重要高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項和七種求和方法練習(xí)及答案

1、(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)1. 等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項公式：，首項:，公差:d，末項:推廣：從而；3等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若或(常數(shù))是等差數(shù)列（2）等差中項法：數(shù)列是等差數(shù)列（3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。4. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.注：。（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列。（5） 在等差數(shù)列中，等距

2、離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即an,an+m,an+2m,為等差數(shù)列，公差為md。（6）是公差為d的等差數(shù)列，是前n項和，那么數(shù)列,成公差為k2d的等差數(shù)列。（7）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和1）當項數(shù)為偶數(shù)時，2）當項數(shù)為奇數(shù)2n-1，則(9) 若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式組來確定n。若a10，Sn有最小值，可由不等式組來確定n。（10）等差數(shù)列前n項和為An,Bn，二)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)1. 等比數(shù)列的定義：，稱為公比2. 通項公式：推廣：，從而得或3. 等比中項:數(shù)列是等比數(shù)列4. 等比數(shù)列的前n項和公式： 5. 等比數(shù)列的判定

3、方法（1）定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2）等比中項：（0）為等比數(shù)列（3）通項公式：為等比數(shù)列（4）前n項和公式：為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的性質(zhì) (1) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(2) 數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列,， (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列. 且公比分別為1/q，q，qk，q1q2，q1/q2.(3) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列, 公比為qk(4) 如果是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(5) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列（當q=1且k為偶數(shù)時不成立）。(6) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列,成

4、等比數(shù)列(7)當時，當時，當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當q0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(8)在等比數(shù)列中,當項數(shù)為2n (n)時,.(9)若是公比為q的等比數(shù)列,則3求數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。二、累加法 例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則三、累乘法 例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為例

5、5 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故四、待定系數(shù)法（重點）例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得五、對數(shù)變換法例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè)六、迭代法例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以七、數(shù)學(xué)歸納法例11 已知，求數(shù)列的通項公式。（

6、其他方法呢？）解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當時，所以等式成立。（2）假設(shè)當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。八、換元法例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，九、不動點法例13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為十、倒數(shù)法，求4. 求數(shù)列前n項和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1求的前n項和.例2 設(shè)Sn1+2+3+n

7、，nN*,求的最大值.二、錯位相減法（等差乘等比）例3求和：例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè)（設(shè)制錯位）得（錯位相減）三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得（反序） 又由可得.+得 （反序相加）例6 求的值解：設(shè).將式右邊反序得.（反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再

8、將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得Sn（分組）五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項和.例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和. 例11 求證：解：設(shè)（裂項）（裂項求和） 原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然

9、后再求Sn.例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+（cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得（找特殊性質(zhì)項）S2002（合并求和）5例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) 得（合并求和） 10 七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)

10、構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于（找通項及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.數(shù)列練習(xí)一、選擇題的公比為正數(shù)，且=2，=1，則= A. B. C. D.2 2.已知為等差數(shù)列，則等于的前項和為.若是的等比中項, ,則等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，則等于A13 B35 C49 D 63 為等差數(shù)列，且21,0,則公差d（A）2 （B） （C） （D）2的公差不為零，首項1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和 A. 90 B

11、. 100 C. 145 D. 1907.等差數(shù)列的前n項和為，已知，,則（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和= A B C D的公差不為零，首項1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空題1設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則2.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列中,則.4.等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項和= . 數(shù)列練習(xí)參考答案一、選擇題1.【答案】B【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因為等比數(shù)列的

12、公比為正數(shù)，所以,故,選B2.【解析】即同理可得公差.選B。【答案】B3.答案：C【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C4.解:故選C.或由, 所以故選C.5.【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d【答案】B6.【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，1007.【答案】C【解析】因為是等差數(shù)列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即（2m1）238，解得m10，故選.C。8.【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為，則根據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項和9.【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，100二、填空題1.【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識