數(shù)陣圖（三）講解

1、.第18講 數(shù)陣圖三數(shù)陣問(wèn)題是多種多樣的，解題方法也是多種多樣的，這就需要我們根據(jù)題目條件靈敏解題。例1把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入以下圖的一個(gè)中，使得圖中用箭頭連接起來(lái)的四個(gè)數(shù)之和都相等。分析與解：由上圖看出，三組數(shù)都包括左、右兩端的數(shù)，所以每組數(shù)的中間兩數(shù)之和必然相等。20以內(nèi)共有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)，兩兩之和相等的有5197171113，于是得到以下圖的填法。例2在右圖的每個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的方格中的四個(gè)數(shù)字都是1，2，3，4。分析與解：如左以下圖所示，受列及對(duì)角線的限制，a處只能填1，從而b處填3；進(jìn)而推知c處填4，d處填3，e處

2、填4，右以下圖為填好后的數(shù)陣圖。例3將18填入左以下圖的內(nèi)，要求按照自然數(shù)順序相鄰的兩個(gè)數(shù)不能填入有直線連接的相鄰的兩個(gè)內(nèi)。分析與解：因?yàn)橹虚g的兩個(gè)各自只與一個(gè)不相鄰，而27中的任何一個(gè)數(shù)都與兩個(gè)數(shù)相鄰，所以這兩個(gè)內(nèi)只能填1和8。2只能填在與1不相鄰的內(nèi)，7只能填在與8不相鄰的內(nèi)。其余數(shù)的填法見(jiàn)右上圖。例4在右圖的六個(gè)內(nèi)各填入一個(gè)質(zhì)數(shù)可取一樣的質(zhì)數(shù)，使它們的和等于20，而且每個(gè)三角形共5個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都相等。分析與解：因?yàn)榇笕切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)與中間倒三角形的三個(gè)頂點(diǎn)正好是圖中的六個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，所以每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和為20÷210。10分為三個(gè)質(zhì)數(shù)

3、之和只能是235，由此得到右圖的填法。例5在右圖所示立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)出19中的八個(gè)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都等于k，并且k不能被未標(biāo)出的數(shù)整除。分析與解：設(shè)未被標(biāo)出的數(shù)為a，那么被標(biāo)出的八個(gè)數(shù)之和為129-a45-a。由于每個(gè)頂點(diǎn)都屬于三個(gè)面，所以六個(gè)面的所有頂點(diǎn)數(shù)字之和為6k3×45-a，2k45-a。2k是偶數(shù)，45a也應(yīng)是偶數(shù)，所以a必為奇數(shù)。假設(shè)a1，那么k22；假設(shè)a3，那么k21；假設(shè)a5，那么k20；假設(shè)a7，那么k19；假設(shè)a9，那么k18。因?yàn)閗不能被a整除，所以只有a7，k19符合條件。由于每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和等于19，所以與9在一個(gè)面上的另外三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三個(gè)