第五章特征值和特征向量

1、第五章第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量 矩陣的對角化矩陣的對角化u矩陣的特征值矩陣的特征值u矩陣的特征向量矩陣的特征向量u矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件1預備知識1.向量的內積 在空間解析幾何中,向量的內積(即數(shù)量積或點積)描述了內積與向量的長度及夾角間的關系 內積定義 ：夾角 ：向量的長度： cosx yx yarccosx yx yxx x123123112233( ,) (,)x x xy yyx yx yx y1122,nnxyxyxyxy內積的坐標表示式內積的坐標表示式 ：n定義1 設有 維向量 令1122 , ,nnx yx yx yx y稱為向量 與 的內積內積.

2、xy, ,x y z內積性質（其中 為 維向量， 為實數(shù)）:n , , ;x yy x（1）, , ;x yx y（2）, , , ;xy zx zy z（3）（4） 等號當且僅當 時成立. , 0,x x 0 x 22212 , nxx xxxx0;x ;xx.xyxy定義2 令 nx稱為 維向量 的長度長度（或范數(shù)范數(shù)）. 向量的長度具有下述性質性質： （1）非負性：（2）齊次性：（3）三角不等式：當 時，稱 為單位向量單位向量. 1x x2 , , , x yx x y y , x yxy , 10 x yxyxy當時Cauchy-Schwarz不等式不等式：或由此得任一非零向量除以它的

3、長度后就成了單位向量.這一過程稱為將向量單位化將向量單位化. 定義3 當 時， 0,0 xy , arccosx yxy定義4 當 時， , 0 x y nxy稱為 維向量 與 的夾角夾角. xy稱向量 與 正交正交（或垂直垂直）. 零向量與任何向量都正交定義5 若一個向量組中任意兩個向量都正交，則稱此向量組為正交向量組正交向量組. 12,r n定理定理2 若 維向量 是一組若一個正交向量組中每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為正交規(guī)范向量組正交規(guī)范向量組或標準標準正交向量組正交向量組. 兩兩正交的非零向量組，則 12,r 線性無關. 12111 ,1,12 求非零向量 ,使 成為正交向量組

4、. 3123, 1323,xxxTT13230,0 例例1 已知 解解 設則1231 110,1 120 xxx 即1 111 111 10,1 12003001112230,TTxxx由123,0 xxx 得11,0從而有基礎解系 3110取即為所求.與之等價的正交向量組 的方法： 12,r 11;2.Schmidt正交化方法 Schmidt正交化方法是將一組線性無關的向量1222111,;, 12,r 作如下的線性交換，化為一組1111,rrrrr12121122,rrrr 可以證明：12,r 兩兩正交，向量組 與12,k 12,k 等價.1kkr且對任何1121,11232311,1 ,

5、4110 例例2 將 正交規(guī)范化.123, 解解 先將 進行正交化，取 1222111, 32145111 ,63111 1323331211220,2 .,2 111211,61e333011 .21e 再將它們單位化，取 123,e e e則 即為所求. 22211131e定理3 為正交矩陣的充分必要條件是ATTAAA AE定義6 如果 階方陣 滿足 An3. 正交矩陣（即 ） 1TAA那么稱 為正交矩陣正交矩陣. AA的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組. 定理4 設A，B都是n階正交方陣，則 （1）1;1A 或（2）T1,AAAB也是正交矩陣.正交矩陣舉例正交矩陣舉例：（1） n階單位矩陣

6、En；cossin.sincos（2）T.x xxTTTyy yx P Px設 為正交變換，則有yPxyPx定義7 若P為正交矩陣，則線性變換這說明，正交變換不改變向量的長度. 稱為正交變換正交變換.二 特征值和特征向量1. 概念定義1 設A是 n階方陣，如果數(shù)和n維非零列向量x使關系式Ax= x (1)成立，則稱是方陣A的特征值特征值；非零列向量x稱為A的對應于特征值的特征特征向量向量. ()0(2)AE x（1）式也可寫為 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa0(3)AE這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，即它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式 方程組(2)的系數(shù)矩陣A

7、 - E 稱為A的特征矩陣特征矩陣;顯然，A的特征值就是A的特征方程的解，在復數(shù)范圍內，n階方陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）. |A - E| 是的n次多項式,記作f() ，稱為A的特征多項式特征多項式; 式（3）稱為A的特征方程特征方程. A例例1 已知 是2125312Aab111, a b的一個特征向量，試確定參數(shù)解解 由特征值和特征向量的定義可知， 及特征向量 所對應的特征值 . 3,0,1.ab 1, 2,1.ab 12,1ab212115311,1211ab即于是所以即所求解為2.特征值和特征向量的求法 ;AEAn（1）求出 階方陣 的特征多項式 求 階方陣 的特征值與特征向量

8、的步驟： An0AEi（2）求出特征方程 的全部根 ，i（3）把每個特征值 代入線性方程組（2），A 即是 的特征值； iA求出基礎解系，就是 對應于 的特征向量，A基礎解系的線性組合（零向量除外）就是i對應于 的全部特征向量34(7)(2),52例例2 求矩陣 的特征值和特征向量3452AA解解 的特征多項式為 A所以 的特征值為 122,7. 12 當 時，對應的特征向量應滿足 12540,540 xx 于是， 的對應 的全部特征向量為A12 14.5p容易求得方程組的一個基礎解系為 12440,550 xx 當 時，由 2711c p10c （ 為常數(shù)）21.1p 解得基礎解系 27A于

