隨機(jī)變量及其概率分布

1、【內(nèi)容提要】一、隨機(jī)變量及其分布函數(shù)設(shè)是定義于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，且，是隨機(jī)事件，則稱為隨機(jī)變量，而稱為其概率分布函數(shù)。隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)具有如下性質(zhì):非負(fù)性: ，有；規(guī)范性:；單調(diào)性:若，則；右連續(xù)性:，有。二、離散型隨機(jī)變量1離散型隨機(jī)變量及其概率分布律 若隨機(jī)變量只取一些離散值，且取到這些值的概率滿足，則稱為離散型隨機(jī)變量，而稱為其概率分布律，記為，也可用下表來(lái)表示:而其概率分布函數(shù)是單增、右連續(xù)的階梯形函數(shù)。2常用離散型分布單點(diǎn)分布: 為常數(shù)；二項(xiàng)分布: ；特別當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布退化為兩點(diǎn)分布；超幾何分布: ；分布: ；特別當(dāng)時(shí)，分布退化為幾何分布；分布: 。三、連續(xù)型隨機(jī)

2、變量1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) 若隨機(jī)變量的一切可能取值充滿了某一區(qū)間，且存在一個(gè)實(shí)值函數(shù)，使其概率分布函數(shù)，且，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，而稱為其概率密度函數(shù)，記為。連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與分布函數(shù)之間有滿足。2常用連續(xù)型分布分布:設(shè)為常數(shù)，則分布的密度函數(shù)為:,特別當(dāng)時(shí)，分布即均勻: ；分布:設(shè)為常數(shù)，則分布的密度函數(shù)為:,特別當(dāng)時(shí)，分布即指數(shù)分布: ；正態(tài)分布: 。四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為隨機(jī)變量，而為連續(xù)的確定型函數(shù)。若為離散型隨機(jī)變量，且，則也是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為:；若為連續(xù)型隨機(jī)變量，且，則也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為:?！镜诙伦鳂I(yè)】1、從的自然數(shù)中隨機(jī)

3、地取出個(gè)數(shù)，用表示所取的個(gè)數(shù)中的最大值，求其概率分布。解:發(fā)生所取的個(gè)數(shù)中有一個(gè)是，其余個(gè)是從中取到的，故，即2、將一枚均勻的硬幣連擲次，用表示出現(xiàn)的正、反面次數(shù)之差，求其概率分布。解:用表示將一枚均勻的硬幣連擲次時(shí)，正面出現(xiàn)了次，則，即3、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下，求:012345解:由題設(shè)知所求概率為:，。4、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，求常數(shù)。解:由得。5、設(shè)一輛汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以的概率允許或禁止汽車通過(guò)，用表示汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的數(shù)目，求其概率分布。解:由題意知，即012346、設(shè)一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能的答案，其中只有一個(gè)

4、答案是正確的，某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少?解:。7、對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率為，問(wèn)這次射擊中最可能命中多少次?其相應(yīng)的概率是多少?解:，其中，由于，即在內(nèi)是單調(diào)遞增的，而在內(nèi)是單調(diào)遞減的，故的最大值點(diǎn)為:。 對(duì)于本題，由于，故的最大值點(diǎn)為，即次射擊中最可能命中132次，且相應(yīng)的概率為:。注:當(dāng)時(shí)，有斯特林公式 。8、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的分布，且，求。解:由知，而。9、對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率為，直到命中目標(biāo)為止，用表示命中首次目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，求其概率分布，并計(jì)算至少需射擊2次才能命中目標(biāo)的概率。解:，而。10、袋中有5個(gè)同樣大小的球，分別給其

5、編號(hào)為，從中同時(shí)取出3個(gè)球，用表示所取的3個(gè)球上號(hào)碼的最大值，求其概率分布及分布函數(shù)。解:發(fā)生所取的3個(gè)球中有一個(gè)的號(hào)碼是，其余2個(gè)的號(hào)碼是從中取到的，故，即345 其分布函數(shù)及其圖形如下：，11、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求常數(shù)。解:由分布函數(shù)的性質(zhì)得:，解之得，即。12、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求常數(shù)及。解:由概率密度函數(shù)的性質(zhì)得:，故，而。13、設(shè)某電子元件壽命的概率密度函數(shù)為，求5個(gè)同類型的電子元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率。解:，。14、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，求其概率密度函數(shù)。解:。15、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求其概率分布函數(shù)。解:。16、設(shè)公共汽車站從上

6、午7:00點(diǎn)到晚上8:00點(diǎn)間，每隔15分鐘來(lái)一輛班車，若某乘客到達(dá)車站的時(shí)間在上午7:00點(diǎn)到7:30內(nèi)均勻分布，求其候車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率。解: 由題設(shè)知該乘客的到站時(shí)間、候車時(shí)間之間的關(guān)系為:，而，故。17、設(shè)隨機(jī)變量，求方程有實(shí)根的概率。解: 由題設(shè)知，故方程有實(shí)根的概率為:。18、設(shè)打一次電話所用的時(shí)間服從的指數(shù)分布，若某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間，求你需要等待分鐘的概率。解: 由題設(shè)知，故所求的概率為:。19、設(shè)，求。解:，。20、設(shè)，求。解:由于，故，從而，。21、設(shè)某地區(qū)的月降雨量服從的正態(tài)分布，求從某月起連續(xù)10個(gè)的降雨量都不超過(guò)的概率。解:由于，故，從而所求概率為:。22、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律如下，求的概率分布律。0269191523、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律如下，求的概率分布律。012解:由題意知的概率分布律為:01424、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律為，求的概率分布律。解:由題意知的概率分布律為:,。25、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)。解:由題意知的概率分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)分別為:，。26、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)。解:由題意知的概率分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)分別為:，。27、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求的概率密度函數(shù)。解:由題意知的概率分布