第一章極限和連續(xù)

1、第 一 章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。 2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。 3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。 4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限 1.數(shù)列定義 按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作xn，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項xn為數(shù)列的一般項或通項，例如（1）1

2、，3，5，（2n-1），（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，（震蕩數(shù)列）【答疑編號10010101】都是數(shù)列。它們的一般項分別為（2n-1）,。對于每一個正整數(shù)n，都有一個xn與之對應(yīng)，所以說數(shù)列xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3,. xn,。 2.數(shù)列的極限定義 對于數(shù)列xn，如果當(dāng)n時，xn無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作比

3、如：無限的趨向0 ，無限的趨向1否則，對于數(shù)列xn，如果當(dāng)n時，xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，稱數(shù)列xn沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如： 1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列xn以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A |趨于0。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1（惟一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列xn收斂，則它必定有界。注意：這個定理反過來不成立，也就是說

4、，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1，0，1，0， 有界：0，12.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：（1），（2），則定理1.4 若數(shù)列xn單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5 （1）（2）（3）當(dāng)時，（三）函數(shù)極限的概念 1.當(dāng)xx0時函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)xx0時f（x）的極限定義 對于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）A（當(dāng)xx0時）例y=f（x）=2x+1 x1, f（x）?【答疑編號10010102】 x<1 x

5、1 x>1 x1（2）左極限當(dāng)xx0時f（x）的左極限定義 對于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作或f（x0-0）=A（3）右極限當(dāng)xx0時，f（x）的右極限定義 對于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作或f（x0+0）=A例子： 分段函數(shù)，求，【答疑編號10010103】解：當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)x0時，f（x）的左極限是1，即有當(dāng)x從0的右邊

6、無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x0時，f（x）的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限 右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6 當(dāng)xx0時，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，則必有。 x1時f(x)? x1 x1f(x)2對于函數(shù)，當(dāng)x1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。2.當(dāng)x時，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x時，函數(shù)f（x）的極限y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定義 對于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)x時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或 f（x）A（當(dāng)x時）

7、（2）當(dāng)x+時，函數(shù)f（x）的極限定義 對于函數(shù)y= f（x），如果當(dāng)x+時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)x+時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n+的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出x+，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。 y=f(x)x+f(x) x？x+，f(x)=2+2 例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x+時，f（x） ？【答疑編號10010104】解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以（3）當(dāng)x-時，函數(shù)f（x）的極限定義 對于函數(shù)y= f（x），如果當(dāng)x-時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱

8、當(dāng)x-時，f（x）的極限是A，記作 x-f(x) ？則f(x)=2+(x0) x-, -x+f(x)=2+2例：函數(shù)，當(dāng)x-時，f（x） ？【答疑編號10010105】解：當(dāng)x-時，-x+2，即有由上述x，x+，x-時，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x時f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x+以及x-時，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x-時，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x+時，f（x）也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當(dāng)x時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+ y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有即雖然當(dāng)x-時，f（x）的極限存在，當(dāng)x+

9、時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+ y=arctanx不存在。但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有即雖然當(dāng)x-時，f（x）的極限存在，當(dāng)x+時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)x時，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理1.9如果則 （1） （2） （3）當(dāng)時，時

10、， 上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論： 推論 ：（1）（2） （3） 用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。 （五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理1.10函數(shù)以A為極限的必要充分條件是： 可表示為A與一個無窮小量之和。 注意： （1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢

11、無限趨于為零。 （2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。 （3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。 例如： 振蕩型發(fā)散 （4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。 2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意：無窮大（）不是一個數(shù)值，“”是一個記號，

12、絕不能寫成或。 3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果 為無窮小量，且，則為無窮大量。當(dāng)無窮大 無窮小當(dāng)為無窮小無窮大 4.無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。 性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。 5.無窮小量的比較定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與

13、為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為； （4）如果則稱是比較低價的無窮小量。 當(dāng) 等價無窮小量代換定理：如果當(dāng)時，均為無窮小量，又有且存在，則。 均為無窮小 又有 這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。 常用的等價無窮小量代換有：當(dāng)時， sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx; （六）兩個重要極限 1.重要極限 重要極限是指下面的求極限公式 令 這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。 其結(jié)構(gòu)式為： 2.重要極限 重要極限是指下面的公式： 其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫

14、自然對數(shù)的底，它的值為 e=2.718281828495045 其結(jié)構(gòu)式為： 重要極限是屬于型的未定型式，重要極限是屬于 “”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1.利用極限的四則運算法則求極限；2.利用兩個重要極限求極限；3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6.利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式 （2） （3） （4） 例1.無窮小量的有關(guān)概念 （1）9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A. B. C. D. 【答疑編號10010301】 答 C A.

