數(shù)列練習(xí)50題2

1、數(shù)列練習(xí)50題1.在等差數(shù)列an中，已知， （1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）若_，求數(shù)列bn的前n項和Sn在，這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，求證：.3.各項互不相等的等比數(shù)列an中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列Cn的前n項和Tn.4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列bn的前n項和Tn，且對任意恒成立，求m范圍.5.在，這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列a

2、n的前n項和為Sn，滿足_，_；又知正項等差數(shù)列bn滿足，且，成等比數(shù)列.（1）求an和bn的通項公式；（2）證明：.6.在，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知等比數(shù)列an的公比，前n項和為Sn，若_，數(shù)列bn滿足，.（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Tn，并證明.7.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，；正項等差數(shù)列bn的首項為2，且，成等比數(shù)列.（1）求an和bn的通項公式.（2）若，cn的前n項和Tn滿足，求實數(shù)k的取值范圍.8.已知數(shù)列an為公差不為0的等差數(shù)列,滿足,且成等比數(shù)列.() 求an的通項公式；() 若數(shù)列bn滿足,且求數(shù)列的前n項和Tn.

3、9.已知數(shù)列an滿足，.（1）證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的前n項和.10.在等差數(shù)列an中，已知.在，這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解.（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）若_，求數(shù)列bn的前n項和Sn.11.在，成等差數(shù)列.，成等差數(shù)列中任選一個，補充在下列的問題中，并解答.在公比為2的等比數(shù)列an中，_（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和Tn.12.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的n項和Tn.13.已知數(shù)列an中，當(dāng)時，.（）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證

4、：.14.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且.（1）求an的通項公式；（2）若，求數(shù)列bn的前n項和Tn.15.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且.（1）求an的通項公式；（2）若，求數(shù)列bn的前n項和Tn.16.已知數(shù)列an的前n項和為，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列an和bn的通項公式；（2）若，求數(shù)列cn的前n項和Tn17.已知數(shù)列an為正項等比數(shù)列，Sn為an的前項和，若，（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）從三個條件：；中任選一個作為已知條件，求數(shù)列bn的前n項和Tn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18.從條件，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答已知數(shù)列an的前

5、n項和為，_若，成等比數(shù)列，求k的值19.已知等差數(shù)列an中，等比數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，且，（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）若，求數(shù)列cn的前n項和Sn20.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an，滿足().（1）求證：an為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；（2）設(shè)()，求數(shù)列bn的前n項和Tn.21.已知數(shù)列an滿足，（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn22.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項和，且，數(shù)列bn滿足：，當(dāng)，時，.（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）令，證明：.23.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，.（）求數(shù)列an的通

6、項公式；（）若等比數(shù)列bn滿足，且公比為q，從；這三個條件中任選一個作為題目的已知條件，求數(shù)列的前n項和.24.已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足.（）求數(shù)列an的通項公式；（）記，設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn.求證：.25.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足.（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項和Tn.26.已知數(shù)列an為正項等比數(shù)列，；數(shù)列bn滿足.（1）求an；（2）求的前n項和Tn.27.公差不為0的等差數(shù)列an，為的等比中項，且.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.28.已知數(shù)列an滿足，其中Sn為an的前n項和，.（1）求an；（2）若數(shù)列b

7、n滿足,求的值.29.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列bn的前n項和Tn.30.已知遞增等差數(shù)列an，等比數(shù)列bn，數(shù)列cn，、成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列an、bn的通項公式；（2）求數(shù)列cn的前n項和Sn.31.在，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設(shè)an是公比大于0的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等差數(shù)列.已知，_.（1）求an和bn的通項公式；（2）設(shè)求Tn.32.已知等差數(shù)列an的公差，其前n項和為Sn，若,且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若，求數(shù)列bn的前n項和Tn.33.已知等差數(shù)列an的前n項和為S

8、n，且滿足，.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足，.（1）求an和bn；（2）求和：.34.數(shù)列an滿足，an是與的等差中項.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Sn.35.已知數(shù)列an的前n項和為Sn， 是否存在正整數(shù)k（），使得成等比數(shù)列？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由從， 這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答36.已知等比數(shù)列an的公比q1，且a3+a4+a528，a4+2是a3，a5的等差中項數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列（bn+1bn）an的前n項和為2n2+n（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）求數(shù)列bn的通項公式37.已知數(shù)列an的各項均

