數(shù)列放縮大題及詳細解析

1、試卷副標(biāo)題1（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=3an，nN*設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求數(shù)列an，bn的通項公式；（）設(shè)cn=bnlog3an，求數(shù)列cn的前n項和Tn；（）證明：對任意nN*且n2，有+2（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且，為等比數(shù)列（）求證：是等差數(shù)列；（）求的取值范圍3（本小題滿分14分）已知為數(shù)列的前項和，（），且（1）求的值；（2）求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：4（本小題滿分12分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，其前項和為，且，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，

2、為數(shù)列的前項和，若恒成立，求的最大值.5（本小題滿分16分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，且恰好是等比數(shù)列的前三項（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍6已知數(shù)列滿足,，（1）求證：是等差數(shù)列；（2）證明：7（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項之和為（），且滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求證：參考答案1（）an=3n1bn=2n1（）Tn=(n2)2n+2（）見解析.【解析】試題分析：（）由已知an是公比為3，首項a1=1的等比數(shù)列；討論知，bn是公比為2，首項b1=1的等比數(shù)列得到它們通項公式（）已有cn=bn

3、log3an=2n1log33n1=(n1)2n1，故利用“錯位相減法”求和.（）由=，故可利用“放縮法”：+=(1)試題解析：（）an+1=3an，an是公比為3，首項a1=1的等比數(shù)列，通項公式為an=3n12分2bnb1=S1Sn，當(dāng)n=1時，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=13分當(dāng)n1時，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比為2，首項b1=1的等比數(shù)列，通項公式為bn=2n15分（）cn=bnlog3an=2n1log33n1=(n1)2n1，6分Tn=020+121+222+(n2)2n2+(n1)2n12Tn=021+122+223+(n2)

4、2n1+(n1)2n得：Tn=020+21+22+23+2n1(n1)2n=2n2(n1)2n=2(n2)2nTn=(n2)2n+210分（）=+=(1)14分考點：1.數(shù)列的通項；2.等比數(shù)列及其通項公式；3.數(shù)列的求和、“錯位相減法”.2（）見解析；（）【解析】試題分析：（）由為等比數(shù)列可得，兩邊同除得，故是等差數(shù)列；（）典型的用錯位相減法求解，兩式相減，當(dāng)時，從第1項開始遞增,試題解析：（），是以為首項，公差的等差數(shù)列6分（），由-得8分當(dāng)時，從第1項開始遞增,12分考點：等差數(shù)列的定義、錯位相減法求數(shù)列的和3（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】試題分析：（1）令即可求出的值；（2）

5、先利用（）轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式可得數(shù)列的通項公式，進而即可得數(shù)列的前項和；（3）先將放縮，化簡，利用裂項法，即可證明試題解析：（1）解：由和可得2分（2）解法1：當(dāng)時，由得4分6分?jǐn)?shù)列是首項，公差為6的等差數(shù)列7分8分解法2：當(dāng)時，由4分可得6分?jǐn)?shù)列是首項,公差為3的等差數(shù)列，即8分（3）證明：10分11分13分命題得證14分考點：1、等差數(shù)列的通項公式；2、等差數(shù)列的前項和公式；3、數(shù)列的求和；4、不等式的證明.4(1)；（2）的最大值1.【解析】試題分析：(1)等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤

6、其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換的思想簡化運算過程；（2）解題時要善于類比要能正確區(qū)分等差、等比的性質(zhì)，不要把兩者的性質(zhì)搞混了；（3）一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（4）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）恒成立，（2）恒成立.試題解析：（1）由題意可知：當(dāng)時，不符合題意；1分當(dāng)時，2分，,3分，.4分（2），5分（1）（2）得：6分8分恒成立，只需9分為遞增數(shù)列，當(dāng)時，11分，的最大值為.12分考點：1、等比數(shù)列的前項和公式；2、

7、錯位相減求數(shù)列的和；3、恒成立的問題.5（1），（2）【解析】試題分析：（1）利用數(shù)列和項與通項關(guān)系，求數(shù)列遞推關(guān)系：，當(dāng)時，恒成立，利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項公式：當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列.，由條件可知，因此，最后根據(jù)等比數(shù)列通項公式，利用待定系數(shù)法求解：（2）不等式恒成立問題，先化簡不等式：對恒成立，對恒成立，再研究數(shù)列的最值，這首先需研究其單調(diào)性：，當(dāng)時，當(dāng)時，試題解析：（1），當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列.3分構(gòu)成等比數(shù)列，解得，5分當(dāng)時，由條件可知，6分?jǐn)?shù)列的通項公式為.8分，數(shù)列的通項公式為9分（2），對恒成立，即對恒成立，11分令，當(dāng)時，當(dāng)時，13分，16分考點：由數(shù)列和項求通項，等比數(shù)列通項及和項6（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】試題分析：（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列只需按數(shù)列定義證明即證：當(dāng)時，為常數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）可知數(shù)列的通項公式，可得到:,由利用裂項相消法證明試題解析：（1）是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列 6分（2）由（1）知：8分， 12分考點：1等差