小學(xué)函數(shù)思想和模型思想的教學(xué)策略(共20頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)函數(shù)思想和模型思想的教學(xué)策略孫家芳朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心 曹艷北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院中科院院士、數(shù)學(xué)家張景中在一文中指出:“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)涵著一些深刻的數(shù)學(xué)思想。最重要的，首推函數(shù)思想。不用給小學(xué)生講函數(shù)概念，但教師要有函數(shù)思想，在教學(xué)中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化，對(duì)學(xué)生的素質(zhì)就有好處。”一、小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透函數(shù)思想的教學(xué)策略關(guān)于函數(shù)思想：在小學(xué)階段雖然沒(méi)有出現(xiàn)函數(shù)這一概念，但整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)不滲透著函數(shù)的思想，可以這樣說(shuō)，凡是有“變化”的地方都蘊(yùn)涵著函數(shù)思想。問(wèn)題1：什么是函數(shù)？初中:在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，

2、對(duì)于x的每一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。高中:A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作:y=f(x),xA現(xiàn)代數(shù)學(xué):兩個(gè)集合A,B,F是一個(gè)從A到B的二元關(guān)系，如果對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，都有唯一的Y滿足<x,y>屬于F，就稱F為從A到B的函數(shù)，也稱映射。問(wèn)題2：什么是函數(shù)思想？函數(shù)思想是一種考慮對(duì)應(yīng)、考慮運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫(huà)另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究變化過(guò)程的思想方法，函數(shù)

3、思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。具體地說(shuō)，函數(shù)思想體現(xiàn)于:認(rèn)識(shí)到這個(gè)世界是普遍聯(lián)系的，各個(gè)量之間總是有互相依存的關(guān)系，即“普遍聯(lián)系”的觀點(diǎn)；于“變化”中尋求“規(guī)律(關(guān)系式)”，即“模式化”思想；于“規(guī)律”中追求“有序”“結(jié)構(gòu)化”“對(duì)稱”等思想；感悟“變化”有快有慢，有時(shí)變化的速度是固定的，有時(shí)是變動(dòng)的；根據(jù)“規(guī)律”判斷發(fā)展趨勢(shì)，預(yù)測(cè)未來(lái)，并把握未來(lái)，即“預(yù)測(cè)”的思想。于“變化”中把握“規(guī)律”，并根據(jù)規(guī)律做出預(yù)測(cè)，不僅僅是重要的數(shù)學(xué)思想，更是人類生存的基本原則。函數(shù)的核心就是“把握并刻畫(huà)變化中的不變，其中變化的是過(guò)程，不變的是規(guī)律(關(guān)系)”。學(xué)生愿意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能將規(guī)律表述出來(lái)的意

4、識(shí)和能力，就是函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透。問(wèn)題3：函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透函數(shù)思想在小學(xué)階段強(qiáng)調(diào)的是"滲透”，讓學(xué)生感受到“于變化之中尋求不變，并把握規(guī)律的重要性”。小學(xué)階段并不要求學(xué)習(xí)“形式化”的函數(shù)定義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想，要把握以下兩條基本原則:（1）創(chuàng)設(shè)“變化”的過(guò)程，才能感受到函數(shù)思想。（2）激發(fā)學(xué)生“探究”的本性，于“變”中把握“不變”，滿足人的好奇本性。1探索規(guī)律對(duì)“模式”的初步認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)把“探索規(guī)律”作為滲透函數(shù)思想的一個(gè)重要內(nèi)容，“探索規(guī)律”實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的“模式化”的思想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個(gè)“模式”。(1)對(duì)數(shù)或者圖形排列規(guī)律的探索探索圖形排列中的