9、為正數(shù)，其前n項和為Sn，且.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若求bn的前n項和Tn38.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且，是與的等差中項（1）求an與Sn；（2）若數(shù)列bn滿足，求數(shù)列bn的前n項和Tn39.已知數(shù)列an滿足，且（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若數(shù)列bn滿足，求數(shù)列bn的前n項和Sn40.在，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列an的公差為，等差數(shù)列bn的公差為.設(shè)分別是數(shù)列an,bn的前n項和，且， ，（1）求數(shù)列an,bn的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列cn的前n項和Sn.41.已知an是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為Sn，且Sn為an與的等

10、差中項（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求bn的前100項和42.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，.（1）判斷2024是否是數(shù)列an中的項，并說明理由； （2）求Sn的最值.從 ；中任選一個，補充在上面的問題中并作答. 43.已知數(shù)列an滿足（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，證明：44.設(shè)數(shù)列an，其前n項和，又bn單調(diào)遞增的等比數(shù)列， ， .()求數(shù)列an，bn的通項公式；()若 ，求數(shù)列cn的前n項和Tn，并求證：.45.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且 .(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 記，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：.46.在等比數(shù)列

11、an中，公比，且滿足，（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列bn的前n項和為，當(dāng)取最大值時，求n的值47.設(shè)數(shù)列an滿足，.（1）求證是等比數(shù)列，并求an；（2）求數(shù)列an的前n項和Tn.48.已知等差數(shù)列an的前n項的和為，.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列bn的前n項和Tn，求使得恒成立時m的最小正整數(shù).49.已知數(shù)列an滿足,，數(shù)列bn滿足.（）求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；（）求數(shù)列an的前n項和Sn.50.已知數(shù)列an前n項和Sn滿足, bn是等差數(shù)列,且,（1）求an和bn的通項公式:（2）求數(shù)列的前2n項和試卷答案1.（1）；（2）選條件：，選條件：，選條件：.【分析】

12、本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項與公差的方程組，解出與的值，即可得到等差數(shù)列的通項公式；第（2）題對于方案一：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法可計算出前項和；對于方案二：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別求和，并運用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進行計算，即可計算出前項和；對于方案三：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)通項公式的特點運用錯位相減法可計算出前項和【詳解】解：（1）由題意，解得，（2）選條件：，選條件：，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，選

13、條件：，由-得，【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計算，以及數(shù)列求和問題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，分類討論思想，等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力屬于中檔題2.（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）題設(shè)中的遞推關(guān)系可轉(zhuǎn)化為，利用等比數(shù)列的通項公式可求的通項，從而求出后可求的通項公式.（2）利用裂項相消法可求的前項和，從而可證不等式成立.【詳解】（1），又，所以，數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，.當(dāng)時，；當(dāng)時，符合上式，.（2）證明：，.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求法以及裂項相消法求和，后者應(yīng)該根據(jù)通項的特征選擇合適的求和方法.3.（1）；（2）【分析】（1）

14、根據(jù)等比數(shù)列公式結(jié)合等差中項性質(zhì)解得答案.（2），根據(jù)分組求和法計算得到答案.【詳解】（1），成等差數(shù)列，即，即，解得或（舍），故.（2），則，.【點睛】本題考查了求數(shù)列通項公式，分組求和法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.4.（1）；（2）.【分析】（1）因為，所以，兩式相減，整理得，令，求出，進而得解；（2）求出數(shù)列的通項公式，通過裂項相消法進行求和，將與0比較，判斷出的單調(diào)性，求出的最小值，從而得解.【詳解】（1）因為所以由式式得，即，又當(dāng)時，解得，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2），所以單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用、裂項相消法求和

15、及確定數(shù)列中的最大（?。╉棧疾閷W(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)數(shù)列出現(xiàn)前后項差的時候，可考慮裂項相消求和法.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.5.（1）選法見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）若選擇先由，當(dāng)2時，兩式相減整理得 ，再求出，進而說明數(shù)列是等比數(shù)列，求出，設(shè)正項等差數(shù)列的公差為，由已知條件求出，進而求得；若選擇先由，當(dāng)2時，兩式相減整理得 ，再求出，進而說明數(shù)列是等比數(shù)列，求出，設(shè)正項等差數(shù)列的公差為，由已知條件求出，進而求得；（2）由（1）求得，再求，即可證明結(jié)論.【詳解

