雙參數(shù)指數(shù)分布下可靠性增長試驗的統(tǒng)計分析

1、2005年6月第23卷第3期西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報Journal of Northwestern Polytechnical UniversityJ une2005Vol.23No.3雙參數(shù)指數(shù)分布下可靠性增長試驗的統(tǒng)計分析李艷玲,趙選民(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,陜西西安710072摘要:在充分利用可靠性增長試驗中各階段試驗數(shù)據(jù)評定現(xiàn)階段可靠性指標的基礎(chǔ)上,對雙參數(shù)指數(shù)模型試驗下所得的抽樣數(shù)據(jù),運用陳家鼎提出的方法,給出了現(xiàn)階段可靠度的點估計和在某種意義下最優(yōu)的置信下限。文中的方法在計算上比較簡便,適用于工程實際。關(guān)鍵詞:可靠性增長試驗,雙參數(shù)指數(shù)分布,可靠度,點估計,置信下限中圖分類號:O213.

2、2文獻標識碼:A文章編號:100022758(20050320356204在研制新產(chǎn)品期間,總要經(jīng)歷試驗2改進的反復(fù)過程,以提高產(chǎn)品的可靠性,這個過程稱為可靠性增長試驗。在新產(chǎn)品的研制和生產(chǎn)過程中,用可靠性增長技術(shù)對產(chǎn)品進行可靠性分析、控制和管理,對縮短產(chǎn)品的研制周期、節(jié)約試驗時間和研制經(jīng)費等有明顯的效果。故對這項技術(shù)的研究具有重大的理論和實際應(yīng)用價值。產(chǎn)品研制工作中的可靠性增長試驗通常有若干個階段,每個階段都是在前面幾個階段的基礎(chǔ)上,在設(shè)計或者原材料或者生產(chǎn)條件等方面有所改進,以提高產(chǎn)品的可靠度。我們關(guān)心的是最后階段結(jié)束時產(chǎn)品的可靠度是多少。如果這個可靠度合乎要求,則可靠性增長試驗可以結(jié)束,

3、否則還要繼續(xù)做增長試驗。在某些高技術(shù)產(chǎn)品(如航天、航空工業(yè)的某些產(chǎn)品研制過程中,每個階段只能獲得很小樣本的數(shù)據(jù)。問題是如何充分利用各個階段的數(shù)據(jù),給出最后階段結(jié)束時可靠度的點估計和置信下限。本文研究可靠性增長中的一類結(jié)構(gòu)可靠度的統(tǒng)計分析。文獻1對正態(tài)分布進行了討論,本文將文獻1中的方法用于雙參數(shù)指數(shù)分布的情形。1R m的點估計設(shè)研究某種產(chǎn)品的可靠性增長試驗共有m個階段,第i階段產(chǎn)品的強度是X i,R i=P(X i>c是第i階段產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)可靠度(c是最大應(yīng)力水平,在本文中看成固定常數(shù)。假定X i服從雙參數(shù)指數(shù)分布exp(i,i(i=1,2,m,i,i未知。通常工程界易于接受的基本條件是R

4、1R2R m(1第i階段產(chǎn)品的強度數(shù)據(jù)是X i1,X i2,X ini(X i的隨機樣本,n i2,為了簡單將其順序樣本仍記為X i1X i2X ini,在本文中用的都是順序樣本,且各階段試驗相互獨立。如何利用假定(1及全部數(shù)據(jù)X ij,i=1,2,m;j=1,2,n i給出最后階段可靠度的點估計與置信下限,是本文討論的主要問題。X i的分布函數(shù)為F(x=1-exp-x-ii(xii>0易知R i=exp-(c-i/i,(ci,令i=i-ci(i=1,2,m(i0則條件(1式等價于12m(2為了給出可靠度R m的點估計和置信下限,用到下面的引理。引理1設(shè)產(chǎn)品的壽命服從雙參數(shù)指數(shù)分布exp

