可知，設(shè)DAB=BAC=x，即1=2=x，EFGH，2=3，在ABC內(nèi)，4=180°ACB13=180°ACB2x，直線BD平分FBC，5=（180°4）=（180°180°+ACB+2x）=ACB+x，DBA=180°345，=180°x（180°ACB2x）（ACB+x），=180°x180°+ACB+2xACBx，=ACB，ACB=時(shí)，DBA=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵4（2014春雁塔區(qū)校級(jí)期中

22、）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在ABC邊AB，AC上，CBD=CDB，DEBC，CDE的平分線交AC于F點(diǎn)（1）求證：DBF+DFB=90°；（2）如圖，如果ACD的平分線與AB交于G點(diǎn)，BGC=50°，求DEC的度數(shù)（3）如圖，如果H點(diǎn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），AH交DC于M點(diǎn)，CAH的平分線AI交DF于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值【分析】（1）根據(jù)DEBC，得到EDB+DBC=180°，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；（2）根據(jù)FDAB，BGC=50°，得到DHG=40°，利用

23、外角的性質(zhì)得到FDC+HCD=50°，再根據(jù)DF平分EDC，CG平分ACD，得到EDC=2FDC，ACD=2HCD，得到EDC+ACD=2（FDC+HCD）=100°，利用三角形內(nèi)角和為180°，DEC=180°（EDC+ACD）=180°100°=80°（3）不變，根據(jù)DMH+DEC=2（ADF+DAN），ANF=ADF+DAN，即可解答【解答】解：（1）如圖1，DEBC，EDB+DBC=180°，EDF+FDC+CDB+DBC=180°，CDB=DBC，EDF=FDC，2FDC+2CDB=180

24、76;，F(xiàn)DC+CDB=90°，F(xiàn)DBD，DBF+DFB=90°（2）如圖2，BGC=50°，F(xiàn)DBD，DHG=40°，F(xiàn)DC+HCD=40°，DF平分EDC，CG平分ACD，EDC=2FDC，ACD=2HCD，EDC+ACD=2（FDC+HCD）=80°，DEC=180°（EDC+ACD）=180°80°=100°（3）不變，如圖3，DMH+DEC=2（ADF+DAN），ANF=ADF+DAN，=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是利

25、用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系5如圖所示，直線AEBD，點(diǎn)C在BD上，若AE=7，BD=3，ABD的面積為12，求ACE的面積【分析】根據(jù)兩平行線間的距離相等，可知兩個(gè)三角形的高相等，所以根據(jù)ABD的面積可求出高，然后求ACE的面積即可【解答】解：在ABD中，當(dāng)BD為底時(shí)，設(shè)高為h，在AEC中，當(dāng)AE為底時(shí)，設(shè)高為h，AEBD，h=h，ABD的面積為12，BD=3，h=8，ACE的面積為：=28【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩平行線之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩平行線間的距離相等求出高6（1）如圖，如果直線l1l2，那么三角形ABC與三角形ABC面積相等嗎？為什么？（2）如圖，平行四邊形AB

26、CD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，BC和BC在同一直線上，這兩個(gè)平行四邊形的面積相等嗎？為什么？【分析】（1）ABC和ABC的底邊都為BC，由于平行線間的距離處處相等，所以ABC和ABC的BC邊上的高相等，所以ABC和DBC的面積相等（2）平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD有一條公共邊AD，四邊形ABCD為平行四邊形，所以ADBC，由于平行線間的距離處處相等，所以平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD的高相等，即可解答【解答】解：（1）相等；L1L2，L1，L2之間的距離是固定的，ABC和ABC的BC邊上的高相等，ABC和ABC的面積相等；（2）四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC

27、，AD和BC之間的距離是固定的，BC和BC在同一直線上，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD公共邊AD邊上的高相等，平行四邊形ABCD與平行四邊形ABCD面積相等【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線間的距離解決本題的關(guān)鍵是明確平行線間的距離處處相等7（2016春平定縣期末）如圖，已知直線l1l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P 在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、C、D重合記AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：3=1+2；（2）若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，請直接寫出1、2、3之間的關(guān)系；（3）若點(diǎn)P在圖（3）位置時(shí)，寫出1、2、3之間的關(guān)系并給予證明

28、【分析】此題三個(gè)小題的解題思路是一致的，過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和1、2相等的角，然后結(jié)合這些等角和3的位置關(guān)系，來得出1、2、3的數(shù)量關(guān)系【解答】證明：（1）過P作PQl1l2，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，3=1+2（2）關(guān)系：3=21；過P作直線PQl1l2，則：1=QPE、2=QPF；3=QPFQPE，3=21（3）關(guān)系：3=360°12過P作PQl1l2；同（1）可證得：3=CEP+DFP；CEP+1=180°，DFP+2=180°，CEP+DFP+1+2=360°，即3=

29、360°12【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是平行線的性質(zhì)，能夠正確地作出輔助線，是解決問題的關(guān)鍵8（2016春滑縣期中）如圖所示，已知ABCD，分別探究下面圖形中APC，PAB，PCD的關(guān)系，請你從四個(gè)圖形中任選一個(gè)，說明你所探究的結(jié)論的正確性結(jié)論：（1）APC+PAB+PCD=360°（2）APC=PAB+PCD（3）PCD=APC+PAB（4）PAB=APC+PCD選擇結(jié)論（1），說明理由【分析】（1）過點(diǎn)P作PEAB，則ABPECD，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答；（2）過點(diǎn)P作lAB，則ABCDl，再根據(jù)兩直線內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答；（3）根據(jù)ABCD，可得出PEB=PC

30、D，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；（4）根據(jù)ABCD，可得出PAB=PFD，再根據(jù)PFD是CPF的外角，由三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；選擇中任意一個(gè)進(jìn)行證明即可【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PEAB，則ABPECD，1+PAB=180°，2+PCD=180°，APC+PAB+PCD=360°；（2）過點(diǎn)P作直線lAB，ABCD，ABPECD，PAB=3，PCD=4，APC=PAB+PCD；（3）ABCD，PEB=PCD，PEB是APE的外角，PEB=PAB+APC，PCD=APC+PAB；（4）ABCD，PAB=PFD，PFD是CPF的外角，PCD+APC=PFD，P

31、AB=APC+PCD選擇結(jié)論（1），證明同上【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵9（2016春威海期中）如圖，已知ABCD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中P=90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F（1）當(dāng)PMN所放位置如圖所示時(shí)，則PFD與AEM的數(shù)量關(guān)系為PFD+AEM=90°；（2）當(dāng)PMN所放位置如圖所示時(shí)，求證：PFDAEM=90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且DON=30°，PEB=15°，求N的度數(shù)【分析】（1）由平行線的性

32、質(zhì)得出PFD=1，2=AEM，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出PFD+1=180°，再由角的互余關(guān)系即可得出結(jié)果；（3）由角的互余關(guān)系求出PHE，再由平行線的性質(zhì)得出PFC的度數(shù)，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：（1）作PGAB，如圖所示：則PGCD，PFD=1，2=AEM，1+2=P=90°，PFD+AEM=1+2=90°，故答案為：PFD+AEM；（2）證明：如圖所示：ABCD，PFD+BHF=180°，P=90°，BHF+2=90°，2=AEM，BHF=PHE=90°AEM，PFD+90°

33、AEM=180°，PFDAEM=90°；（3）如圖所示：P=90°，PHE=90°FEB=90°15°=75°，ABCD，PFC=PHE=75°，PFC=N+DON，N=75°30°=45°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的互余關(guān)系；熟練掌握平行線的性質(zhì)，弄清角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵10（2015秋渠縣期末）如圖，ABCD，CDE=121°，GF交DEB的平分線EF于點(diǎn)F，AGF=140°，求F的度數(shù)【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出AED與DEB的度數(shù)，再由