5、規(guī)律一年級(jí)下冊(cè)：你發(fā)現(xiàn)了什么？如果按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，后面一個(gè)應(yīng)該是什么？擺一擺、涂一涂、接著擺等問(wèn)題。重點(diǎn)突出刻畫(huà)的是相同的規(guī)律，而這個(gè)一般化的過(guò)程就是對(duì)函數(shù)的一個(gè)最基本的性質(zhì)周期的滲透。探索數(shù)列中的規(guī)律也多出現(xiàn)在第一學(xué)段的各冊(cè)教材中。一年級(jí)下冊(cè)：百數(shù)表中的規(guī)律，在“百數(shù)表”中除了可以探索數(shù)的排列規(guī)律(橫著、豎著、斜著)外，還可以進(jìn)一步探索每一行中相鄰的兩個(gè)數(shù)的規(guī)律、每一列中相鄰兩個(gè)數(shù)的規(guī)律，甚至每?jī)尚信c每?jī)闪邢噜徦膫€(gè)數(shù)之間的規(guī)律，這些規(guī)律中蘊(yùn)含著多種變化的模式。（2）對(duì)運(yùn)算規(guī)律的探索如：數(shù)的組成：學(xué)生把8個(gè)物體分成兩部分，把其中一部分中一個(gè)一個(gè)向另一部分“轉(zhuǎn)移”，得出把8分成兩部分可以

6、有四種不同分法的結(jié)論的同時(shí)，還會(huì)發(fā)現(xiàn)“隨著一部分多1個(gè)，另一部分必然少1個(gè)”的規(guī)律。對(duì)于“乘法中的運(yùn)算規(guī)律”的探索：乘法口訣的學(xué)習(xí)是“一串一串”的，使得在學(xué)生編口訣、背口訣的過(guò)程中就發(fā)現(xiàn)了：“一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。乘法口訣表中，更是集中體現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律。六年級(jí)下冊(cè)正反比例意義的學(xué)習(xí)是對(duì)變化“模式”的一次集中探索，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，以表格的形式呈現(xiàn)了多種不同的變化規(guī)律。2基本數(shù)量關(guān)系、圖形位置與變換對(duì)“關(guān)系”的體驗(yàn)函數(shù)就像一座橋梁，建立起兩個(gè)集合之間的“關(guān)系”。（1）體驗(yàn)“一對(duì)一”“多對(duì)一”“一一對(duì)應(yīng)”在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是貫穿始終的。數(shù)數(shù)：名數(shù)與常數(shù)建立“一一對(duì)應(yīng)”在認(rèn)

7、數(shù)110時(shí)，呈現(xiàn)將物體的個(gè)數(shù)與點(diǎn)子圖進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)的圖像，在具體實(shí)物與抽象的數(shù)之間建立起橋梁的作用。比大?。和瑯佣嗟牟糠帧耙灰粚?duì)應(yīng)”；在教學(xué)比大小時(shí)又都呈現(xiàn)將兩部分物體分別排列起來(lái)，一一相對(duì)，滲透一一對(duì)應(yīng)的思想乘法口訣：一個(gè)因數(shù)不變時(shí)，積與另一個(gè)因數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”找規(guī)律填數(shù):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)與它的項(xiàng)數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”折線統(tǒng)計(jì)圖：一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖中的一個(gè)點(diǎn)“一一對(duì)應(yīng)”通過(guò)折線統(tǒng)計(jì)圖滲透函數(shù)思想。如：學(xué)生學(xué)習(xí)了折線統(tǒng)計(jì)圖，他們就可以從下圖中得到豐富的信息：一天中，駱駝的體溫最高是多少？最低是多少？一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？什么時(shí)間范圍內(nèi)駱駝的體溫在下降？第二天8時(shí)的體溫與以前一天駱駝的體溫

8、有什么關(guān)系？從圖像中可以自然的向?qū)W生滲透變化的量等函數(shù)思想。教師進(jìn)而還可出示駱駝隨外界溫度體溫發(fā)生變化的折線統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析兩幅圖的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)，及其成因。討論溫度變化的周期。任何一個(gè)有序數(shù)對(duì)與坐標(biāo)系上的點(diǎn)“一一對(duì)應(yīng)”等等。將對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖解的形式滲透，各冊(cè)教材中均有類似如下的練習(xí)，使學(xué)生直觀的體驗(yàn)到“像”與“原像”之間的“一一對(duì)應(yīng)”?！岸鄬?duì)一”的這種“關(guān)系”在小學(xué)不是很常見(jiàn)，但是學(xué)生也有一些體驗(yàn)。學(xué)習(xí)“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之間的無(wú)窮多個(gè)數(shù)四舍五入保留整數(shù)后都對(duì)應(yīng)的是“4”“找次品問(wèn)題”，次品數(shù)在10至27個(gè)時(shí)，均需要稱量3次這些內(nèi)容豐富了學(xué)生對(duì)于兩個(gè)集合“關(guān)系”的

