實(shí)驗(yàn)七 連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分析

1、實(shí)驗(yàn)七 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)S域零極點(diǎn)分析一、目的（1）掌握連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系（2）掌握零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域特性之間的關(guān)系（3）掌握利用MATLAB進(jìn)行S域分析的方法二、零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零極點(diǎn)分布來分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是零極點(diǎn)分析的重要應(yīng)用之一。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的性質(zhì)，與激勵(lì)信號(hào)無關(guān)，由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)包含了系統(tǒng)的所有固有特性，顯然它也能反映出系統(tǒng)是否穩(wěn)定。對(duì)任意有界信號(hào)f(t)，若系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，否則，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。上述穩(wěn)定性的定義可以等效為下列條件： 時(shí)域條件：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為-h(t)d

2、t<，即沖激響應(yīng)絕對(duì)可積； 復(fù)頻域條件：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)位于S平面的左半平面。系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)域條件和頻域條件是等價(jià)的。因此，只要考察系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式方便地求出極點(diǎn)位置，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，但對(duì)于告階系統(tǒng)，手工求解極點(diǎn)位置則顯得非常困難。這時(shí)可利用MATLAB來實(shí)現(xiàn)這一過程。例7-1：已知某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：s2+3s+2H(s)=4 8s+2s3+3s2+s+5試用MATLAB求出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)，畫出零極點(diǎn)圖，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：調(diào)用實(shí)驗(yàn)六介紹的繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖函數(shù)sjd

3、t即可解決此問題，對(duì)應(yīng)的MATLAB命令為：a=8 2 3 1 5;b=1 3 2;p,q=sjdt(a,b)運(yùn)行結(jié)果為：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196i q =-2 -1繪制的零極點(diǎn)圖如圖7-1所示。由程序運(yùn)行結(jié)果可以看出，該系統(tǒng)在S平面的右半平面有一對(duì)共軛極點(diǎn)，故該系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。三、零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域特性設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，沖激響應(yīng)為h(t)，則H(s)=0h(t)e-stdt顯然，H(s)必然包含了h(t)的本質(zhì)特性。對(duì)于集中參數(shù)的LTI連續(xù)系統(tǒng)，

4、其系統(tǒng)函數(shù)可表示為關(guān)于s的兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即 + 55(s-qj)B(s)j=1（7-1） H(s)=CNA(s)(s-p)i=1iM圖7-1 例7-1的系統(tǒng)零極點(diǎn)圖其中qj(j=1,2, ,M)為H(s)的M個(gè)零點(diǎn)，pi(i=1,2, ,N)為H(s)的N個(gè)極點(diǎn)。 若系統(tǒng)函數(shù)的N個(gè)極點(diǎn)是單極點(diǎn)，則可將H(s)進(jìn)行部分分式展開為：NkH(s)=i （7-2）i=1s-pi從式（7-1）和（7-2）可以看出，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)位置決定。H(s)的每一個(gè)極點(diǎn)將決定h(t)的一項(xiàng)時(shí)間函數(shù)。顯然，H(s)的極點(diǎn)位置不同，則h(t)的時(shí)域特性也完全不同。下面利用例

5、子說明H(s)的極點(diǎn)分布與h(t)時(shí)域特性之間的關(guān)系。 例7-2：已知連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布如圖7-2所示，試用MATLAB分析系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域特性。解：系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖已知，則系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)就可確定。這樣就可利用繪制連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)曲線的MATLAB函數(shù)impulse()，將系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域波形繪制出來。1對(duì)于圖7-2（a）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=，即系統(tǒng)的極點(diǎn)位于原點(diǎn)，繪制s沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 0; b=1;impulse(b,a)繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3（a）所示，此時(shí)h(t)為單位階躍信號(hào)。56圖7-2 例7-2

6、的系統(tǒng)零極點(diǎn)圖（a） （b） （c）（e）（f） （d） 圖7-3 例7-2的系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域波形圖1對(duì)于圖7-2（b）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于S平s+57面左半平面的實(shí)極點(diǎn)，令=2，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 2;b=1;impulse(b,a)繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3（b）所示，此時(shí)h(t)為衰減指數(shù)信號(hào)。1對(duì)于圖7-2（c）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于S平s-面右半平面的實(shí)極點(diǎn)，令=2，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 -2;b=1;impulse(b,a)繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形

7、如圖7-3（c）所示，此時(shí)h(t)為隨時(shí)間增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào)。1對(duì)于圖7-2（d）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位(s+)2+2于S平面左半平面的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令=0.5、=4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 1 16.25;b=1;impulse(b,a,5)繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3（d）所示，此時(shí)h(t)為按指數(shù)衰減的正弦振蕩信號(hào)。1對(duì)于圖7-2（e）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=2，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于S2s+平面虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令=4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 0 16;b=1;impulse(b,a,5)繪

8、制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3（e）所示，此時(shí)h(t)為等幅正弦振蕩信號(hào)。1對(duì)于圖7-2（f）所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位(s-)2+2于S平面右半平面上的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令=0.5、=4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下：a=1 -1 16.25;b=1;impulse(b,a,5)繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3（f）所示，此時(shí)h(t)為按指數(shù)增長(zhǎng)的正弦振蕩信號(hào)。從上述程序運(yùn)行結(jié)果和繪制的系統(tǒng)沖激響應(yīng)曲線，可以總結(jié)出以下規(guī)律：系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)位置決定，H(s)位于S平面左半平面的極點(diǎn)決定了h(t)隨時(shí)間衰減的信