16、】（1）解法一：選擇當(dāng)時，由得，兩式相減，得，即，由得，即，得，為，公比為的等比數(shù)列，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，成等比數(shù)列.，即，解得，（舍去），解法二：選擇當(dāng)時，由，得，兩式相減，得，又，得，為，公比為的等比數(shù)列，.（以下同法一）（2）證明：由（1）得則.【點睛】此題考查等差、等比數(shù)列通項公式及前項和的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.選擇見解析；（1），；（2）；證明見解析.【分析】（1）若選擇，利用等比數(shù)列的通項公式列方程求得，再令中的，可得，進而可得數(shù)列，的通項公式；選擇，通過對中的取1和2可得和，進而可得，可得數(shù)列，的通項公式；若選擇，利用等比數(shù)列的前項和公式列方程求得，再令中的，可得，進而可得

17、數(shù)列，的通項公式；（2）利用裂項相消法可求得，觀察可得結(jié)果.【詳解】解析：選擇，（1）由已知得， 解得或（舍去，），又，則，解得，則；（2）.選擇，當(dāng)時，得，當(dāng)時，又，得，則，又，則；（2）.選擇，當(dāng)時，則，舍去；當(dāng)時，解得（負值舍去），又，則，解得，則；（2）.【點睛】本題考查等比數(shù)列基本量的計算，等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查裂項相消法求和，考查學(xué)生計算能力，是中檔題.7.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)公式，化簡可知數(shù)列是等比數(shù)列，求通項公式，再根據(jù)等，求得數(shù)列的公差和通項公式.（2）由（1）可知，根據(jù)等比數(shù)列求和以及裂項相消法求和求得，轉(zhuǎn)化為.【詳解】解：（1）由得， 是首項為，公比

18、為的等比數(shù)列. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，成等比數(shù)列. 即. . （2）. . 不等式可化為，數(shù)列單調(diào)遞減， 的值域是故因此實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式求通項公式，以及等差和等比數(shù)列，裂項相消法求和，以及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，重點考查了計算能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型，8.() ； () .【分析】()利用等比中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式列方程，可解得公差d的值，進而求得等差數(shù)列的通項公式；()根據(jù)題意，由累加法求出數(shù)列的通項公式，再通過裂項相消法求數(shù)列的前項和.【詳解】() 設(shè)等差數(shù)列的公差為,依題意得又,解得,所以. ()依題意得,即 (且) 所以 ,.對上式也成立,所以

19、,即, 所以.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了推理能力與計算能力. 形如的數(shù)列 均可利用累加法求通項公式.9.（1）見證明；（2）【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義可以證明；（2）由（1）可求的通項公式，結(jié)合可得，結(jié)合通項公式公式特點選擇分組求和法進行求和.【詳解】證明：（1），.又，.又，數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）求解知，.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列求和，一般地，數(shù)列求和時要根據(jù)數(shù)列通項公式的特征來選擇合適的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).10.（1）；（2）答案見解析.

20、【分析】本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項與公差的方程組，解出與的值，即可得到等差數(shù)列的通項公式；第（2）題對于方案一：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法可計算出前項和；對于方案二：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別求和，并運用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進行計算，即可計算出前項和；對于方案三：選條件，先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)通項公式的特點運用錯位相減法可計算出前項和【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，故. （2）選，由得. 選，由得當(dāng)為偶數(shù)

21、時，. 當(dāng)為奇數(shù)時， 故 選，由得，則，-，得，故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計算，以及數(shù)列求和問題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，分類討論思想，等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力屬于中檔題11.（1）（2）【分析】（1）若選，根據(jù)三個數(shù)成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進而求得通項公式；若選，根據(jù)，成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進而求得通項公式；（2）將代入，求得，裂項之后求和得結(jié)果.【詳解】（1）選：因為，成等差數(shù)列，所以，所以，解得，所以.選：因為，成等差數(shù)列，所以，即，所以，解得，所以.（2）因為，所以，所以，所以.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉

22、及到的知識點有三數(shù)成等差數(shù)列的條件，等比數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和，屬于中檔題目.12.（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）令，由得出，兩式作差得，利用等比數(shù)列的定義可證明出為等比數(shù)列，并可確定該數(shù)列的首項和公比；（2）求得數(shù)列的通項公式，可得出的表達式，然后利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）當(dāng)時，因為，所以.由得，即，所以.當(dāng)時，得，則.所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，所以.所以，則，由，得，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列的證明，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.13.（）證明見解析；（）證明見解析.【分析】（）兩邊同時除以得：，

