橢圓典型題型歸納學(xué)生版

1、題型一. 定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程；例2.方程所表示的曲線(xiàn)是練習(xí)：對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線(xiàn) B. 線(xiàn)段 C. 橢圓 D. 圓對(duì)應(yīng)的圖形是（ ）A.直線(xiàn) B. 線(xiàn)段 C. 橢圓 D. 圓成立的充要條件是（ ）A. B.C. D. 表示橢圓，則的取值范圍是的一個(gè)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長(zhǎng)等于；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與的連線(xiàn)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為；題型二. 橢圓的方程（一）由方程研究曲線(xiàn)例1.方程的曲線(xiàn)是到定點(diǎn)和的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2

2、.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，求橢圓的方程；例且與橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例中，所對(duì)的三邊分別為，且，求滿(mǎn)足且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)的軌跡；練習(xí)：1.三角形ABC中，B（-2,0），C（2，0），AB、AC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)之和為30，求三角形ABC的重心的軌跡方程。2.已知?jiǎng)訄AC和定圓O：（x-3）2 +y2 = 64相內(nèi)切，且A（3，0）在動(dòng)圓C上，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。（五）相關(guān)

3、點(diǎn)代入法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點(diǎn)A(2，-3)，為橢圓上任一點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例垂直于軸，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上滿(mǎn)足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線(xiàn)截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例1.已知橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，求、及；題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為例2.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為；例橢圓的離心率為，則；例為橢圓

4、上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為題型五.求范圍例1.方程表示準(zhǔn)線(xiàn)平行于軸的橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍；題型六.橢圓的第二定義的應(yīng)用例1.方程所表示的曲線(xiàn)是例2.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以軸為準(zhǔn)線(xiàn)，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程；例3.橢圓上有一點(diǎn)，它到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于，那么到右焦點(diǎn)的距離為例4已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)，使它到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由。例5已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)題型七.求離心率例1. 橢圓的左焦點(diǎn)為，是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到直線(xiàn)的距離為，則橢

5、圓的離心率例為橢圓上一點(diǎn)，、為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為例3.、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為；題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1. 橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)例2.方程()表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；題型九.直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系（1）直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系例1.當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線(xiàn)（）與連結(jié)，的線(xiàn)段沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍。例3.過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)傾斜角的正切值。例和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。（二）弦長(zhǎng)問(wèn)題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)被橢

6、圓截得的弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。；例2.橢圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點(diǎn)分別是和，過(guò)中心作直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是20，求直線(xiàn)方程。（三）弦所在直線(xiàn)方程例，過(guò)點(diǎn)能否作直線(xiàn)與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是；例相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的方程；例3.橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且C分有向線(xiàn)段的比為2.（1）用直線(xiàn)的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求橢圓E的方程解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，a2=3b2故橢圓方程；設(shè)，由于點(diǎn)分有向線(xiàn)段的比為2，即由消去y整理并化簡(jiǎn)得(3k2+1)x2+6k2x+3k2

7、3b2=0由直線(xiàn)l與橢圓E相交于兩點(diǎn)而 由得:，代入得：.（2）因,當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值此時(shí)，又，；將及代入得3b2=5，橢圓方程例4.已知是橢圓上的三點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則的垂直平分線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；例2.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于6，離心率，試問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分？若存在，求出直線(xiàn)傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉(zhuǎn)化為距離差

8、再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點(diǎn)。解：，連接，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M1,延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)由三角形三邊關(guān)系知當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取右等號(hào)、與重合時(shí)取左等號(hào)。因?yàn)?，所? ；結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值。分析：點(diǎn)在橢圓外，交橢圓于，此點(diǎn)使值最小，求最大值方法同例1。解：，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M1，則M在M1處時(shí)取最大值；最大值是10+，最小值是。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓外一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為，最小值為;例3求定點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)之間的最短距離。分析：在橢圓上

9、任取一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式表示，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最小值。解：設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時(shí)，（2）若,則時(shí)（3）若,則結(jié)論3：橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A(m,0)或B(0,n)距離的最值問(wèn)題，可以用兩點(diǎn)間距離公式表示MA或MB，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。例4求橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最值；解：三角換元令則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí),結(jié)論4：若橢圓上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí),可通過(guò)橢圓的參數(shù)方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。例4的解決還可以用下面方法把直線(xiàn)平移使其與橢圓相切，有兩種狀態(tài)，一種可求最小值，另一種求最大值。解。令直線(xiàn)將代入

10、橢圓方程整理得，由=0解得, 時(shí)直線(xiàn)與橢圓切于點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離為最小值，且最小值就是兩平行直線(xiàn)與的距離，所以；時(shí)直線(xiàn)與橢圓切于點(diǎn)Q，則Q到直線(xiàn)l的距離為最大值，且最大值就是兩平行直線(xiàn)m與l的距離，所以。結(jié)論5：橢圓上的點(diǎn)到定直線(xiàn)l距離的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線(xiàn)m與橢圓相切的問(wèn)題,利用判別式求出直線(xiàn)m方程，再利用平行線(xiàn)間的距離公式求出最值。例5.已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（第二定義的應(yīng)用）例3已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試分別求：（1）的最小值；（2）的取值范圍綜上可知，的取值范圍為;三角形法：橢圓（b2=5, a25）的左焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)x=m于橢圓相交于點(diǎn)A,B,三角形FAB的周長(zhǎng)的最大值為12， 則該橢圓的離心率為例1到兩定點(diǎn)，的距離之和