5、(i,i,在壽命試驗中(有n個產(chǎn)品進行壽命試收稿日期:2004206222基金項目:國家自然科學(xué)基金(79970022、航空基金(02J53079和陜西省自然科學(xué)基金(N5CS0002資助作者簡介:李艷玲(1979-,女,西北工業(yè)大學(xué)碩士生,主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計的研究。驗得到的數(shù)據(jù)為t 1t 2t n ,則下述結(jié)論成立:(1和的最大似然估計分別為=t 1=1nni =1(n -i +1(t i -t i-1(2和的一致最小方差無偏估計(UMV 2U E 分別為=t 1-1n,=n n -1(n >1證明見文獻2。令i =1n i -1n ij =2(n i -j +1(X ij -X i

6、 (j -1i =X i 1-1n ii由引理1知, i 和i 分別是i 和i 的一致最小方差無偏估計。記Z i =i -c im =max1k mmi =kn i Z imi =kn iR m =exp (m (3取R m 作為R m 的點估計,有如下結(jié)論。定理1(Theorem 1在約束條件(2下,R m 是R m 的強相合估計。證明由順序統(tǒng)計量的概率分布知,X i 1的密度函數(shù)為f i 1(x =n i exp -x -iin i -11i exp -x -i i =n i iexp -n i (x -i i i 的極大似然估計i =X i 1。對任意>0P (|i -i |>

7、;=+i +fi 1(x d x =exp -n ii故n i =2P (|i -i |>=n i =2exp -n ii<由Borel 2Cantelli 引理知i a.s.i ,即i 是i 的強相合估計。又 i =X i 1-1n ii ,易知 i 亦是i 的強相合估計。由引理1證明知(n i -j +1(X ij -X i (j -1服從參數(shù)為i 的指數(shù)分布。由強大數(shù)定理知,n i 時, i =1n i -1n ij =2(n i -j +1(X ij -X i (j -1a.s.i ,即 i 是i 的強相合估計。故Z i 是i 的強相合估計。在約束條件(2式下,R m 是R

8、 m 的強相合估計。2R m 的置信下限為求R m 的置信下限,令G (r ,1,1,2,2,m ,m =P (1,1,(m ,m (R m r 作變換Y ij =X ij -ii(1i m ,1j n i 則Z i =Y i 1-1n i (n i -1n ij =2(ni-j +1(Y ij -Y i (j-1+i1n i -1n ij =2(ni-j +1(Y ij -Y i (j -1(4由X ij 相互獨立,知Y ij 也相互獨立,且共同分布為標準指數(shù)分布exp (1,利用(3式和(4式知R mr的概率只依賴于1,2,m ,故可令G (r ,1,1,2,2,m ,m =g (r ,1

9、,2,m 式中g(shù) (r ,1,2,m =P (1,1,(m ,m(R m r i =i -ci(1i m 給定(0,1,令R 3m (r =inf exp (m g (r ,1,2,m >,12m 0(5則由文獻3知R 3m (R m 是R m 的1-水平置信下限,并且是關(guān)于R m 單調(diào)的1-水平置信下限中最優(yōu)的。由(4式知,Z i 是i 的增函數(shù),故R m 是i 的增函數(shù)。故g (r ,1,2,m 分別是1,2,m 的增函數(shù)。則容易證明下面的等式infexp (m g (r ,1,2,m >,12m 0=infexp (g (r ,>,-<0(6由(6式和(5式,得到

10、:R 3m (r =inf exp (g (r ,>,-<0(7定理2(Theorem 2g (r ,是的嚴格增連續(xù)函數(shù)。證明由g (r ,的定義知,連續(xù)性顯然成立。下證g (r ,是的嚴格增函數(shù)。記753第3期李艷玲等:雙參數(shù)指數(shù)分布下可靠性增長試驗的統(tǒng)計分析y=y11,y1ni ,y21,y2ni,y m1,y mnm(,y=max1km mi=kn i y i1-1n i(n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1+1n i-1nij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1mi=kn i若存在i使y i1,y i2,y ini全相等,則令(,y=0

11、。為了證明方便,引入如下定義。稱y是正則點,若其分量有下列性質(zhì):對一切1im,y i1,y i2,y ini 不全相等。易得,若y是正則點,則(,y是的嚴格增連續(xù)函數(shù),并且有l(wèi)im-(,y=-,lim0(,y=C式中C=max1kmmi=kn i y i1-1n i(n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-11n i-1n ij=2(n i-j+1(y ij-y i(j-1mi=kn i任給定1<2及(-,C,對于任一固定正則點y0=y011,y01n1,y021,y02n2,y0m1,y0mnm由連續(xù)函數(shù)中值定理知,存在3,使得(3,y0=,令y ij=y0ij+