23、即可得證;（）由（）知，再利用裂項相消法求和即可得證；【詳解】解:（）證明：當(dāng)時，由，兩邊同時除以得：，由，得，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.（）解：由（）知，所以，所以.因為，故.【點睛】本題考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.14.（1）；（2）.【分析】(1)代入 即可求出通項公式.(2)結(jié)合(1)中的通項公式可求，結(jié)合裂項相消的思想即可求和.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，滿足上式，故.（2）由（1）可得，則.【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式的求解，考查了數(shù)列求和.一般已知求通項公式時，代入即可.15.(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)前項和為與通項的關(guān)系

24、，即可求出結(jié)論；（2）用裂項相消法，求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，是等差數(shù)列，得所以（2）因為，所以【點睛】本題考查由數(shù)列的前項和求通項，考查用裂項相消法求數(shù)列的前項和，屬于中檔題.16.（1）， （2）【分析】（1）由，利用求得；再利用基本量求得；（2）先求的前項和，再用裂項求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即，為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）可得：，所以【點睛】第一問考查的利用，以及基本量求解通項公式；第二問考查分組求和與裂項求和.17.（1）（2）見解析【分析】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，再根據(jù)題意利用基本量法求解即可.(2) 選擇可得，即可利用等比數(shù)列求

25、和公式求解即可.選擇可得，再根據(jù)等比與等差數(shù)列求和的公式求解即可.選擇可得，再用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因為：，所以，故：，解得：或（舍去），故 由：，得：，將代入得：，所以數(shù)列的通項公式為：； （2）選擇：，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 所以，選擇：， 所以 選擇：，數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列 所以【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解，同時也考查了等差等比數(shù)列求和的公式，屬于基礎(chǔ)題.18.若選擇，；若選擇，；若選擇，.【分析】若選擇，利用可得，可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可；若選擇，根據(jù)可得，可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可；若選擇

26、，利用可得，再根據(jù)等比中項列方程解得即可.【詳解】若選擇，因為，所以，兩式相減得，整理得即，所以為常數(shù)列，所以（或由，利用相乘相消法，求得）所以，又，成等比數(shù)列，所以，所以，解得或（舍），所以若選擇，由變形得，所以，易知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以，又時，也滿足上式，所以.因為，成等比數(shù)列，或，又，若選擇，因為，所以，兩式相減得，整理得，因為，所以是等差數(shù)列，所以，又，成等比數(shù)列，或，又，【點睛】本題考查了根據(jù)與的關(guān)系式求，考查了等比中項的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.19.（1），；（2）.【分析】（1）等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，根據(jù)，得到關(guān)于和的方程組，通過解方程

27、組求得和，進而求得的通項公式；通過，求得，進而求得的通項公式.（2）通過已知條件和（1）中的結(jié)論求得，進而求得的前項和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，則由得，由得或（舍去），；（2）所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，考查學(xué)生公式的掌握程度與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.（1）證明見解析，.（2）【分析】（1）由可得，然后兩式相減得，然后求出即可（2）利用錯位相減法求出即可.【詳解】（1）因為()， 所以，當(dāng)時，有， -得，即，所以(，).所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列. 又由得，所以. 所以.（2）由題意及（1

28、）得 所以，所以， -，得 ， 故.【點睛】常見數(shù)列的求和方法：公式法（等差等比數(shù)列）、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法.21.（1）證明見詳解，（2）【分析】（1）由得，然后，即可算出答案（2），然后即可求出【詳解】（1）因為，所以即數(shù)列是以首項為2，公差為3的等差數(shù)列所以所以（2）由得所以【點睛】常見數(shù)列的求和方法：公式法（等差等比數(shù)列）、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法22.（1）;(2)證明見解析.【分析】（1）用和將已知，表示出來即可求出首項公差,從而可求通項公式；由可得，兩式相減進行整理可求出的通項公式.（2）用錯位相減法求出的前項和，即可證明不等式.【詳解】解：（1）數(shù)列為等

29、差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且，設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則：，解得：，所以.因為所以當(dāng) 時，.得：，由于，整理得（常數(shù)）.所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以.證明：（2）由（1）得.所以，故得：.所以.即.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式，考查了由遞推數(shù)列求通項公式，考查了錯位相減法.對于等差數(shù)列求通項公式時，常用的方法為基本量法，即用首項和公差表示出已知條件，從而求出首項和公差.本題的易錯在于錯位相減時的計算上，常算錯數(shù)，或者最后忘記系數(shù)化1.23.（）（）時，；時，；時，.【分析】（）先設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題設(shè)條件求出等差數(shù)列的基本量：首項與公差，再求其通項公式；（）先選擇公