9、號(hào)分量，位于S平面虛軸上的極點(diǎn)決定了沖激響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)信號(hào)分量，位于S平面右半平面的極點(diǎn)決定了沖激響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)的信號(hào)分量。三、由連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性由前面分析可知，連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，顯然，系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布也必然包含了系統(tǒng)的頻率特性。58下面介紹如何通過系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來直接求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)的方法幾何矢量法，以及如何用MATLAB來實(shí)現(xiàn)這一過程。幾何矢量法是通過系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布來分析連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(j)的一種直觀而又簡(jiǎn)便的方法。該方法將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)是為S平面上的矢量，通過對(duì)這些矢量的模和幅角的分析，即可快速確定出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)

10、和相頻響應(yīng)。其基本原理如下：設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：(s-qj)B(s)j=1H(s)=CNA(s)(s-p)i=1iM其中qj(j=1,2, ,M)為H(s)的M個(gè)零點(diǎn)，pi(i=1,2, ,N)為H(s)的N個(gè)極點(diǎn)。則頻率響應(yīng)為：H(j)=H(s)s=j=C(s-q)(s-p)i=1ij=1NjM（7-3）現(xiàn)在從幾何矢量空間的角度分析S平面，即將S平面的任一點(diǎn)看成是從原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量，則j即是從S平面原點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量。同理，qj(j=1,2, ,M)和pi(i=1,2, ,N)即是從S平面原點(diǎn)到系統(tǒng)函數(shù)各零點(diǎn)和極點(diǎn)的矢量。現(xiàn)在考慮矢量j-qj，由矢量運(yùn)算可知，它實(shí)際上就是零

11、點(diǎn)qj到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量，如圖7-3所示；而矢量j-pi則是極點(diǎn)pi到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量。圖7-3 連續(xù)系統(tǒng)幾何矢量法示意圖 令jj-qj=BjejResj-pi=Aieji其中，Bj為矢量j-qj的模，j為該矢量的幅角；Ai為矢量j-pi的模，i為該矢量的幅角。因此有：H(j)=C則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為：(Bjej)(Ae)jii=1ij=1NMj=H(j)ej() （7-4）59H(j)=CMBj=1Ni=1MjANji=1（7-5）i()=- （7-6）j=1i由上述分析可以得出如下結(jié)論： 連續(xù)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)H(j)等于系統(tǒng)函數(shù)所有零點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的距離之積與

12、系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的距離之積的比值； 連續(xù)系統(tǒng)的相頻響應(yīng)()等于系統(tǒng)函數(shù)所有零點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量相角之和與系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量相角之和的差值。讓矢量j沿著虛軸變化，即角頻率由0進(jìn)行改變，便可直觀地求出系統(tǒng)幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)隨的變化，從而分析出系統(tǒng)的頻率特性。根據(jù)上述結(jié)論，若已知系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，即可直接由幾何矢量法分析出系統(tǒng)的頻率特性。上述過程可用MATLAB快速實(shí)現(xiàn)。用MATLAB實(shí)現(xiàn)已知系統(tǒng)零極點(diǎn)分布，求系統(tǒng)頻率響應(yīng)，并繪制其幅頻特性和相頻特性曲線的程序流程如下：（1） 定義包含系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)位置的行向量q和p；（2） 定義繪制系統(tǒng)頻率

13、響應(yīng)曲線的頻率范圍向量f1和f2、頻率取樣間隔k，并產(chǎn)生頻率等分點(diǎn)向量f；（3） 求出系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的距離； （4） 求出系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的矢量相角；（5） 根據(jù)式（7-5）和（7-6）求出f1到f2頻率范圍內(nèi)各頻率等分點(diǎn)的H(j)和()；（6） 繪制f1f2頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 下面是完成上述分析過程的MATLAB實(shí)用函數(shù)splxy()。 function splxy(f1,f2,k,p,q)%根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線程序%f1、f2：繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍（即頻率起始和終止點(diǎn)，單位為赫茲） %p、q：系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)

14、位置行向量 %k：繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率取樣間隔 p=p' q=q'f=f1:k:f2; %定義繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍w=f*(2*pi); y=i*w;n=length(p); m=length(q); if n=0 %如果系統(tǒng)無極點(diǎn) yq=ones(m,1)*y;vq=yq-q*ones(1,length(w); bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;60ai=1;thetai=0;elseif m=0yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(v

15、p)./pi.*180;bj=1;cosaij=0;elseyp=ones(n,1)*y;yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);vq=yq-q*ones(1,length(w);ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180;bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180;endsubplot(121);Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1);plot(f,Hw);title('連續(xù)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線')xlabel('頻率w（單位：赫茲）')ylabel(&

16、#39;F(jw)')subplot(122);Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1);plot(f,Angw);title('連續(xù)系統(tǒng)相頻響應(yīng)曲線')xlabel('頻率w（單位：赫茲）')ylabel('Angle(jw)')下面舉例說明如何調(diào)用該函數(shù)。例7-3：已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)= %如果系統(tǒng)無零點(diǎn) s，試用MATLAB繪制出該系統(tǒng)的(s+50)(s+100)頻率特性曲線（幅頻曲線和相頻曲線）。解：通過調(diào)用上述實(shí)用函數(shù)求解，命令如下：q=0;p=-100 -50;f1=0;f2=100;k=0.01;spl