注冊電氣公共基礎(chǔ)第13講高等數(shù)學(xué)

1、三、重積分（一）重積分的概念與性質(zhì) 1 二重積分的概念與性質(zhì)設(shè)f（ x ，y）在平面有界閉區(qū)域 D 上有界，將閉區(qū)域 D 任意劃分成n個小閉區(qū)域：任取點（i，） ( i = l , 2 ， ，n）。記小區(qū)域的直徑為 d i， max d 1 , d2 ， d n 。若極限總存在，則稱此極限為函數(shù) f （x，y ）在有界閉區(qū)域 D 上的二重積分，記成f( x, y)d,即當(dāng) f ( x , y ) 0 , ( x , y ） D 時，二重積分f( x, y)d在幾何上表示以曲面Z=f ( x ,y）為頂、閉區(qū)域 D 為底的曲頂柱體的體積。二重積分具有如下性質(zhì)：其中且無內(nèi)點其中為 D 的面積( 5

2、 ）若在 D 上， f (x，y) g(x, y)，則2 / 9( 7 ）設(shè) M 、m，分別是 f （x，y）在 D 上的最大、最小值， 是 D 的面積，則( 8 ）設(shè) f （x，y）在閉區(qū)域 D 上連續(xù)，是 D 的面積，則存在點（ , ）D，使得2 三重積分的概念與性質(zhì)設(shè) f ( x , y ，z）在空間有界閉區(qū)域上有界，與二重積分的定義類似地有f（x， y , z ）在上的三重積分的定義，即若 f （x， y , z ）表示某物體在點f ( x , y , z ）處的密度，表示該物體占有的空間閉區(qū)域，則三重積分就表示該物體的質(zhì)量 M . 三重積分具有與二重積分類似的性質(zhì)。（二）重積分的計算

3、法 1 二重積分的計算法 ( 1 ）利用直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)下，二重積分也表成若積分區(qū)域 D （圖 1-3-1 ）可表成則二重積分可化成先對y后對x的二次積分，即或記成若積分區(qū)域 D （圖 1-3-2 ）可表成則二重積分可化成先對x、后對 y 的二次積分，即我們稱圖 1-3-1 所示的區(qū)域為 x-型區(qū)域，圖1-3-2 所示的區(qū)域為 Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域既是 X-型的，也是 Y-型的，則二重積分可表成兩個不同次序的二次積分，于是有( 2 ）利用極坐標(biāo)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系是積分的變換公式是若積分區(qū)域 D （圖1-3-3 ）可表成則二重積分可化成先對、后對的二次積分，即2 三重積分的計算法 ( 1 ）利用直角坐標(biāo)（三）例題1計算，其中D是由拋物線，y2 = x及直線y = x - 2 所圍成的閉區(qū)域?！?解 】 兩曲線的交點是（ 1，- 1 ）、（ 4 , 2 ）。積分區(qū)域 D （圖 1-3-4 ）可表成從而