歐氏幾何公理體系

1、歐氏幾何公理體系第一講歐氏幾何公理體系目錄一、幾何概述P1二、公理化方法的內(nèi)涵與意義 P1三、歐幾里得幾何原本簡介 P2四、完備化的希爾伯特公理體系 P5五、中學(xué)幾何公理系統(tǒng) P8一、幾何概述二、公理化方法的內(nèi)涵與意義1. 什么是公理化方法公理化方法是“從某些基本概念和基本命題 出發(fā)，依據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理, 從而構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)的方法?！币话阌?部分組成：(1) 原始概念的列舉(2) 定義的敘述(3) 公理的列舉(4)定理的敘述和證明4個部分不是獨立地敘述和展開，而是相互 交叉、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹 和展開的。原始概念和公理決定幾何體系的基 礎(chǔ)，不同的基礎(chǔ)決定不

2、同的幾何體系。如歐氏幾 何、羅氏幾何等。原始概念包含原始元素(圖形) 和原始關(guān)系兩類.原始元素如點、直線和平面等， 原始關(guān)系如結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等。 原始概念沒有定義，但它們的屬性隱含在公理 中，如平面的屬性，中學(xué)給出三個公理： 一直線上的兩點在一個平面內(nèi)，則直線上所有 點都在平面內(nèi)；兩平面有一公共點，則它們有且僅有一條過公 共點的直線；過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平 面。公理是“在一個系統(tǒng)中已為反復(fù)實踐所證實 而被認為不需要證明的真理，具有自明性 ”。 一般來說，公理被人們普遍接受，無須證明，但 后來發(fā)現(xiàn)，有些公理并非十分顯然，如第五公設(shè)。 因此，人們選用某些命題作為一種

3、演繹推理的出發(fā)點，并非一定要自明，只要大家能接受就行， 實質(zhì)在于符合經(jīng)驗。2. 公理系統(tǒng)的三個基本問題（1）相容性（無矛盾性）若由公理系統(tǒng)不能推出兩個矛盾的命題，則 稱該公理系統(tǒng)是相容的?？垦堇[推理的方法證明 系統(tǒng)（刀）的無矛盾性是不可能的，因為無論推出 多少個命題沒有出現(xiàn)矛盾，也不可能保證繼續(xù)推 下去保證永遠不會發(fā)生矛盾。要證明無矛盾性， 數(shù)學(xué)上用解釋（即作模型）的方法。先找一個模型 M使M的事物與刀的命題形成 對應(yīng)關(guān)系， 我們先確定M的事物是存在的，或假設(shè)它是存在 的，后一情況，我們只證明了公理系統(tǒng)在 M存在 的條件下是無矛盾的，即刀相容是有條件的，如 歐氏幾何的相容性歸結(jié)為自然數(shù)的皮亞諾

4、公理 的相容性，而它又歸結(jié)為集合的相容性，而集合 的無矛盾性至今也沒有解決。（2）獨立性（公理數(shù)量最少問題）確定刀中每個公理是必要的，不是多余的， 不能由其它公理導(dǎo)出，保證公理是最少個數(shù)問 題。解決起來很困難，如第五公設(shè)。在實際教學(xué)中，從學(xué)生的現(xiàn)有知識水平出發(fā)，為了提高教學(xué) 效率，故意多列一些公理，便于論證。（3）完備性（公理個數(shù)最大化問題）公理個數(shù)盡可能多，保證每個定理均能推 出。幾何原本所列的公理是不夠的，證明中 借助了幾何直觀和其它默契，如無順序性等。公 理的完備性相當復(fù)雜，到目前為止，希爾伯特在 幾何基礎(chǔ)中才將歐氏幾何的公理完備性解 決。一般地，多數(shù)數(shù)學(xué)理論是以不完備的公理系 統(tǒng)為基礎(chǔ)

5、的，如群論（存在不同構(gòu)的群）。對于一 個刀，要求必須是相容的，最好是獨立的，是 否完備則視需要而定。3. 公理化方法的意義和作用關(guān)于公理化思想方法的作用，徐利治歸結(jié)為 以下4點：這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識的作用。凡 取得了公理結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，由于定理和命題 均已按邏輯演繹關(guān)系串聯(lián)起來，故使用起來也 較方便。公理化方法把一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)分析得清清楚 楚，這就有利于比較各門數(shù)學(xué)的實質(zhì)性不同，并能促使和推動新理論的創(chuàng)立。數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法上有示范作用。 這 種方法對現(xiàn)代理論力學(xué)及各門自然科學(xué)理論 的表述方法都起到了積極的借鑒作用。例如，19世紀40年代波蘭的Banach曾完成了理論力 學(xué)的公