34、角平分線的性質(zhì)求出DEF的度數(shù)，進(jìn)而可得出GEF的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論【解答】解：ABCD，CDE=121°，AED=180°121°=59°，DEB=121°GF交DEB的平分線EF于點(diǎn)F，DEF=×121°=60.5°，GEF=59°+60.5°=119.5°AGF=140°，F(xiàn)=AGFGEF=140°119.5°=20.5°【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)；熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

35、內(nèi)錯(cuò)角相等是解決問題的關(guān)鍵11（2015春武安市期末）探索：小明和小亮在研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題：已知ABCD，AB和CD都不經(jīng)過點(diǎn)P，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：APC=A+C； 小明是這樣證明的：過點(diǎn)P作PQABAPQ=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）PQAB，ABCDPQCD（平行于同一直線的兩直線平行）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C小亮是這樣證明的：過點(diǎn)作PQABCDAPQ=A，CPQ=CAPQ+CPQ=A+C 即APC=A+C請?jiān)谏厦孀C明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法應(yīng)用：在圖2中，若A=120°

36、，C=140°，則P的度數(shù)為100°；在圖3中，若A=30°，C=70°，則P的度數(shù)為40°；拓展：在圖4中，探索P與A，C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【分析】過點(diǎn)P作AB的平行線，用相似的證明方法運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可【解答】解：如圖1，過點(diǎn)P作PQAB，APQ=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）PQAB，ABCDPQCD（平行于同一直線的兩直線平行）CPQ=CAPQ+CPQ=A+C即APC=A+C，故兩人的證明過程中，完全正確的是小明的證法；如圖2，過點(diǎn)P作PEAB，APE+A=180°，A=120°，APE=60°

37、，PEAB，ABCDPECD（平行于同一直線的兩直線平行）CPE+C=180°，C=140°，CPE=40°，APC=APE+CPE=100°；如圖3，過點(diǎn)P作PFAB，APF=A，PFAB，ABCDPFCD，CPF=CCPFAPF=CA即APC=CA=40°；如圖4，過點(diǎn)P作PGAB，APG+A=180°，APG=180°APGAB，ABCD，PGCD，（平行于同一直線的兩直線平行）CPG+C=180°，CPG=180°CAPC=CPGAPG=AC【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)：兩直

38、線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵12（2015春江西校級(jí)期中）已知ADBC，ABCD，E為射線BC上一點(diǎn)，AE平分BAD（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，求證：BAE=BEA（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上時(shí)，連接DE，若ADE=3CDE，AED=60°求證：ABC=ADC；求CED的度數(shù)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BAE=EAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AEB=EAD，等量代換即可求解；（2）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；根據(jù)ADE=3CDE，設(shè)CDE=x°，ADE=3x

39、6;，ADC=2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出方程90x+60+3x=180，求出x即可【解答】（1）證明：AE平分BAD，BAE=EAD，ADBC，AEB=EAD，BAE=BEA；（2）證明：ADBC，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，ABC=ADC；解：ADE=3CDE，設(shè)CDE=x°，ADE=3x°，ADC=2x°，ABCD，BAD+ADC=180°，DAB=180°2x°，DAE=BAE=BEA=90°x°，又ADBC，BED+ADE=180°，AED=60°，即90x+60+

40、3x=180，CDE=x°=15°，ADE=45°，ADBC，CED=180°ADE=135°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，用了方程的思想，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵13（2015秋連云港校級(jí)月考）探究題：（1）如圖1，若ABCD，則B+D=E，你能說明理由嗎？（2）反之，若B+D=E，直線AB與直線CD有什么位置關(guān)系？簡要說明理由（3）若將點(diǎn)E移至圖2的位置，此時(shí)B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（4）若將點(diǎn)E移至圖3的位置，此時(shí)B、D、E之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論（5）在圖4中，ABCD，E+G與B+