9、認(rèn)識(shí)。(2)體驗(yàn)“兩個(gè)或多個(gè)確定一個(gè)”“一個(gè)確定一個(gè)”在小學(xué)，學(xué)生接觸更多的是“兩個(gè)確定或多個(gè)確定一個(gè)”，即二元函數(shù)和多元函數(shù)。一、二年級(jí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)的加、減、乘、除四種運(yùn)算就是算式左端的兩個(gè)數(shù)與右端的一個(gè)數(shù)之間的“關(guān)系”。比如加法：這是一道看似普通的填空題，這里雖然尚未揭示“函數(shù)”概念，可當(dāng)我們意識(shí)到題中對(duì)于另一個(gè)加數(shù)所取的每一個(gè)值，都將有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，即當(dāng)一個(gè)加數(shù)不變時(shí)，和是另一個(gè)加數(shù)的函數(shù)時(shí)，它就可以作為函數(shù)思想的滲透點(diǎn)。周長(zhǎng)、面積、體積公式：C=d(圓的周長(zhǎng)=圓周率×直徑)，C是d的函數(shù)。S=vt(路程=速度×時(shí)間)，當(dāng)速度v固定時(shí)，S是t的函數(shù)。S=(三角形面積

10、=底×高÷2)，當(dāng)a固定時(shí)，S是h的函數(shù)。圓面積公式S=r2，這些公式不僅有一次函數(shù)還有二次函數(shù)。其它一些三量關(guān)系：速度、時(shí)間、路程；單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)等。這些給了學(xué)生很多對(duì)多元函數(shù)自變量與因變量之間“關(guān)系”的感受。需要注意的是，當(dāng)已知兩個(gè)量單純地計(jì)算出另一個(gè)量是多少時(shí)，這僅僅是計(jì)算問(wèn)題，在此解決過(guò)程中并沒(méi)有蘊(yùn)涵函數(shù)的思想，因?yàn)闆](méi)有變化過(guò)程，這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的算術(shù)問(wèn)題。例如:“體積的問(wèn)題”源于教材中的一個(gè)練習(xí)，一塊長(zhǎng)30cm、寬25cm的長(zhǎng)方形鐵皮，從四個(gè)角各切掉一個(gè)邊長(zhǎng)是5cm的正方形，然后做成盒子。這個(gè)盒子用了多少鐵皮，它的容積是多少?”這個(gè)問(wèn)題就只是一道簡(jiǎn)單的計(jì)算題，當(dāng)然

11、問(wèn)題解決過(guò)程中也發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。但是如果將原題中的規(guī)定“切掉邊長(zhǎng)是5cm的正方形”改為猜想并驗(yàn)證“切掉邊長(zhǎng)是多少厘米的正方形時(shí)，鐵盒的容積最大”問(wèn)題就由靜止變得動(dòng)態(tài)起來(lái)。借助這樣運(yùn)動(dòng)、變化的過(guò)程，對(duì)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)思想的初步滲透。小學(xué)教材中以各種素材、各種形式提供給學(xué)生大量關(guān)于集合之間“關(guān)系”直觀經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“關(guān)系”的體驗(yàn)使學(xué)生對(duì)變量之間的相依關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)，而這種變量間的相依關(guān)系恰恰就是函數(shù)概念的本質(zhì)。3.字母表示數(shù)、表格、圖像等對(duì)多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的感受和初步使用由于函數(shù)反映的是變量之間的關(guān)系，所以必須借助數(shù)字以外的符號(hào)來(lái)表示。常用的有：語(yǔ)言描述、表格、圖像和解析式四種方法。（1）感受和使用字

12、母語(yǔ)言一般的函數(shù)解析式都是借助字母來(lái)表達(dá)的。引進(jìn)字母表示，是用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)。學(xué)生經(jīng)歷從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示數(shù)的過(guò)程是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，需要經(jīng)歷大量的活動(dòng)，積累豐富的經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)加法和乘法運(yùn)算定律時(shí)，出現(xiàn)用字母表示各種運(yùn)算定律，使學(xué)生初步感受字母可以表示一般意義上的數(shù)。（2）感受和使用表格語(yǔ)言表格的方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位是十分突出的。首先，表格作為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要工具出現(xiàn)在運(yùn)算規(guī)律探索、公式的推導(dǎo)、圖形的變化規(guī)律的探索等內(nèi)容中。如五年級(jí)長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)，教材中就是通過(guò)用體積單位拼擺長(zhǎng)方體后填表格，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式的。其次，表格是學(xué)生表達(dá)數(shù)量之間關(guān)系的一

