全等三角形的經(jīng)典模型二提高班教師版

1、4全等三角形的經(jīng)典模型（二）三角形11級特殊三角形之直角三角形三角形10級勾股定理與逆定理三角形9級全等三角形的經(jīng)典模型（二）秋季班第十二講秋季班第十一講秋季班第三講滿分晉級階梯 漫畫釋義 等等腰 知識互聯(lián)網(wǎng) 題型一：“手拉手”模型思路導(dǎo)航“手拉手”數(shù)學(xué)模型： 例題精講【引例】 如圖，等邊三角形與等邊三角形共點于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).【解析】 ABE、AFC是等邊三角形 AE=AB，AC=AF，即=又典題精練【例1】 如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點于，連接、，求證：=并求出的度數(shù).【解析】 同引例，先證明BD=FC，【例2】 如圖，已知點為線段上一點，、是等邊三角形 求證：

2、. 將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在上，請你對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形； 在得到的圖形中，結(jié)論“”是否還成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由； 在所得的圖形中，設(shè)的延長線交于，試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論【分析】 這是一個固定后運動變化的探索題，且在一定的條件下，探究原結(jié)論的存在性（不變性）；需要畫圖分析、判斷、猜想、推理論證【解析】 、是等邊三角形，在和中 （SAS） 將繞點旋轉(zhuǎn)如圖： 在的情況，結(jié)論仍然成立證明：，（SAS）， 如圖，延長交于，則為等邊三角形證明：是等邊三角形題型二：雙垂+角平分線模型典題精練【例3】 在中，于D，BF平分交AD于E，交AC于F.求證：AE=A

3、F.【解析】 ，是的角平分線【例4】 如圖，已知中，于，的角平分線交于，交于，交于求證：【分析】 要證，一般想到證明這兩條線段所在的三角形全等，由圖形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加輔助線構(gòu)造全等三角形【解析】 作于，（角平分線定理）又，又，（AAS），題型三：半角模型典題精練【例5】 已知：正方形中，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交線段于點.求證. 【解析】 延長到使四邊形ABCD是正方形AD=AB在和 AM=AE 在和中MN=ENDE+DN=BM+DN=MN【例6】 如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE+FD=EF. 求證：.【解析】 延長FD到H，使

4、DH=BE，易證，再證【例7】 在等邊三角形的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為三角形ABC外一點，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 圖1 圖2 如圖1，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明. 【解析】 如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN 猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE BD=CD且又ABC是等邊三角形，在與中：(SAS) D

5、M=DE, 在MDN與EDN中：(SAS) 第04講精講：典型的旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)圖：“手拉手”全等模型探究；【探究一】“手拉手”模型基本構(gòu)圖；如圖1，若與旋轉(zhuǎn)全等，則必有與為兩個頂角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如圖2，若有兩個頂角相等的等腰三角形與共頂角頂點，則必有與旋轉(zhuǎn)全等；而圖2正是“手拉手”模型的基本構(gòu)圖；【探究二】將探究一中的普通等腰三角形換成特殊的圖形，例如等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究結(jié)論如何變化；如圖3、圖4、圖5，當(dāng)兩個等邊三角形、等腰直角三角形、正方形共頂點時，與仍然旋轉(zhuǎn)全等，并且有兩個共同的結(jié)論；結(jié)論1：；結(jié)論2：與所夾銳角等于兩個等腰三角形的頂

6、角；（倒角方法如下圖6、圖7、圖8的八字模型）【探究三】將探究二中的特殊圖形旋轉(zhuǎn)后結(jié)論是否仍然成立；如下圖9、圖10、圖11易得探究二中的兩個結(jié)論仍然成立；【探究四】深化探究二中圖3的結(jié)論；如圖12，可得結(jié)論1：；結(jié)論2：；結(jié)論3：如圖12、圖13、圖14，可得三對三角形全等（；）結(jié)論4：如圖15，連接，可得為等邊三角形；（由結(jié)論3可得）結(jié)論5：；（由結(jié)論4可得）結(jié)論6：連接，可得平分；（如圖16，分別作、，與分別是全等三角形與對應(yīng)邊和上的高，故相等）復(fù)習(xí)鞏固題型一 手拉手模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)1】 如圖，DAAB，EAAC，AD=AB，AE=AC，則下列正確的是（ ） A. B. C. D.

