圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程介紹

1、圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程介紹很多老師在講授圓錐曲線(xiàn)或進(jìn)行總復(fù)習(xí)時(shí)，為了解題方便的需要，對(duì)圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程作了相應(yīng)的介紹.因?yàn)榻榻B的不是很詳細(xì)，很多同學(xué)還是很不清楚.下面，我再詳細(xì)地介紹一下圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.利用坐標(biāo)系來(lái)確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置和建立曲線(xiàn)的方程，除了直角坐標(biāo)系外，常用的還有極坐標(biāo)系.它是用長(zhǎng)度和角度來(lái)確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置的一種坐標(biāo)系.在平面內(nèi)取一固定點(diǎn)O,從。引一條射線(xiàn)OX,再確定一個(gè)計(jì)算長(zhǎng)度的單位長(zhǎng)和計(jì)算角度的正方向（通常我們選取逆時(shí)針?lè)较蜃鳛檎较颍?這樣就構(gòu)成了一個(gè)極坐標(biāo).其中，O點(diǎn)叫做極點(diǎn)，OX叫極軸（如圖一）.設(shè)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接線(xiàn)段OP,那么極點(diǎn)和P點(diǎn)的距離|OP|,叫

2、做P點(diǎn)的極半徑,通常用來(lái)表示；以極軸OX為始邊，射線(xiàn)OP為終邊的所成的XOP,叫做P點(diǎn)的極角,通常用來(lái)表示.（，）就是P點(diǎn)的極坐標(biāo).為了研究的方便，我們也允許取負(fù)值.當(dāng)0時(shí)，點(diǎn)P（,）的位置可按下列規(guī)則來(lái)確定:作射線(xiàn)OM（如圖二）使XOM,在OM的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上P點(diǎn)，使|OP|,那么P點(diǎn)就是極坐標(biāo)是（，）的點(diǎn)（0）.下面用極坐標(biāo)來(lái)求圓錐曲線(xiàn)的方程.根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義，我們?nèi)缦陆⒅苯亲鴺?biāo)系：取焦點(diǎn)F為極點(diǎn)，作FG垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l,垂足為G,取FG的反向延長(zhǎng)線(xiàn)FX為極軸（如圖三），設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p（p0）.設(shè)P（,）是圓錐曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，連接PE,過(guò)P作OQl,PMFX,垂足分別為Q、M,那么

3、由圓錐曲線(xiàn)的第二定義，得：|PQ|因?yàn)閨 PF |PQ|GM | pcos所以epcos就是ep(p0)1ecos這就是圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.注意：對(duì)于橢圓和雙曲線(xiàn)的一支，有b2一一p一(b,c0).然而對(duì)于拋物線(xiàn)，其中的p即c為拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中的p.下面我們就可以使用極坐標(biāo)方程的方法很容易的解出重慶市07年高考最后一題的第二問(wèn).(22)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，中心在原點(diǎn)。的橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0),右準(zhǔn)線(xiàn)的方程為：x=12。(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P1,P2,P3,使P1FP2P2FP3P3FP1,證明1用11IFP2I1IFP3I為定值，并求此定值。但是在高考中下面是答案中提供的方法，可以看到該解法明顯比極坐標(biāo)方程方法復(fù)雜.是允許使用極坐標(biāo)方程方法的.2X解：(I)設(shè)橢圓方程為a因焦點(diǎn)為F (3,0),故半焦距c 3.又右準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x2 a,從而由已知 c2-12,cV27 343.2故所求橢圓方程為 362 y27(II)記橢圓的右頂點(diǎn)為A,并設(shè) AFPi3),不失一般性,又設(shè)點(diǎn)P在l上的射影為Qi ,因橢圓的離心率FP2(9解得PQi|eFP cosi)(iFP cos i e123).1FP1 cos2(i1,2,3).因此FP而coscos故fP；FP2co