6、理化；而物理學(xué)家亦把相對論表述為公 理化形式公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理性和 結(jié)構(gòu)的和諧性確實符合美學(xué)的要求，因而為數(shù) 學(xué)活動中貫徹審美原則提供了范例。三、歐幾里得幾何原本簡介歐幾里得是柏拉圖的學(xué)生，以其幾何原本 聞名于世，但身世不詳，沒有哪位偉人能象他那 樣聲譽持久。其貢獻在于對前人的材料加以整 理，并在書中作了系統(tǒng)闡述，于公元前300年完 成幾何原本。本人是一個溫和敦厚的教育家， 受托勒密一世之邀，長期在亞歷山大城進行教學(xué) 和研究工作。他反對學(xué)數(shù)學(xué)投機取巧，也反對狹 隘的實用觀點。一次，托勒密問他有無學(xué)習幾何 的捷徑，回答說：“在幾何里，沒有專為國王鋪 設(shè)的大道。成為千古傳誦的學(xué)習

7、箴言。又一個 學(xué)生問學(xué)習幾何后能得到什么，歐幾里得回答 說：“給他三個錢幣，因為他想在學(xué)習中獲得實 利。幾何原本先以手抄本流傳，在有印刷術(shù)后， 先后有1000多種版本，在西方是僅次于圣經(jīng) 的出版量最多的書，其影響之深遠，以致使歐幾 里得和幾何學(xué)成了同義詞。1 .幾何原本簡介幾何原本由希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得 Euclid，公元前300年前后所著，是用公理 方法建立演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。是至今流傳 最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著。幾何原本共13卷。每卷或幾卷一起 都以定義開頭。第一卷首先給出23個定義，摘要列舉如下：(1) 點沒有大小.(2) 線有長度沒有寬度；(3) 線的界是點.(4) 直線是與

8、其上的點看齊的線.(5) 面只有長度和寬度.(6) 面的界是線.(7) 平面是與其上的直線看齊的面.(8) 平面角是平面上兩相交直線的傾斜度.(15) 圓是包圍在一(曲)線里的平面圖形，使從 其內(nèi)某一點到該線的所有直線段彼此相等.(16) 于是那一點便叫做圓的中心(簡稱圓心).(23)平行直線是這樣的一些直線，它們在同一 平面內(nèi)，而且往兩個方向無限延長時， 在兩個方 向上都不會相交.接著給出五條公設(shè)：I 從每個點到另一點可引直線.II 每一直線都可無限延長.III 以任意點為中心可用任意半徑作圓.W.所有直角彼此相等.V .(在同一平面內(nèi))如果兩條直線與第三條直 線相交，某一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小

9、于二直角， 則 把兩條直線向該側(cè)充分延長后一定相交.接著給出五條公理：I 等于同一量的量相等.II 等量加等量其和相等.川等量減等量其差相等.W.彼此重合的量相等.V 整體大于部分.這里，歐幾里得把公設(shè)看成僅適于幾何的公 理，把公理看成既適用于算術(shù)又適用于幾何.現(xiàn)在的幾何學(xué)把兩者都稱為公理，不再區(qū)分公設(shè)和 公理，而后五條算術(shù)公理一般不再明文列出.第一卷的后面提出 49個命題和證明等論 述，討論有關(guān)平行線的判別和性質(zhì)，三角形的全等和邊角關(guān)系，垂線、平行四邊形、多邊形面積 和勾股定理等.第二卷 本卷編寫的是用幾何方法研究代數(shù)恒 等式，即幾何中的代數(shù)共提出 14個命題，其 中包括線段的計算，黃金分割

10、，多邊形變形為等 積正方形等.第三卷 本卷編寫了與圓有關(guān)的定理，共提出37 個命題.其中有關(guān)于弦、圓心角、圓周角、切線、 割線、圓冪等定理，這些就是現(xiàn)在中學(xué)幾何中所 提出的定理，證法也基本相同.第四卷 本卷編寫了圓的內(nèi)接和外切多邊形的 性質(zhì)，以及正多邊形的作圖等，最后一個命題是 作圓的內(nèi)接正十五邊形，共提出16個命題.第五卷 本卷編寫了比例論，是在歐多克斯研究 成果的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的.歐幾里得首先給出同 類的兩個量之比，四個量成比例等定義，提出更 比、反比、合比、分比等性質(zhì)，共提出 25個命 題.第六卷 本卷編寫了相似形理論，以及求作一些 比例量的作圖，共提出33個命題大部分和現(xiàn) 行中學(xué)幾何教