30、比q的值，再結(jié)合其它題設(shè)條件計算出結(jié)果.【詳解】解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，又因為，且，所以，故，所以；（）由（）可知，又，所以.若選擇條件，可得，；若選擇條件，可得，；若選擇條件，可得，.【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式，求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，考查分組求和法，屬于中檔題.24.（）；（）證明見解析.【分析】（）由已知構(gòu)造，兩式相減化簡可得.（）求出，放縮利用裂項法求和可得.【詳解】（）已知，所以，得，即；因為，所以，.由得，故為等差數(shù)列，公差.因此，.（）因為，所以，.【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求通項及用裂項法求和.已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個

31、新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達式(3)對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律:(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項25.（）（）【分析】（）由，可得，兩式相減得到，利用等比數(shù)列通項公式求解即可；（）結(jié)合（）可求出的表達式，進而可得的通項公式，利用裂項相消法求和即可.【詳解】（），令，解得，兩式相減，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為；（）由（）知，所以

32、，即，.【點睛】本題考查利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列通項公式和裂項相消法求和；考查運算求解能力；熟練掌握已知與的關(guān)系求數(shù)列通項的方法和裂項相消法求和是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.26.（1）；（2）【分析】（1）首先令和求出，從而得到公比，再求通項公式即可.（2）首先根據(jù)已知求出，再利用裂項求和即可得到答案.【詳解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以；（2）當(dāng)時，又，因為，所以，時也成立，所以.，所以.【點睛】本題第一問考查等比數(shù)列的通項公式，第二問考查由前項和求通項，同時考查了裂項求和，屬于中檔題.27.（1）；（2），.【分析】(1)根據(jù)等比中項

33、的性質(zhì)與等差數(shù)列的基本量法求解即可.(2)利用分組求和與等差等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為則因為為,的等比中項,故,化簡得.又故.故,.即.(2) ,故.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解與分組求和、等差等比數(shù)列的公式求和等.屬于基礎(chǔ)題.28.(1)；(2).試題分析：(1)由，得，兩式相減得與的遞推式，又，從而求出；(2)求出 ，利用裂項相消法可求，從而可把方程變?yōu)殛P(guān)于的方程，解出即可解析：（1），兩式相減得注意到，于是，所以.（2）于是所以.點睛：在求通項時可以運用，然后驗證當(dāng)時是否成立，遇到形如分式的通項就需要裂項，運用裂項來求和29.（1）詳見解析

34、（2）【分析】（1）由可得，兩式作差整理即可得到，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列；（2）先由（1）寫出，從而可得，進而可直接求出數(shù)列的前項和.【詳解】解：（1）當(dāng)時，則.當(dāng)時，因為，所以，則，即.從而，即.因為，所以.所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，即.因為，所以.則，故.【點睛】本題第一問主要考查等比數(shù)列的證明，只需數(shù)列的第n項與第n-1項之比為非零常數(shù)即可;第二問主要考查裂項相消的方法求數(shù)列的前n項和;屬于基礎(chǔ)試題.30.（1），；（2）（）【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及可求出，由題意利用等比數(shù)列的通項公式可求出，從而求出、的通項公式.（2）利用分組求和以及

35、等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】（1）由已知，.解為或0（舍），解，（2） 【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前項和公式以及等比數(shù)列的通項公式、前項和公式，分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.31.（1）（2）【分析】（1）直接利用等差數(shù)列等比數(shù)列公式計算得到答案.（2），利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】（1）方案一：選條件：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，解得或，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，解得，.方案二：選條件：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，解得或，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，方案三：選條件，設(shè)等比數(shù)列的公比為，解得或，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，解得，（2），【點睛】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式，

36、錯位相減法求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.32.（1）.（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式得到，計算得到答案.（2），利用分組求和法計算得到答案.【詳解】（1）依題意，得即，整理得.，.數(shù)列的通項公式即數(shù)列的通項公式.（2），故.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式，分組求和法求前項和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.33.(1) . (2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式,可得方程組,解方程組即可求得數(shù)列與數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式,可先求得的通項公式,進而根據(jù)分組求得即可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為.由

37、題意,得,解得,等比數(shù)列的各項均為正數(shù)由解得或（舍）（2）由（1）得,.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式的求法,等比數(shù)列前n項和公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.34.（1）見解析，（2）【分析】（1）根據(jù)等差中項的定義得，然后構(gòu)造新等比數(shù)列，寫出的通項即可求（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分組求和即可【詳解】解：（1）由已知可得，即，可化為，故數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.即有，所以.（2）由（1）知，數(shù)列的通項為：，故.【點睛】考查等差中項的定義和分組求和的方法；中檔題.35.若選，不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選，存在，使得成等比數(shù)列；若選，存在，使得成等比數(shù)列【分析】由題意得