12、(3-2(1im,1jn iy= y11, y1n1, y21, y2n2, y m1, y mnm則(2, y=且 y是正則點。由(,y是的嚴格增連續(xù)函數(shù)知,(1, y<。根據(jù)函數(shù)連續(xù)性知,對任意的>0,使得(1+, y<。令y ij=y ij+(1im,1jn iy= y11, y1n1, y21, y2n2, y m1, y mnm則(1, y=(1+, y<(2, y=(2+, y>(2, y=令D=y(1,y<<(2,y,且y是正則點,由上面的證明知, yD。故D是非空集,所以D 的Lebesgue測度大于0。設(shè)Y=Y11,Y1n1,Y21,

13、Y2n2,Y m1,Y mnm式中,Y ij是獨立同分布隨機變量組,共同分布為exp(1,則g(r,=P(exp(,yr=yexp(,yrexp-i,j y ijd y所以g(r,1,2,2-g(r,1,1,1=y(1,y<(2,yf(yd y>0即是說g(r,是的嚴格增函數(shù)。由定理2和公式(7知R3m(r=exp3,其中3是方程g(r,=(8的唯一根。對于給定的r和可用隨機模擬法計算g(r,的值。本文首先根據(jù)觀測數(shù)據(jù)Xij計算出R m。取定r=R m,然后用二分法解方程(8,得到其根3,最后得到可靠度R m的置信下限R mL= R3m(R m=exp(3。3數(shù)值模擬用文中的方法對

14、三階段可靠性增長試驗進行數(shù)值模擬。取m=3,n1=10,n2=15,n3=15,各階段的參數(shù)值分別取為1=210,1=20,2=215,1 =40,3=220,3=60;最大應(yīng)力c為221。按這些參數(shù)值隨機產(chǎn)生各階段的樣本數(shù)據(jù)。運用Matlab進行計算?？梢缘玫礁麟A段可靠度的點估計和最后階段可靠度的置信下限的估計值(1-=0.8模擬次數(shù)1000次為R1=0.5574R2=0.8581R3=0.9917R3L=0.9032從以上結(jié)果可以看出:各階段可靠度的估計值853西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報第23卷滿足文中的基本條件(1。而且利用文中的方法計算最后階段可靠度的點估計和置信下限特別簡單。便于工程實際應(yīng)用。

15、參考文獻:1周源泉.確定電子產(chǎn)品M TBF 增長的Bayes 方法.電子學(xué)報,1983,11:40442周勇,陳家鼎.可靠性增長試驗中一類結(jié)構(gòu)可靠度的統(tǒng)計分析.應(yīng)用概率統(tǒng)計,1997,13(3:2832873師義民,楊昭軍,劉小冬.雙參數(shù)指數(shù)分布下加速壽命試驗的統(tǒng)計分析.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報,1995,13(4:6066094陳家鼎.樣本空間中的序與參數(shù)的置信限.數(shù)學(xué)進展,1993,22(6:542552.5曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論.科學(xué)出版社,1986A B etter Analysis of R eliability G row th T estsLi Yanling ,Zhao Xuan

16、min(Department of Applied Mathematics ,Northwestern Polytechnical University ,Xi an 710072,China Abstract :In our opinio n ,t he two 2parameter exponential distribution is a better mat hematical distribution t han t he now generally used one 2parameter exponential distribution for analyzing reliabil

17、ity growt h test s ;it is clo ser to describing accurately t he life distribution of p roduct and is t herefore conducive to more accu 2rately p redicting reliability and leads to high reliability growt h.In t he f ull paper ,we explain in much detail how to make better analysis using two 2parameter

18、 exponential dist ribution ;we emp hasize t hat we prove Theorems 1and 2,which form t he core of o ur analysis.In place of f ull but cumbersome explanation ,here we give only a briefing.For a product which has undergone m stages of reliability growt h test s ,we take sample test data from t hese m stages and comp ute t he point estimate and lower confidence bound of t he m t h stage.A simulation example shows p reliminarily t hat our analysis ,which is