11、材一致，其中第 31命題是畢達哥 拉斯定理的推廣.第七、八、九卷 是有關(guān)數(shù)論的知識，討論了整 數(shù)及整數(shù)比的性質(zhì)，是純粹討論數(shù)的，其論證不 依賴于幾何.第十卷本卷敘述了整數(shù)開平方的幾何運算，以 及對無理數(shù)度量的分類，共提出115個命題.第十一到十三卷編寫的是立體幾何，以及求面 積、體積的“窮竭法”.第一卷敘述了立體幾何的基本定理，包 括空間點、直線、平面相互位置關(guān)系的一系列定 理；關(guān)于多面角的理論；相似立體形、棱柱、棱 錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等概念和性質(zhì).其 中大部與現(xiàn)行中學(xué)立體幾何課本的內(nèi)容相同.第十二卷 本卷編寫了幾何體的表面積和體 積的有關(guān)定理，包括曲線和曲面所圍成的形體的 面積和

12、體積.集中研究了歐多克斯研究過的“窮 竭法”.本卷共提出18個命題.所謂“窮竭法”，舉例說，為證明兩圓面積之 比等于其直徑平方之比，可以通過圓的內(nèi)接正多 邊形，當邊數(shù)不斷增加時，正多邊形的面積逐漸 接近圓的面積，而定理對正多邊形成立，就證明 它對圓也成立.“窮竭”一詞起因于相繼作圓的 內(nèi)接多邊形，當邊數(shù)無限增多時，窮竭了圓的面 積，不過歐幾里得避開了極限的概念. 歐幾里得 把這種方法推廣到求空間圖形的體積上.第十三卷 編寫了正多邊形本身的性質(zhì)及內(nèi) 接于圓的性質(zhì)、球的內(nèi)接正多面體的性質(zhì)和作 圖，以及確定五種類型正多面體等共提出19個命題.正多面體不能多于五種的證明，是根據(jù)第十一 卷命題21 “多

13、面角各面角之和小于360”來完 成的假設(shè)正多面體各面都是正三角形時，當時每個頂點都有三個正三角形時，則正四面體；當過每個頂點都有四個正三角形時，則得正八面 體；當過每個頂點都有五個正三角形時， 則得正 二十面體.過每個頂點不能有六個以上的正三角 形，因為這時多面角之和就要等于或者大于 360 假設(shè)正多面體的面都是正方形，過每個 項點的正方形只能有三個，這便是正六面體；假 設(shè)正多面體的面都是正五邊形，過每個頂點只能 有三個正五邊形，這便是正十二面體.此外再不 能有其他情形了。2.幾何原本的偉大貢獻幾何原本內(nèi)容是相當豐富的.我們說幾 何原本是一部不朽的經(jīng)典著作，可以舉出很多 事例，但歸納起來主要有

14、三個方面：第一，從科學(xué)和數(shù)學(xué)本身來看，它是歷史上 第一部真正的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)科學(xué)理論著作.它把 公元前3世紀以前所積累的經(jīng)驗幾何和早期推 理幾何的龐大的幾何知識，加工整理成理論體 系，為后來幾何發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ). 實際證 明，它是幾何學(xué)發(fā)展的一個重要的里程碑， 是人 類文明遺產(chǎn)中的瑰寶.第二，從科學(xué)方法論的角度來看，歐幾里得 吸取了亞里士多德的關(guān)于建立科學(xué)理論的思想， 總結(jié)了古希臘各個學(xué)派對幾何學(xué)方法的研究成 果，在幾何原本中確立了古典公理化方法.幾 何原本從少數(shù)基本概念和公理出發(fā)，運用形式 邏輯的原理，把幾何學(xué)編排成由概念、公理、命 題組成的演繹體系.他的思想方法和示范性的工 作，為幾何學(xué)

