冪級(jí)數(shù)及泰勒展開(kāi)習(xí)題解答

1、一、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間1. 解： 當(dāng)時(shí)，因， 所以收斂，當(dāng)時(shí)， 絕對(duì)收斂，收斂區(qū)間為。2.解： 當(dāng)時(shí)，為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 3. 解：， 當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)不趨于零， 收斂區(qū)間為。 4. 解：故當(dāng)，即時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)， 為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 收斂區(qū)間為。 5. 解：故當(dāng)，即時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以收斂，?dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)所以發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 6. 解：故當(dāng)，即時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 收斂區(qū)間為。二、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間并求和函數(shù)1. 解：故當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)， 為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，

2、 為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 收斂區(qū)間為。令2. 解：故當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)， 發(fā)散，當(dāng)時(shí)， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令3. 解： 當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 令4. 解：故當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)， （通項(xiàng)不趨于零）發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令故另解 三、求下列級(jí)數(shù)的和1.也可以考慮利用冪級(jí)數(shù)2. 四、利用直接展開(kāi)法將下列函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.解：，故該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因有界，是收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以對(duì)任意的上式均成立。2.解：，由 故該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因?yàn)榻^對(duì)收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以對(duì)任意的上式均成立。五、使用間接展開(kāi)法將下列函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)常用冪級(jí)數(shù)展式

3、：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級(jí)數(shù)性質(zhì). 對(duì)復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為冪級(jí)數(shù)展式已知的簡(jiǎn)單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。1解：由，令得。2. 解：由，令得。3. 解：由，及令得。4. 解：時(shí)，均為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)。5. 解：由及，令得6. 解：由，得7. 解：。六、在指定點(diǎn)處將下列函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.解：由及，令得。2. 解：。七、求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)解：。八、設(shè)有兩條拋物線和，記它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為（1）求的表達(dá)式（2）求這兩條拋物線所圍成的圖形的面積（3）求級(jí)數(shù)的和解：（1）;（2）;（3）由，得冪級(jí)數(shù)部分習(xí)題課常用冪級(jí)數(shù)展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級(jí)數(shù)性質(zhì). 對(duì)復(fù)雜函數(shù)可以先求導(dǎo)看是否為冪級(jí)數(shù)展式已知的簡(jiǎn)單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。補(bǔ)充例題一、 把下列函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)1. 解：。2. 解：由及。3. 解：由及。4. 解：而 故。二、 把下列函數(shù)在指定點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù)1. 在處解：2. 在處解：故3. 在處解： 。4. 在處解：由及三、 冪級(jí)數(shù)求和步驟：1. 求出給定級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間； 2. 兩種途徑：適當(dāng)變形逐項(xiàng)積分 常見(jiàn)函數(shù)之冪級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)等）逐項(xiàng)求導(dǎo)得和函數(shù)適當(dāng)變形逐項(xiàng)求導(dǎo)常見(jiàn)函數(shù)之冪級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)等）逐項(xiàng)積分得和函數(shù)1解：由，可知，故收斂區(qū)間為，設(shè)，逐項(xiàng)積分得。2.