構(gòu)造法在解三角題中的應(yīng)用例說

1、構(gòu)造法在解三角題中的應(yīng)用例說廖義杰 羊勇在解題時(shí)按常規(guī)方法難以解決或無以下手時(shí)，就需要改變方向在更廣闊的背景下，通過對(duì)條件或結(jié)論的分析與思考，構(gòu)造出與問題有關(guān)的代數(shù)或幾何模型，從而找到解決問題的方法與途徑。巧妙應(yīng)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種知識(shí)相互滲透與交融，使學(xué)生的視野更開闊，創(chuàng)新思維得到發(fā)展與提高。下面例說構(gòu)造法在解三角問題中的應(yīng)用。一. 構(gòu)造方程例1. 已知銳角滿足，求證：。證明：已知條件可視為關(guān)于的一元二次方程因?yàn)槭卿J角，所以也均為銳角，由一元二次方程求根公式得：又則，再由，則有，故二. 構(gòu)造函數(shù)例2. 在斜ABC中，證明sinAsinBsinC>sinA+sinB

2、+sinC-2證明：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)閟inA<1，sinB<1）而f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減（因?yàn)閟inAsinB-1<0）所以f(x)在（0，1）上恒有f(x)>0故f(sinC)>0代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2三. 構(gòu)造不等式例3. 設(shè)、是銳角，且滿足，求證：證明：因?yàn)椤⑹卿J角，則均大于0所以同理由+結(jié)合已知得，于是，等號(hào)同時(shí)成立即有且有故結(jié)論得證。四. 構(gòu)造數(shù)列例4. 已知，求的值。解：由條件，可知構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。設(shè)其公差為d，則由可得解得又因?yàn)?，所以，故?yīng)舍去。所以，則故五. 構(gòu)造向量例5. 已知，求

3、銳角、。解：由已知得構(gòu)造向量由于所以又由，有即所以將代入并整理得：則六. 構(gòu)造復(fù)數(shù)例6. 已知，求解：構(gòu)造復(fù)數(shù)則所以又所以，代入式則所以又所以七. 構(gòu)造對(duì)偶式例7. 求的值。解：設(shè)構(gòu)造則由+得，即為所求三角式的值。八. 構(gòu)造比例式例8. 求證：證明：因?yàn)?，所以由等比定理知：則有九. 構(gòu)造平幾模型例9. （題見例7）解：原式可變?yōu)楣蕵?gòu)造三內(nèi)角分別為10°，20°，150°的三角形由余弦定理知：再由正弦定理知：將B10°，A20°，C150°代入，并結(jié)合式知十. 構(gòu)造解析幾何模型例10. 已知，求證：證明：由知點(diǎn)A（）在單位圓周上，由于單位圓在點(diǎn)A處的切線方程為，又所以單位圓上的