13、個(gè)重要工具。如，“找次品”問(wèn)題中，所測(cè)物品個(gè)數(shù)與稱量次數(shù)之間的關(guān)系借助語(yǔ)言和表達(dá)式對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)都有一定的困難，借助表格來(lái)表達(dá)最恰當(dāng)不過(guò)的了。(3)感受和使用圖像語(yǔ)言圖像對(duì)于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖像表示以其直觀性有著其它表示方式所不能替代的作用，它是“看見(jiàn)”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途徑之一。學(xué)生最初看到的函數(shù)圖像是四年級(jí)學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)圖使變量變化的過(guò)程變得直觀形象，學(xué)生感受到不用“算”通過(guò)“看”便可以比較出不同變化幅度的大??；六年級(jí)成正比例的兩個(gè)量的圖像繪制，使學(xué)生初步感受到成正比例的兩個(gè)量的變化是“連續(xù)”(當(dāng)然這還不是真正的連續(xù))的，任意兩點(diǎn)之間還有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

14、數(shù)值也是兩個(gè)變量可以取到的值。小學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)圖像與真正的函數(shù)圖像有一些差別的，如只有第一象限的圖像，橫軸與縱軸單位長(zhǎng)度的不統(tǒng)一，但這些并不影響學(xué)生借助圖像“看見(jiàn)”變量間的關(guān)系，了解不同的變化情況?？傊W(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透函數(shù)的本質(zhì)變化與對(duì)應(yīng)、不同類型函數(shù)、函數(shù)的不同表示法的教學(xué)內(nèi)容處處都有，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以極大的豐富學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的早期經(jīng)歷，豐富了學(xué)生對(duì)變量及變量之間關(guān)系的直觀體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)有著重要的意義。問(wèn)題4：為學(xué)生提供更多運(yùn)用函數(shù)思想解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)函數(shù)是刻畫(huà)客觀世界的一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型。因此，對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該與體會(huì)、感受和運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去思考函

15、數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，特別是思考函數(shù)在日常生活和其他學(xué)科的應(yīng)用。例如，心電圖就是一種時(shí)間和心跳頻率的函數(shù)關(guān)系。例如，股市行情圖也是反映了一種函數(shù)關(guān)系。函數(shù)思想的獲得，一方面是教師在課中有意的滲透，但更多的是靠學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷反思、領(lǐng)悟。只有這樣，才能對(duì)函數(shù)思想有所認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的理解一定會(huì)由量的聯(lián)系發(fā)展到質(zhì)的飛躍。總之，函數(shù)思想是留給學(xué)生探索更高一級(jí)數(shù)學(xué)奧秘的窗口，是使學(xué)生視野開(kāi)闊、思想活躍，獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探索能力的重要途徑。同時(shí)，函數(shù)思想在小學(xué)階段要以滲透為主。所謂滲透，就是有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，采用教者有意，學(xué)者無(wú)心的方式，通過(guò)逐步積累，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)由淺入深，由表及里，漸進(jìn)地達(dá)到

16、一定的認(rèn)識(shí)高度，從而自覺(jué)地運(yùn)用之。函數(shù)思想全部隱含在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之中的，要做好滲透，教師就要站在整體的高度，從教材、學(xué)生、教學(xué)方法綜合考慮，既要抓住典型的滲透點(diǎn)，又要研究適合學(xué)生年齡特征的教學(xué)設(shè)計(jì)。以達(dá)到教師在小學(xué)教學(xué)中有意識(shí)、有目的、有計(jì)劃的滲透函數(shù)思想。二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的使用策略在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過(guò)程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型化思想，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。問(wèn)題1：什么是模型？模型，源于拉丁文Modulus，意思是尺度、樣本、標(biāo)準(zhǔn)。有關(guān)模型的定義有諸多說(shuō)法，