41、F+D之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論【分析】（1）首先作EFAB，根據(jù)ABCD，可得EFCD，據(jù)此分別判斷出B=1，D=2，即可判斷出B+D=E，據(jù)此解答即可（2）首先作EFAB，即可判斷出B=1；然后根據(jù)E=1+2=B+D，可得D=2，據(jù)此判斷出EFCD，再根據(jù)EFAB，可得ABCD，據(jù)此判斷即可（3）首先過E作EFAB，即可判斷出BEF+B=180°，然后根據(jù)EFCD，可得D+DEF=180°，據(jù)此判斷出E+B+D=360°即可（4）首先根據(jù)ABCD，可得B=BFD；然后根據(jù)D+E=BFD，可得D+E=B，據(jù)此解答即可（5）首先作EMAB，F(xiàn)NAB，GPAB，根據(jù)

42、ABCD，可得B=1，2=3，4=5，6=D，所以1+2+5+6=B+3+4+D；然后根據(jù)1+2=E，5+6=G，3+4=F，可得E+G=B+F+D，據(jù)此判斷即可【解答】解：（1）如圖1，作EFAB，ABCD，B=1，ABCD，EFAB，EFCD，D=2，B+D=1+2，又1+2=E，B+D=E（2）如圖2，作EFAB，EFAB，B=1，E=1+2=B+D，D=2，EFCD，又EFAB，ABCD（3）如圖3，過E作EFAB，EFAB，BEF+B=180°，EFCD，D+DEF=180°，BEF+DEF=E，E+B+D=180°+180°=360°

43、; （4）如圖4，ABCD，B=BFD，D+E=BFD，D+E=B（5）如圖5，作EMAB，F(xiàn)NAB，GPAB，又ABCD，B=1，2=3，4=5，6=D，1+2+5+6=B+3+4+D；1+2=E，5+6=G，3+4=F，E+G=B+F+D【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等（2）定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（3）定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等14（2015秋連云港

44、校級(jí)月考）如圖，已知OABE，OB平分AOE，4=5，2與3互余；那么DE和CD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【分析】猜想到DECD，只須證明6=90°即可利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等量代換可以證得2=5；然后根據(jù)外角定理可以求得6=2+3=90°，即DECD【解答】解：DECD，理由如下：OABE（已知），1=4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；又OB平分AOE，1=2；又4=5，2=5（等量代換）；DEOB（已知），6=2+3（外角定理）；又2+3=90°，6=90°，DECD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線、平行線的判定與性質(zhì)解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)

45、和判定定理的綜合運(yùn)用15（2015秋連云港校級(jí)月考）（1）根據(jù)下列敘述填依據(jù)：已知：如圖，ABCD，B+BFE=180°，求B+BFD+D的度數(shù)解：因?yàn)锽+BFE=180°所以ABEF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）因?yàn)锳BCD（已知）所以CDEF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行）所以CDF+DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360°（2）根據(jù)以上解答進(jìn)行探索，如圖，ABEF，BDF與B、F有何數(shù)量關(guān)系（3）你能探索處圖、圖兩個(gè)圖形中，BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系嗎？請寫出來【分析】（1

46、）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定填空即可；（2）過點(diǎn)D作AB的平行線DC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等證明即可；（3）與（2）的證明方法類似，可以求出BDF與B、F的數(shù)量關(guān)系【解答】解：因?yàn)锽+BFE=180°，所以ABEF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 ），因?yàn)锳BCD（已知），所以CDEF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行），所以CDF+DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），所以B+BFD+D=B+BFE+EFD+D=360°；（2）過點(diǎn)D作AB的平行線DC，因?yàn)锳BEF，所以B=BDC，因?yàn)锳BEF，所以CDEF，所以F=FDC，所以BDF=B