15、的研究開創(chuàng)了史無前例的新的途 徑，為公理化方法奠定了良好的開端. 在此基礎(chǔ) 上公理化方法逐步發(fā)展成為近代公理化方法，并 超越幾何學(xué)的界限，被應(yīng)用到整個數(shù)學(xué)和其他科 學(xué)領(lǐng)域.第三，從數(shù)學(xué)教育方面來看，由于幾何原 本已把幾何知識編排成系統(tǒng)的科學(xué)著作， 自然 就成為傳播幾何知識的重要教材，它在世界上引 起的巨大影響，使歐幾里得的名字幾乎成為幾何 學(xué)的代名詞了.世界上各國的中學(xué)幾何教材，幾 乎都是以幾何原本的內(nèi)容、方法編排而成的.3.幾何原本不足之處幾何原本雖是不朽的著作，但由于時代 和當時科學(xué)發(fā)展的局限性，難免存在許多缺陷主要的是以下三個方面：第一，歐幾里得在幾何原本中試圖對每 個概念都給出定義，實

16、際上是不可能的.因此一 些定義，如開頭的7個定義不過是對點、線、面 等幾何概念的直觀描述，它們在以后的推理論證 中根本不起作用；還有一些定義含糊不清，令人 費解，如“直線” “平面”等概念；還有一些定 義利用了未加定義的概念，如“界限”“長度”等等總之，在概念的處理上存在一些問題.第二，幾何原本中作為演繹、推理基礎(chǔ) 的公設(shè)不夠用.希爾伯特對歐幾里得幾何給出了 20條公理，不多不少正好夠用，而幾何原本 僅給出5條公理（即5條公設(shè)，不含算術(shù)公理）, 顯然缺少很多，有許多命題的證明由于缺少論 據(jù)，不得不借助于圖形的直觀感覺或未加證明的 一些事實為根據(jù)，即離不開幾何實體.后來過了 2000多年的時間，

17、才逐步補齊了所缺的公理.第三、敘述上格式單調(diào)、割裂；有的命題的 證明過于煩瑣、重復(fù)，以特例證明一般，甚至出 現(xiàn)邏輯錯誤等.四、完備化的希爾伯特公理體系幾何原本的公理系統(tǒng)盡管具有偉大的歷史 意義，成為表述科學(xué)真理的典范，但畢竟是初創(chuàng) 時期，存在許多的不足之處，那該怎樣修改、補充幾何原本中的定義、公理才能使幾何成為 邏輯上完美無缺的科學(xué)呢？如何建立幾何學(xué)牢 固的邏輯基礎(chǔ)？兩千年來，數(shù)學(xué)家們致力于研究 的重要課題，一方面增加或改換公理，促使幾何 基礎(chǔ)的嚴密化；另一方面，試證第五公設(shè)，導(dǎo)致 非歐幾何的產(chǎn)生。在前一方面，做出偉大貢獻的 是德國數(shù)學(xué)家希爾伯特。基本元素：點、線、面基本概念基本關(guān)系結(jié)順合關(guān)系

18、基本關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系幾何基礎(chǔ)關(guān)聯(lián)公理（I1 IJ順序公理（II2 II4） 基本公理合同公理（III1 III5）平行公理（V）連續(xù)公理（V V）1 結(jié)合公理原始元素和關(guān)系點用大寫拉丁字母A、等表示 直線用小寫字母、八、等表示 平面用希臘字母八等表示結(jié)合關(guān)系（屬于關(guān)系）用“二等術(shù)語表達 公理11對于任意兩點刀、，恒存在直線衛(wèi)通過 它們。（兩點指不同的點）公理12 對于任意兩點 ，至多存在一條直 線通過它們。上面兩條公理肯定了通過任意兩點存在惟一一 條直線。公理13在一條直線上至少有兩個點，；至少存在三個點不在一條直線上。以上三條公理只確定點與直線的結(jié)合關(guān)系， 是平面幾何的結(jié)合公理，建立空間

19、幾何還需要引 進以下公理14|8公理I4 對于任意三個不在一條直線上的點XB、存在平面。通過它們。每個平面上至少有一個點。公理15 對于任意三個不在一條直線上的點-4、 三、T,至多有一個平面通過它們。公理16 如果直線衛(wèi)上的兩個點八、在平面口上， 則直線衛(wèi)上的每個點在平面口上。公理17如果兩個平面有一個公共點，則它們至少還有另一個公共點。公理18至少有四個點不在同一平面上。該公理所能導(dǎo)出的定理很少，不能證明點、直 線、平面的集合是無限的，甚至不可能證明“每 直線上至少有三個點”。在中學(xué)教材中，絕大部 分是直觀承認了。2 順序公理順序公理是確定原始關(guān)系介于”或一點在兩 點之間”的公理公理II1