38、，若存在正整數(shù)（）滿足題意，則；若選，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求得，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選，則當(dāng)時，據(jù)此求得，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案；若選，則當(dāng)時，據(jù)此求得，代入數(shù)據(jù)求解即可求出答案【詳解】解：若選，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，若成等比數(shù)列，則，則，即，即，解得，均不符合題意，故不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；若選，則當(dāng)時，又符合上式，則，若成等比數(shù)列，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列；若選，則當(dāng)時， ，又符合上式，則，若成等比數(shù)列，則，則，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列【點睛】本題主要考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式，考查計算

39、能力，屬于中檔題36.（1）；（2）【分析】（1）運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；（2）設(shè)cn（bn+1bn）an，數(shù)列cn前n項和為Sn由數(shù)列的遞推式求得cn，再由數(shù)列的恒等式可得bn，再由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求通項公式【詳解】（1）由題知a3+a4+a528，a4+2是a3，a5的等差中項，所以a3+a52a4+4，解得a48，a3+a520，即a1q38，a1q2+a1q420，解得a11，q2，所以；（2）設(shè)cn（bn+1bn）an，數(shù)列cn前n項和為Sn由，Sn2n2+n，Sn12（n1）2+

40、n1解得cn4n1由（1）可知，所以，故，bnb1（bnbn1）+（bn1bn2）+（b3b2）+（b2b1），設(shè)，所以，相減可得3+4（4n5）（）n1，化簡可得，又b11，所以【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的恒等式和數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題37.（1）；（2）.【分析】（1）由已知遞推關(guān)系求首項，并可證數(shù)列是以為首項，1位公差的等差數(shù)列，最后由等差數(shù)列通項公式表示答案即可；（2）由（1）表示數(shù)列的前n項和，進而表示數(shù)列的通項公式，最后由裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）當(dāng)時，或（舍）當(dāng)時，因為，兩式相減得，因為

41、數(shù)列的各項均為正數(shù)，則，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故其通項公式（2）由（1）可知，則所以.【點睛】本題考查由求數(shù)列得通項公式，還考查了利用裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.38.（1）（2）【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，是與的等差中項可得，即，聯(lián)立解得，再利用通項公式與求和公式即可得出，（2），利用裂項求和方法即可得出數(shù)列的前項和【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，是與的等差中項，即，聯(lián)立解得，（2），數(shù)列的前項和【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用以及裂項相消法求和，難度一般.常見的幾種可裂項相消的數(shù)列形式：，.39.（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知可得，由累

42、加法可得，進而求出的通項公式；（2）由（1）得，用錯位相減法，即可求出的前項和【詳解】（1）因為，所以，所以，所以又，所以，所以又，也符合上式，所以對任意正整數(shù)，（2）結(jié)合（1）得，所以，得，所以【點睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前項和，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.40.（1）；（2）【分析】方案一：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列方程組，求出和，從而寫出數(shù)列的通項公式；（2）由第（1）題的結(jié)論，寫出數(shù)列的通項，采用分組求和、等比求和公式以及裂項相消法，求出數(shù)列的前項和.其余兩個方案與方案一的解法相近似.【詳解】解：方案一：（1）數(shù)列都是等差數(shù)列

43、，且，解得，綜上（2）由（1）得：方案二：（1）數(shù)列都是等差數(shù)列，且，解得，綜上，（2）同方案一方案三：（1）數(shù)列都是等差數(shù)列，且.，解得，.綜上，（2）同方案一【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，考查了分組求和、等比求和及裂項相消法求數(shù)列的前n項和，屬于中檔題.41.（1）證明見解析； （2）10.【分析】（1）利用已知條件化簡出，當(dāng)時，當(dāng)時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和【詳解】解：（1）由題意知，即，當(dāng)時，由式可得；又時，有，代入式得，整理得，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列（2）由（1）可得，是各項都為正數(shù)，又，則，即：.的前100項和【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查分析解題能力和計算能力.42.（1）不是，理由見解析；（2）Sn最小值-26，無最大值 .【分析】（1）選擇，用等差數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列的首項和公差，即可求出數(shù)列的通項，令，求出的若為整數(shù)則是數(shù)列中的項，否則不是.（2）令，求出的范圍，從而可確定的最大最小值情況.【詳解】選（1）選，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得 所以令 ，則，此方程無正整數(shù)解所以不是