必修4平面向量講義和練習(xí)

1、第二章 平面向量一、知識(shí)綱要1、向量的相關(guān)概念：（1） 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，記為或。 向量又稱矢量。注意向量和標(biāo)量的區(qū)別：向量既有大小又有方向；標(biāo)量只有大小，沒有方向。普通的數(shù)量都是標(biāo)量，力是一種常見的向量。向量常用有向線段來表示，但也不能說向量就是有向線段，因?yàn)橄蛄渴亲杂傻?，可以平移；有向線段有固定的起點(diǎn)和終點(diǎn)，不能隨意移動(dòng)。（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向線段的長度。記作：|或。注意向量本身不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。（3）零向量：長度為0的向量叫零向量，記為，零向量的方向是任意的。注意0； 與0的區(qū)別：寫法的區(qū)別，意義的區(qū)別。（4

2、）單位向量：模長為1個(gè)單位長度的非零向量叫單位向量。注意若向量是單位向量，則= 1 。2、 向量的表示：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意：方向是“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”。（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量、為基底向量，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。此時(shí)=。若已知，則， 即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。特別的，如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)數(shù)值與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值相同。3、 向量之間的關(guān)系：（1）平行（共線）：對于兩個(gè)非零向量，若它們的方向相同或相反的，那么就

3、稱這種關(guān)系為平行，記作。換言之，方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫平行向量（共線向量）。相互平行的兩個(gè)向量之間的夾角為0度或180度，記為<,>=00或1800 。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(所以向量又叫自由向量)，所以平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。注意數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。平行向量無傳遞性（因?yàn)橛?.（

4、2） 不平行：對于兩個(gè)非零向量和，如果平移后它們的夾角不是0度或180度，則稱這兩個(gè)向量不平行。此時(shí)，它們夾角的范圍是 <,> （0，）。特別的，當(dāng)<,> =（即900）時(shí)，稱為兩個(gè)向量垂直，記為。4、由向量之間的關(guān)系引出的術(shù)語：（1） 同向向量：如果兩個(gè)向量方向相同（即：共線并且夾角為0度），那么就稱這兩個(gè)向量是同向向量。<,> = 0（2） 反向向量：如果兩個(gè)向量方向相反（即：共線并且夾角為180度），那么就稱這兩個(gè)向量是反向向量。<,> =注意：同向向量和反向向量都是共線向量。并且只考慮方向，不研究模長的大小關(guān)系。（3） 相等向量：長度相等

5、且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，記為。注意：相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，是同向向量的升級版。相等向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為：若，且，則。即向量相等具有傳遞性。（4） 相反向量：長度相等且方向相反的兩個(gè)向量叫相反向量，的相反向量記為，的相反向量記為：或，零向量的相反向量仍是零向量。注意：相反向量是反向向量的升級版，要求方向相反，且大小相等，即|。若為相反向量，則 。相反向量的坐標(biāo)體現(xiàn)為： 雙重取反必還原：=。5、向量的線性運(yùn)算：（1）向量加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。注意加法性質(zhì)：，任何向量與零向量的和都是任何向量；+()=()+=，一對相反向量的和一定為零向量；向量加法滿足交換律：+=+；向

6、量加法滿足結(jié)合律：（+）+=+（+）；（2）向量減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的加法。記作：，即求兩個(gè)向量與的差，等于向量加上的相反向量。注意+()=()+=；若、是互為相反向量，則=,=,+=.小結(jié)加減法的運(yùn)算法則：（作圖）“三角形法則”“平行四邊形法則”說明：向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向

7、量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”（3）向量的數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，所得的結(jié)果表示：在的方向（或的相反方向）取倍構(gòu)成一個(gè)新向量，記作。的長度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律：， ， 6、向量的投影和數(shù)量積：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定(2)向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影

8、投影的絕對值稱為射影(3)數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積(4)、向量的模與平方的關(guān)系：（5）、乘法公式成立：；（6）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1）已知起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo): 已知，則， 即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。（2）已知向量的坐標(biāo)，求向量的模: 已知，則=；已知，則，此時(shí)，本公式等價(jià)于“兩點(diǎn)間距離公式:已知?jiǎng)t”。（3）已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求這兩個(gè)向量加減、數(shù)乘和數(shù)量積：加減：已知，則，即對應(yīng)橫縱坐標(biāo)相加減。數(shù)乘

9、：已知，則，即倍數(shù)對坐標(biāo)作分配。數(shù)量積：已知，則，即對應(yīng)坐標(biāo)之積再相加。（4）已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求這兩個(gè)向量的夾角或夾角余弦值：已知，則。8、 向量的夾角已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB=（）叫做向量與的夾角，記為。注意 研究向量夾角時(shí)，必須將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移動(dòng)到同一點(diǎn)上；當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題cos=向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系： 當(dāng)為銳角時(shí)，0（反之不成立，因?yàn)閿?shù)量積為正數(shù)的兩個(gè)向量不一定構(gòu)成銳角，可能是平行且同向）；當(dāng)為鈍角時(shí)，0。（反之不成立，因?yàn)閿?shù)量積為負(fù)數(shù)的兩個(gè)向量不一定構(gòu)成鈍角，可能是平行且反向）9、平面向量的

10、基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。若給定一組基底向量，則平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都存在一組實(shí)屬對與之對應(yīng)，當(dāng)這組基底是兩個(gè)相互垂直的單位向量時(shí)，這組基底可以構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)叫平面直角坐標(biāo)系，與向量對應(yīng)的實(shí)數(shù)對就是坐標(biāo)。10、向量垂直（共線）的基本定理（1）共線：，此為向量平行的符號(hào)表達(dá)。若，則或，此為向量平行的坐標(biāo)表達(dá)。注意對于“”，當(dāng)時(shí)，可以看成是非零向量的0倍（即），所以規(guī)定“零向量與任何非零向量平行”。（2）垂直：非零向量滿足：，此為向量平行的符號(hào)表達(dá)。若，則，此為向量平行的

11、坐標(biāo)表達(dá)。 即：兩個(gè)向量非零向量垂直等價(jià)于這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0。 若中有一個(gè)向量是零向量，則數(shù)量積一定為0，此時(shí)無需討論是否垂直。所以規(guī)定“零向量與任何非零向量平行”，但是不規(guī)定“零向量與任何非零向量垂直”。11、有向線段的定比分點(diǎn)（1）、定義：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)。（簡稱：點(diǎn)P為定比分點(diǎn)）（2）、的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長線上時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長線上時(shí)<1；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比

12、為。（3）、線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則分點(diǎn)的坐標(biāo)為，即。特別地，當(dāng)1時(shí)，就得到線段PP的中點(diǎn)公式。二、經(jīng)典例題【例1】已知A（1,2），B（4,2），則向量的坐標(biāo)為：=；向量的模為：|=；把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是?！纠?】平面上，把一個(gè)圖形整體向某個(gè)方向移動(dòng)一段距離，若移動(dòng)前點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2,3），移動(dòng)后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，-1），則平移向量為=，移動(dòng)的距離為?！纠?】下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是。【例

13、4】給出下列命題：若|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=； =的充要條件是|=|且/；若/，/，則/；其中正確的序號(hào)是【例 5】求參數(shù)的值：（1）設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求k（2）已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值【例 6】判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有【例 7】已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值 （1）；（2）；【例 8】平移（1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_【例 9】定比分點(diǎn)（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（3）若點(diǎn)分所成