高中數(shù)學(xué)競賽0710試題之?dāng)?shù)列教師版

1、1（07全國）已知等差數(shù)列an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1的正有理數(shù)。若a1=d，b1=d2，且是正整數(shù)，則q等于_解：因為，故由已知條件知道：1+q+q2為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5m13且是某個有理數(shù)的平方，由此可知。2.（08湖南）已知是等比數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 解:設(shè)的公比為，則，進(jìn)而.所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列. .顯然，. 選C.3.（08全國）設(shè)數(shù)列的前項和滿足：，則通項=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以1214（08江蘇）在如圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行

2、成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么的值為答：A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解第一、二行后兩個數(shù)分別為，3與，；第三、四、五列中的，則. 選A.5.（08河北）8已知數(shù)列滿足，則=_.答案：解：由已知得，且所以，即是首項、公差均為1的等差數(shù)列，所以=n，即有.6. （10全國）已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對每一個正整數(shù)都有，則.解：設(shè)的公差為的公比為，則 （1） ，（2）（1）代入（2）得，求得.從而有對一切正整數(shù)都成立，即對一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.7.（11浙江）2. 已知等差數(shù)列前15項的和=30，則=_6_.解答：由，而。8.（09全國）

3、一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是（可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：()該數(shù)表共有100行；()每一行構(gòu)成一個等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求設(shè)第行的第一個數(shù)為，則故9（07全國）設(shè)，求證：當(dāng)正整數(shù)n2時，an+1<an。證明：由于，因此，于是，對任意的正整數(shù)n2，有，即an+1<an。10（08河北）16在數(shù)列中，是給定的非零整數(shù)，（1）若，求；（2）證明：從中一定可以選取無窮多項組成兩個不同的常數(shù)數(shù)列解：（1），自第22項起，每三個相鄰的項周期地取值1

4、，1，0，故=14分（2）首先證明數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項假設(shè)中沒有零項，由于，所以.時，都有6分當(dāng)時，（）；當(dāng)時，（），即的值要么比至少小1，要么比至少小18分令，則由于是確定的正整數(shù)，這樣下去，必然存在某項，這與矛盾，從而中必有零項.10分若第一次出現(xiàn)的零項為，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值，即，所以數(shù)列中一定可以選取無窮多項組成兩個不同的常數(shù)數(shù)列.12分11.（08湖北）9已知數(shù)列中，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：對一切，有解（1）由已知，對有，兩邊同除以n，得，即， 4分于是，即，所以，又時也成立，故 8分（2）當(dāng)，有，12分所以時，有又時，故對一切，有 16分12

5、（08浙江）設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的公差，記為數(shù)列的前n項和，證明： 1）若，且，則； 2）若則。解：設(shè)非負(fù)等差數(shù)列的首項為，公差為。（1）因為，所以，。從而有。因為，所以有于是。（2）又因為，所以有13.（09全國）（本小題15分）已知，是實數(shù)，方程有兩個實根，數(shù)列滿足，()求數(shù)列的通項公式（用，表示）；()若，求的前項和方法一：()由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項為：所以，即所以當(dāng)時，變?yōu)檎淼茫?，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為；當(dāng)時，整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為()若，則，此時由第()步的結(jié)果得，數(shù)列的通項公式為，所以，的前項和為以上兩式相減，整理得所以方法二：()由韋達(dá)定理知，又，所以，特征方程的兩個根為，當(dāng)時，通項由，得解得故當(dāng)時，通項由，得解得，故10分()同方法一14（10全國）數(shù)列滿足.求證: . （1）證明：由知，. （2）所以即. 從而 .所以（1）等價于，即 . （3）由及知 .當(dāng)時，即時，（3）成立.設(shè)時，（3）成立，即.當(dāng)時，由（2）知；又由（2）及知均為整數(shù)，從而由有即，所以，即（3）對也成立.所以（3）對的正整數(shù)都成立，即（1）對的