47、+F（3）過點(diǎn)D作AB的平行線DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證明圖BDF+B=F；圖BDF+B=F【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵解答本題時(shí)，注意類比思想的運(yùn)用16（2014春路北區(qū)期末）已知直線ABCD，（1）如圖1，點(diǎn)E在直線BD上的左側(cè)，直接寫出ABE，CDE和BED之間的數(shù)量關(guān)系是ABE+CDE=BED（2）如圖2，點(diǎn)E在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分ABE，CDE，直接寫出BFD和BED的數(shù)量關(guān)系是BFD=BED（3）如圖3，點(diǎn)E在直線BD的右側(cè)BF，DF仍平分ABE，CDE，那么BFD和BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由【分析】（1）首先作EFAB

48、，根據(jù)直線ABCD，可得EFCD，所以ABE=1，CDE=2，據(jù)此推得ABE+CDE=BED即可（2）首先根據(jù)BF，DF分別平分ABE，CDE，推得ABF+CFD=（ABE+CDE）；然后由（1），可得BFD=ABF+CFD，BED=ABE+CDE，據(jù)此推得BFD=BED（3）首先過點(diǎn)E作EGCD，再根據(jù)ABCD，EGCD，推得ABCDEG，所以ABE+BEG=180°，CDE+DEG=180°，據(jù)此推得ABE+CDE+BED=360°；然后根據(jù)BFD=ABF+CDF，以及BF，DF分別平分ABE，CDE，推得2BFD+BED=360°即可【解答】解：（

49、1）如圖1，作EFAB，直線ABCD，EFCD，ABE=1，CDE=2，ABE+CDE=1+2=BED，即ABE+CDE=BED（2）如圖2，BF，DF分別平分ABE，CDE，ABF=ABE，CFD=CDE，ABF+CFD=ABE+CDE=（ABE+CDE）由（1），可得BFD=ABF+CFD=（ABE+CDE）BED=ABE+CDE，BFD=BED（3）如圖3，過點(diǎn)E作EGCD，ABCD，EGCD，ABCDEG，ABE+BEG=180°，CDE+DEG=180°，ABE+CDE+BED=360°，由（1）知，BFD=ABF+CDF，又BF，DF分別平分ABE，C

50、DE，ABF=ABE，CDF=CDE，BFD=（ABE+CDE），2BFD+BED=360°故答案為：ABE+CDE=BED、BFD=BED【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡單說成：兩直線平行，同位角相等定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等17（2014春濱湖區(qū)期末）如圖1，已知MNPQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分ADC，BE平分ABC，

51、直線DE、BE交于點(diǎn)E，CBN=100°（1）若ADQ=130°，求BED的度數(shù)；（2）將線段AD沿DC方向平移，使得點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，若ADQ=n°，求BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）【分析】（1）過點(diǎn)E作EFPQ，由平行線的性質(zhì)及角平分線求得DEF和FEB，即可求出BED的度數(shù)，（2）過點(diǎn)E作EFPQ，由平行線的性質(zhì)及角平分線求得DEF和FEB，即可求出BED的度數(shù)，【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EFPQ，CBN=100°，ADQ=130°，CBM=80°，ADP=50°，DE平分ADC，BE平分AB

52、C，EBM=CBM=40°，EDP=ADP=25°，EFPQ，DEF=EDP=25°，EFPQ，MNPQ，EFMNFEB=EBM=40°BED=25°+40°=65°； （2）如圖2，過點(diǎn)E作EFPQ，CBN=100°，CBM=80°，DE平分ADC，BE平分ABC，EBM=CBM=40°，EDQ=ADQ=n°，EFPQ，DEF=180°EDQ=180°n°，EFPQ，MNPQ，EFMN，F(xiàn)EB=EBM=40°，BED=180°n°+40°=220°n°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，運(yùn)用角平分線與平行線的性質(zhì)相結(jié)合來求BED解題的關(guān)鍵18（2014春龍崗區(qū)校級(jí)期中）如圖：已知ABDE，若ABC=60°，CDE=140°，求BCD的度數(shù)【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及三角形外角和定理即可解答【解答】解：反向延長DE交BC于M，ABDE，BMD=ABC=60°，CMD=180°BMD=120°；又CDE=CMD