15、發(fā)散 D.（2）0202當(dāng)時，與x比較是 A.高階的無窮小量 B.等價的無窮小量C.非等價的同階無窮小量 D.低階的無窮小量 【答疑編號10010302】 答 B解:當(dāng),與x是 極限的運算：0611 【答疑編號10010303】 解： 答案-1 例2.型因式分解約分求極限（1）0208 【答疑編號10010304】 答 解: （2）0621 計算 【答疑編號10010305】 解: 答例3.型有理化約分求極限 （1）0316 計算 【答疑編號10010306】 答 解: （2）9516 【答疑編號10010307】 答 解: 例4.當(dāng)時求型的極限（1）0308 【答疑編號10010308】 一

16、般地，有 答 例5.用重要極限求極限 （1）9603下列極限中，成立的是 A. B. C. D. 【答疑編號10010309】 答 B（2）0006 【答疑編號10010310】 答 解: 例6.用重要極限求極限 （1）0416 計算【答疑編號10010311】 答 解析解一：令 解二： 0306 0601（2）0118 計算【答疑編號10010312】 答解: 例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407 【答疑編號10010313】 答0 解: ， 例8.用等價無窮小代換定理求極限 0317 【答疑編號10010314】 答0 解:當(dāng) 例9.求分段函數(shù)在分段點處的極限 （1）0307設(shè) 則在的左極限

17、 【答疑編號10010315】 答 1 解析 （2）0406 設(shè),則 【答疑編號10010316】 答 1 解析 例10.求極限的反問題（1）已知則常數(shù) 【答疑編號10010317】解析解法一：，即，得.解法二：令，得，解得. 解法三：（洛必達(dá)法則） 即，得.（2）若求a,b的值. 【答疑編號10010318】 解析型未定式.當(dāng)時，. 令于是，得.即，所以. 0402 【答疑編號10010319】0017，則k=_. （答:ln2） 【答疑編號10010320】 解析 前面我們講的內(nèi)容： 極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量

18、階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性 復(fù)習(xí)考試要求 1.理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。 2.會求函數(shù)的間斷點。 3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。 4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。 主要知識內(nèi)容 （一）函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在點x0處連續(xù) 定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量x（初值為x0）趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量y也趨近于0，即 則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)。 函數(shù)y=f（x）在點x0連續(xù)也可作如下定義

19、： 定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)xx0時，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即 定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)，則f（x）在點x0處左連續(xù)也右連續(xù)。 2.函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù) 定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的每一點x處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，并稱f（x）為a，b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右

20、端點b處是左連續(xù)。 可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。 3.函數(shù)的間斷點 定義 如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）一個間斷點。 由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一： （1）在點x0處，f（x）沒有定義； （2）在點x0處，f（x）的極限不存在； （3）雖然在點x0處f（x）有定義，且存在，但 ， 則點x0是f（x）一個間斷點。，則f（x）在A. x=0,x=1處都間斷 B. x=0,x=1處都連續(xù) C. x=0處間斷，x=1處連續(xù) D. x=0處連續(xù)，x=1處間斷 【答疑編號10010401】 解：x=0處，f（0）=0 f（0-0）f

21、（0+0） x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1 f（1-0）=f（1+0）=f（1） f（x）在x=1處連續(xù) 答案C9703設(shè)，在x=0處連續(xù)，則k等于 A.0 B. C. D.2 【答疑編號10010402】 分析：f（0）=k 答案 B例30209設(shè)在x=0處連續(xù)，則a= 【答疑編號10010403】 解：f（0）=e0=1 f（0）=f（0-0）=f（0+0） a=1 答案1 （二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì) 由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 定理1.12（四則運算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則 （1）f（x）

22、±g（x） 在x0處連續(xù) （2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù) （3）若g（x0）0，則在x0處連續(xù)。 定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x= x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在x= x0處連續(xù)。 在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即 定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。 （三） 閉區(qū)間上連

23、續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。 定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。 定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。 定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在a，b上至少存在一個，使得推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在a，b內(nèi)至少存在一個點，使得 f（）=0（四）初等函數(shù)的連續(xù)性 由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。 定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）