17、但基本認(rèn)識(shí)是相同的。即：將原型客體（系統(tǒng)）予以簡(jiǎn)化、類比和抽象，選用適當(dāng)?shù)奈锢?、?shù)學(xué)或其他邏輯思維關(guān)系將其主要的特征描述出來(lái)，用于研究和揭示原型的形態(tài)、特征和本質(zhì)的模仿品稱為模型。問(wèn)題2：什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型也沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的、準(zhǔn)確的定義，因?yàn)檎驹诓煌慕嵌瓤梢杂胁煌亩x。一般是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)和圖形等形式來(lái)刻畫(huà)、描述、反映特定的問(wèn)題或具體事物之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要的是確定性數(shù)學(xué)模型，廣義地講，數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是模型。數(shù)學(xué)模型具有一般化、典型化、和精確化的特點(diǎn)。問(wèn)題3：什么是模型思想？就是針對(duì)要解決的問(wèn)題,構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模

18、型的研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。（1）模型化思想是“問(wèn)題解決”的重要形式（2）模型化思想是培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的重要途徑（3）模型化思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力問(wèn)題4：模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透（一）數(shù)概念模型每一個(gè)數(shù)概念就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是現(xiàn)實(shí)模型的抽象。1整數(shù)的直觀模型教材中提供多種模型幫助學(xué)生經(jīng)歷、感受建模過(guò)程，體會(huì)模型思想。（1）有結(jié)構(gòu)的實(shí)物（十個(gè)是一捆，十個(gè)一捆是一大捆，如此等等）（2）數(shù)位筒（3）計(jì)數(shù)器（算盤），在這一階段孩子對(duì)于數(shù)位的理解已經(jīng)有抽象的成分在里面，并含有一定的位值思想。（4）數(shù)位表：在數(shù)位表上擺珠子，孩子理解數(shù)位表上的珠子的意義比上一

19、個(gè)層次更加抽象。（5）半形象、半抽象的“數(shù)尺”、數(shù)軸、百數(shù)表。2.分?jǐn)?shù)的直觀模型小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，分?jǐn)?shù)有多種直觀模型：（1）實(shí)物模型，例如半杯牛奶、半個(gè)蘋果分?jǐn)?shù)概念的引入是通過(guò)“平均分”某個(gè)實(shí)物取其中的一份或幾份認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“實(shí)物模型”。（2）面積模型：用面積的“部分整體”表示分?jǐn)?shù)。通過(guò)“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”，取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。學(xué)生在三年級(jí)主要是借助面積模型初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。（3）集合模型：用集合的“子集全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)。例如，在下圖中，“藍(lán)色長(zhǎng)條”占全部“長(zhǎng)條”的3/5。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程

20、度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體1”，所以是五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義的重點(diǎn)，也是與三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)最大的不同。（4）分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：（數(shù)軸上表示的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)）分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”就是用“數(shù)線”上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)。它把分?jǐn)?shù)化歸為抽象的數(shù)，而不是具體的事物。分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”與分?jǐn)?shù)的“面積模型”有著密切的聯(lián)系：一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示“單位面積”的“一部分”，也可表示“單位長(zhǎng)度”的“一部分”，前者是2維的，后者是線性的，是1維的?！皵?shù)線模型”是“數(shù)軸”的前身，是數(shù)軸的“局部放大”和“特殊化”，是用“點(diǎn)”來(lái)刻畫(huà)“分?jǐn)?shù)”。如圖：分?jǐn)?shù)的數(shù)線模型相對(duì)于面積模型和集合模型來(lái)說(shuō)有一定的難度，所以教材中并沒(méi)有出現(xiàn)用

21、數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)，但是在學(xué)習(xí)了真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)后出現(xiàn)了在數(shù)軸上表示真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。（在學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)的意義基礎(chǔ)上，逐漸抽象出數(shù)線模型）如：三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)出現(xiàn)是多為用分?jǐn)?shù)表示段的長(zhǎng)度：如：五年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義時(shí)多用分?jǐn)?shù)表示點(diǎn)（數(shù)軸），更抽象。學(xué)生理解比較難。3.作業(yè)一：梳理小數(shù)的直觀模型(二)、運(yùn)算模型加法、減法、乘法、除法的運(yùn)算也是數(shù)學(xué)模型。1.表內(nèi)乘法中的計(jì)算模型：國(guó)內(nèi)教材：實(shí)物：具體情境中的事例矩陣：實(shí)物擺成的矩陣實(shí)物擺成的方格矩陣數(shù)線：只有人教版在8和9的口訣學(xué)習(xí)中使用了數(shù)線模型國(guó)外教材：實(shí)物矩陣：實(shí)物擺成的矩陣（方塊、點(diǎn)子圖）方格擺成的矩陣百數(shù)表（乘法表）數(shù)線一位數(shù)乘法模型按照這樣的思

