微分方程積分因子的求法

1、微分方程積分因子的求法 何佳 【摘要】利用積分因子，可以對(duì)一個(gè)一階微分方程的求解進(jìn)行統(tǒng)一處理。因此，如何求解積分因子就成為解一階微分方程的一個(gè)重點(diǎn)了。但對(duì)于一個(gè)具體的方程，如何求出它的積分因子呢，一般的方法是解一個(gè)一階偏微分方程，不過那是比較不容易的。但是，對(duì)于某些特殊的情況，卻可以簡(jiǎn)單地得出積分因子。通過查找我們發(fā)現(xiàn)，在大多數(shù)常微分方程的教材中都只給出了只與x或y有關(guān)的積分因子的求法，但這是不夠的。所以我們?cè)谶@里來(lái)討論一下關(guān)于求解和這兩類積分因子的充要條件及部分例題，由此我們就可以得到形式相近的積分因子。如：通過，可以得到的積分因子。如此舉一反三，力求使得求積分因子的問題變的簡(jiǎn)便易行。同時(shí)，

2、還對(duì)積分因子的求法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類方程積分因子的求法。【關(guān)鍵字】 微分方程 ， 積分因子 ， 求解方法【目錄】 引言 1 目錄 2一、和兩類積分因子§ 1、 與有關(guān)的積分因子 3§ 2、 與有關(guān)的積分因子 4二、微分方程積分因子求法的推廣 § 1、 滿足條件的積分因子求法 7§ 2、 方程積分因子 10§ 3、 方程積分因子 12 § 4、 方程積分因子 13參考文獻(xiàn) 15 一、和兩類積分因子 引言：微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問題與解決問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工

3、具。人們?cè)谔角笪镔|(zhì)世界某些規(guī)律的過程中，一般很難完全依靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)到該規(guī)律，反而是依照某種規(guī)律存在的聯(lián)系常常容易被我們捕捉到，而這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程，而一旦求出方程的解，其規(guī)律則一目了然。所以我們必須能夠求出它的解。同時(shí)，對(duì)于全微分方程我們有一個(gè)通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那樣，并不是所有的微分形式的一階方程都是全微分方程。那時(shí)對(duì)于這類不是全微分方程的一階微分方程該如何求出它的解呢，這就需要用到這里我們討論的積分因子了。 §1、與有關(guān)的積分因子一般的，我們有這樣的定義：假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)( x , y )0使方程：( x , y

4、) M ( x , y ) dx +( x , y ) N ( x , y ) dy =0 .（1-1）成為全微分方程，我們就把( x , y )稱為方程（1-1）的一個(gè)積分因子。推論1 若僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè) = 則方程(1-1)有積分因子： 證明 ： 設(shè)，令，則滿足： 因此，當(dāng)且僅當(dāng)上式的右端是關(guān)于的函數(shù)，設(shè)為，方程(1-1)有積分因子： 例1 求方程的積分因子解： 方程有積分因子： §2、與有關(guān)的積分因子推論 1 如果僅是關(guān)于的函數(shù)，則可設(shè) 則方程(1-1)有積分因子： 證明 ： 如果僅是關(guān)于的函數(shù)，即，設(shè)，此時(shí)滿足： ， 即 因此，當(dāng)上式右端僅是關(guān)于的函數(shù)時(shí)，設(shè)為，則方程(1-1

5、)有積分因子：推論 2 若 僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè) 則方程(1-1)有積分因子： 證明 設(shè)，令，則滿足(1-1)式，即：有 因此，當(dāng)上式右端為的函數(shù)時(shí)，設(shè)為，則方程(1-1)有積分因子 ： 推論 3 若 僅是的函數(shù)時(shí)，設(shè) 則方程(1-1)有積分因子： 證明 ： 設(shè)，令，則滿足(1-1)式，即： 因此，僅當(dāng)上式右端為的函數(shù)時(shí)，設(shè)為，則方程(1-1)有積分因子： 例1 求解的積分因子解： 由 可知方程有積分因子： 例2 求解方程的積分因子解： 由方程可知 ； 因?yàn)?僅是的函數(shù)，則方程的積分因子是：二、微分方程積分因子求法的推廣微分方程積分因子求法的推廣主要寫了幾類特定微分方程的積分因子的求法，極大的提高

6、了我們計(jì)算積分因子的速度，對(duì)我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。§1 滿足條件的積分因子求法定理1 假設(shè)中，存在以下關(guān)系：其中是的連續(xù)函數(shù)，則該方程的積分因子是：證明 ： 即：若要使得是積分因子，必須滿足：則 即 即要滿足： 若滿足以上定理可得到如下定理：定理2 如果是方程的積分因子，則也是該方程的積分因子 證明 ： 因?yàn)椋謩e是，的連續(xù)函數(shù)，則由連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)知，也分別是，的連續(xù)函數(shù)又因?yàn)?=0所以 是全微分方程所以 也是該方程的積分因子例3 求的積分因子解 ：可以由上面的定理得到方程的積分因子： 例 4 求的積分因子解 ： 可以取 從而使該方程能夠滿足定理1所需條件則有：所以方程的積分因子

7、是： 同理，由定理2知： 也是該方程的積分因子§2方程積分因子定理3 齊次方程為：則該方程有積分因子：證明： 令 則知 若有： 也即是有： 例 5 求解齊次方程的積分因子解：由定理3得方程的積分因子是： §3、方程積分因子定理4 齊次方程：則該方程有積分因子：證明： 令 則知 因?yàn)?所以有 若有 則有： 所以 例 6 求解齊次方程 的積分因子解： 方程滿足定理3方程的形式，因此，方程的積分因子為： §4方程積分因子定理5 若齊次方程的形式為： 則方程的積分因子是： 證明： 令 則知 因?yàn)?所以有 若有 即有： 所以 所以 方程的積分因子是：例7 求齊次方程的積分因子解：方程滿足定理5條件，則知方程的積分因子是： 本文討論了幾種微分方程積分因子的求解方法。同時(shí)，還對(duì)積分因子的求解方法進(jìn)行了推廣，總結(jié)出幾類特定方程積分因子的固定求法，以便加深對(duì)微分方程積分因子的認(rèn)識(shí)和了解，熟悉一階微分方程求解方法。參考文獻(xiàn)1 鮮大權(quán). 一階線性常微分方程解法及教學(xué).西北工業(yè)大學(xué)，2007.2 劉玉仁.解常微分方程的積分因子法J.廣州師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1985.3王豐效