20、如果B介于點M和點C之間，則HB、c是直線上三點，而且B也介于和衛(wèi)之間。公理II2對任意兩點用、匸，在直線皿上至少存在一個點萬，使亡介于和萬之間公理II3在一直線上的任意三點中，至多有一點介于其余兩點之間.以上三條公理是直線上的順序關(guān)系。公理|4（帕施Pasch公理）設(shè)上、是不在一條直線上的三個點，職是m、三點所決 定平面上的一條直線，并且不通過三點中任何一 個。如果直線衛(wèi)通過線段拙的一個內(nèi)點，則直線日 一定要通過線段M或線段眈之一的一個內(nèi)點。3 合同公理合同公理所涉及的原始關(guān)系是“線段相等”和 “角相等”，它們的屬性由下列公理來制約。公理III1設(shè)人B是直線4上的兩點，如是同一直線或另一直線

21、X上的一點。則在X上卅的已知一 側(cè)，一定可以找出一個點卻，使線段朋合同于（或 相等于）線段丹，記做血卻。對于每個線段腫有 亦朋。（這里的線段是無向線段，即長度） 公理III2如果兩線段都合同于第三線段，則這兩個線段也合同。公理III3設(shè)靦和耽是直線衛(wèi)上的兩個線段，沒有公共的內(nèi)部點。又設(shè)如和齢是同一直線或另 一直線上的兩條線段，沒有公共的內(nèi)部點。如 果朋矽，比fL, 打月。這條公理肯定了合同線段的可加性。公理III4如果在平面:上已知；，在同一 個或另一個平面二上給定一直線,并且在平面 上二指定了直線的確定一側(cè)，以及泊上從一點 出發(fā)的射線。則在平面二上直線*予先指的那一 側(cè)，存在惟條以，為端點的

22、射線，使得冷血 合同于（或相等于）絞。公理III5 如果兩個三角形 臨口和之間有 合同關(guān)系， AC=AtCt， dBAC =則必有 ABC = AA（SrCf， dACB=佇4 連續(xù)公理W公理W 1（阿基米德命題）設(shè)觀兔是任意兩個線段，則在直線 腫上存在有限個點斤, 它們排成順序：點人介于真和之間，點嗎介于點X 和為之間等等，又*4并且使得點萬介 于點蟲和點九之間。（康托爾命題）公理W 2（康托爾命題）設(shè)直線。上存在線段的無窮序列佔忍場丘，其中后一線段都在前 一個線段的內(nèi)部，且對于任何線段 陀，恒有理使 心噸則必有一點.落在所有線段的內(nèi)部。前面合同公理川中討論二線段比較大小的 問題，是進行直接

23、的比較，而非比較它們的長度 因為只用前三組公理不能說明每條線段有長度， 只有引入了連續(xù)公理后同，才能做到這一點。這 以后，兩線段大小的比較轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)目的比 較，在實踐中方便多了。不僅如此線段與數(shù)目的 對應(yīng)溝通了形與數(shù)，使我們在必要時可把幾何問 題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，或把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問 題，解析幾何就是這樣。有了公理I到公理W之 后，可建立空間直角坐標系，進而解析幾何的根 本問題解決了。在有了長度概念、角的測量問題 之后，可推導(dǎo)直線的連續(xù)性命題及直線上的點與 實數(shù)之間能建立對應(yīng)關(guān)系，也能推導(dǎo)直線交 圓命題（在平面上過圓內(nèi)部的點的直線交圓于兩 點）和圓交圓命題（在一平面上一圓通過圓內(nèi)部一 點和外部一點，則兩圓必有兩交點 ），從而解決 了初等幾何的尺規(guī)作圖問題。5 平行公理公理V （歐幾里得平行公理） 在平面上，通 過直線外一點至多存在一條直線與已知直線不 相交。五、中學(xué)幾何公理系統(tǒng)1中學(xué)幾何屬于歐幾里得幾何范疇中學(xué)幾何是以歐幾里得幾何原本為原型建 立的。其方法采用了歐幾里得實體公理化方法， 即以不完備的公理系統(tǒng)加上一些直觀承認的客 觀事實為基礎(chǔ)，通過邏輯推理建立演繹體系，其 內(nèi)容基本上是幾何原本的內(nèi)容2中學(xué)幾何的