22、路，在一位數(shù)乘法中，教師們借助直觀教具幫助學(xué)生理解算理模型對(duì)比兩位數(shù)乘法模型1.不具有十進(jìn)關(guān)系的面積模型如點(diǎn)子圖，不具有十進(jìn)關(guān)系的方格模型，這樣的模型有利于學(xué)生理解乘法的意義，引導(dǎo)學(xué)生將其分成不同的部分，從而產(chǎn)生多種方法，所以，在鼓勵(lì)學(xué)生算法多樣化時(shí)是一個(gè)有價(jià)值的模型。當(dāng)然，利用此模型，不是所有的學(xué)生都能自然的將乘數(shù)“拆成10和幾”，這需要教師進(jìn)行引導(dǎo)。2.“具有十進(jìn)關(guān)系”的面積模型這樣的模型也有利于學(xué)生理解乘法的意義。雖然由于其十進(jìn)關(guān)系明顯，從而不易引發(fā)學(xué)生的多種方法，但對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生將乘數(shù)“拆成10和幾”是很有幫助的。相類似的還有小棒模型，表示的是12×14，從圖中學(xué)生很容易分成兩

23、部分14個(gè)10和14個(gè)2，但小棒對(duì)于三位數(shù)就不好使用了。計(jì)數(shù)器模型表示12×4，這個(gè)模型十進(jìn)關(guān)系明確，它與十進(jìn)關(guān)系明顯的方格模型相比，顯然抽象一些，另外，也不適合兩位數(shù)乘法的使用。數(shù)直線模型國(guó)內(nèi)教材在整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中很少使用數(shù)直線模型（即數(shù)軸的雛形），這也許與此模型對(duì)于多位數(shù)乘法很難體現(xiàn)優(yōu)越性有關(guān)。但數(shù)直線有其自身的價(jià)值，體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：（1）數(shù)直線上的點(diǎn)與數(shù)可以建立對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）數(shù)直線可以很好地體現(xiàn)出數(shù)序，可以幫助學(xué)生直觀比較數(shù)的大小（在規(guī)定了右邊為正方向后，右邊的數(shù)比左邊的大）（3）它是數(shù)的模型，在數(shù)線上可以順數(shù)（加法），可以倒數(shù)（減法），可以幾個(gè)幾個(gè)地順數(shù)（乘法），可以幾個(gè)

24、幾個(gè)地倒數(shù)（除法）（4）對(duì)于乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，它對(duì)學(xué)生理解倍的意義是有一定幫助的?？傊?，直觀模型對(duì)于學(xué)生理解算理是非常重要的，而我們的教材和教學(xué)中對(duì)此體現(xiàn)的并不充分，需要教師意識(shí)到他的重要性，并且挖掘相應(yīng)的素材。從模型的角度來(lái)認(rèn)識(shí)運(yùn)算，具有深刻的教學(xué)價(jià)值：1.可以更加深刻的理解乘法的意義而非僅僅會(huì)計(jì)算；2更重要的是逐步學(xué)會(huì)從多個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)某個(gè)數(shù)學(xué)概念，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是將一種表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為另一種表達(dá)形式，其本質(zhì)保持不變”，感悟并掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法；3培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，逐步學(xué)會(huì)將紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)事物抽象概括為同一“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，即逐步體驗(yàn)并掌握“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷搿Ｗ鳂I(yè)2：梳理除法模型(三)方程模型方程是建模思想的重要體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)模型靜態(tài)模型、動(dòng)態(tài)模型北師大版教材的呈現(xiàn)三個(gè)現(xiàn)實(shí)模型,對(duì)應(yīng)三種數(shù)量關(guān)系，兩個(gè)靜態(tài)模型一個(gè)動(dòng)態(tài)模型。蘇教版呈現(xiàn)了5個(gè)現(xiàn)實(shí)模型，對(duì)應(yīng)相同的天平模