7、【解析】 D【練習(xí)2】 如圖，正五邊形ABDEF與正五邊形ACMHG共點于，連接、，則線段BG、CF具有什么樣的數(shù)量關(guān)系并求出的度數(shù)【解析】 先證 可得BG=CF， 題型二 雙垂+角平分線模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知AD平分，垂足為E，,垂足為F，且DB=DC，則EB與FC的關(guān)系（ ）A. 相等 B. EB<FC C. EB>FC D.以上都不對【解析】 A題型三 半角模型 鞏固練習(xí)【練習(xí)4】 如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120°以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則AMN的周長為【解

8、析】 6 【練習(xí)5】 如圖，在四邊形中，、分別是邊、延長線上的點，且，求證： 【解析】 證明：在上截取，使，連接， ，思維拓展訓(xùn)練(選講) 訓(xùn)練1. 如圖，為線段上一點，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點，交于點，求證：【分析】 本題中，與是等邊三角形，因此，因為、在同一條直線上，故這樣可以得到，故可以得到，則，所以，故【解析】 和是等邊三角形（已知），（等邊三角形的各邊都相等）（等邊三角形的每個角都等于） ，在和中， （SAS）（全等三角形的對應(yīng)角相等）在和中，（ASA）（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（等邊對等角）（三角形內(nèi)角和定理）（等量代換）（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）訓(xùn)練2. 條件：正方

9、形，在延長線上，在延長線上，結(jié)論： ； .【解析】 在CD上取一點Q，使DQ=BM先證可得AM=AQ再證MN=NQ 可證ANHAND，AH=AD=AB訓(xùn)練3. 如圖，在中，銳角的平分線交對邊于，又交斜邊的高于，過引，交于，請問與相等嗎？理由是什么？ 【解析】 相等理由如下：如圖，過作于平分，平分，（AAS）訓(xùn)練4. 如圖，ABD為等腰直角三角形，求證：以、為邊的三角形是直角三角形. 【解析】 過B作BD的垂線并取BQ=ND，連接AQ、QM先證再證以、為邊的三角形是直角三角形. 課后測測試1. 如圖，等腰直角ADB與等腰直角AEC共點于，連接、，則線段BE、CD具有什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系【解

10、析】 先證明BE=CD，再類似例1倒角即可得到BECD測試2. 如圖，ABD為等腰直角三角形，求證：以、為邊的三角形是直角三角形. 【解析】 過B作BD的垂線并取BQ=ND，連接AQ、QM先證再證以、為邊的三角形是直角三角形. 學(xué)會變通，變則通一天早上，一位貧困的牧師，為了轉(zhuǎn)移哭鬧不止的兒子的注意力，將一幅色彩繽紛的世界地圖，撕成許多細(xì)小的碎片，丟在地上，許諾說：“小約翰，你如果能拼起這些碎片，我就給你二角五分錢?！蹦翈熞詾檫@件事會使約翰花費上午的大部分時間，但沒有十分鐘，小約翰便拼好了。牧師：“孩子，你怎么拼得這么快？”小約翰很輕松的答道：“在地圖的另一面是一個人的照片，我把這個人的照片拼在一起，然后把它翻過來。我想，如果這個人是正確的，那么，這個世界也就是正確的?！蹦翈熚⑿χo了兒子二角五分錢。偉大的發(fā)明家愛迪生曾把一只燈泡交給他的助手普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)系畢業(yè)生阿普頓，要他算出玻璃燈泡的容積，阿普頓拿著燈炮琢磨了好長時間，于是用皮尺在燈泡上左右、上下量了一陣， 又在紙上畫了好多的草圖，寫滿了各種尺寸，列了許多道算式，算來算去還未有個結(jié)果。愛迪生見