9、是， 的對應 的全部特征向量為 22c p（ 為常數(shù)）20c 3.特征值和特征向量的性質 定理1 設 是 階方陣，nA定理2 設 是方陣 的特征值， ,則 ,Nk mAkAk（1） 是 的特征值； （2）01( )mmfaaa是01( )mmf Aa Ea Aa A的特征值.則 與 有相同的特征值. TAA12,n n()ijAan定理3 設 階方陣 的 個特征值為1niiia11nniiiiia（1） ，其中 是 的主對Atr( ) ;AA角元之和，稱為矩陣矩陣 的跡的跡，記作1.niiA（2）推論 階方陣 可逆的充分必要條件是它的 任一特征值不等于零. An則m12,m A定理4 設 是方

10、陣 的 個特征值，1231,1,2 例例3 三階方陣 的三個特征值分別為A*32.AAE求12,mp pp依次是與之對應的特征向量.12,m 如果 各不相等，則 12,mp pp線性無關. 13,11,23, *132232 AAEAAEA*1.AA AA解解 可逆，所以1232,A 而故 232.xxx其中 A所以的特征值為于是 *32AAAE 1339. A例例4 是 的特征根， 可逆時，A11A是 的特征根.4. 應用（發(fā)展與環(huán)保問題）為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關系，某地區(qū)提出如下增長模型： (1,2,)k 111181332733kkkkkkxxyyxy kkykx和 為第 個周

11、期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值. 0,.kkA210210,AAA 11811273kkkkxxyy即1(1,2,).kkAk或0由此模型及當前的水平 ，可以預測若干發(fā)展周期后的水平：28133562733AE下面利用矩陣特征值和特征向量的有關性質，A 的特征多項式為 122,3.A所以， 的特征值為A來計算 的冪.A為此，先計算 的特征值.20AE x121)對于特征值 ，解齊次線性方程組11.2p 的一個特征向量232)對于特征值 ，解齊次線性方程組30AE x的一個特征向量21.1p12A可得 的屬于23A可得 的屬于0111122nnnnnAA pp kn1p0如果當前的水平 恰好等于 ，則

12、 時，12 ,2.nnnnxy即n它表明，經(jīng)過 個發(fā)展周期后，工業(yè)產(chǎn)值已達12n到一個相當高的水平，但其中一半被2n污染損耗 所抵消，造成資源的嚴重浪費.10 2320 23nnnn1210 23nnpp01119如果當前的水平 ，則不能直接應用上述方法分析.01210nnnnAA pA p于是01210,pp此時由于4241,x 4n 特別地，當 時，污染損耗為由上面的分析可以看出：4239y 工業(yè)產(chǎn)值為 ，損耗已超過了產(chǎn)值，經(jīng)濟將出現(xiàn)負增長.2pA盡管 的特征向量 沒有實際意義0但任一具有實際意義的向量都可以表示為1,p2p的線性組合2p從而在分析過程中， 仍具有重要作用. 2p因 中含負

13、分量三 相似矩陣1.概念與性質 ,Pn,A B定義1 設 都是 階方陣，若有可逆矩陣A則稱 是 的相似矩陣相似矩陣，或說矩陣 與 相似. ABB1P APAA對 進行運算 稱為對 進行相似變換相似變換.P可逆矩陣 稱為把 變成 的相似變換矩陣相似變換矩陣. BA1P APB使 n, ,A B C設 為 階方陣，則相似矩陣有下列（1）反身性 ；（2）對稱性 ；（3）傳遞性.BA定理1 若 與 相似，則 BA（1） 與 有相同的特征多項式和特征值； ;AB（2）( )( );R AR B（3）mAmmB（4） 與 也相似，其中 為正整數(shù). 基本性質：2.矩陣可對角化的條件 PA把方陣 對角化方法，

14、即求相似變換矩陣nAn定理2 階方陣 相似于 階對角矩陣的nnA推論 如果 階方陣 有 個互不相等特征值， 1P AP 使 為對角陣.充要條件是nA有 個線性無關的特征向量. A則 與對角矩陣相似.例例1 已知矩陣10002000By200223 11Ax與相似.yx（1）求 與 ；（2）求一個可逆矩陣 ，使 1;P APBP100.A（3）求(1)(2)()y2(2)(1)2xx20010022020 ,31100 xy AEBEBA解解 （1）因 與 相似，故 即1230012 ,1 ,0111ppp 1 0 x 將 代入有 ；A（2） 的特征值為1，2，2，2.y 2 將 代入有()0A

15、E x解齊次線性方程組A可分別求得 的對應特征向量111 112123300P1001001,APBP123001(,)210 ,111Pp pp 于是所求可逆矩陣 1.P APB使1APBP（3）由于 ，于是 100100100( 1)0002000( 2)001210111100A所以11 1121233001001011001011001001013 200122222231 22121四 實對稱矩陣的相似矩陣1.實對稱矩陣特征值的性質 定理1 實對稱矩陣的特征值為實數(shù). 定理3 設是n階實對稱矩陣A的r重特征值， 則矩陣AE的秩為nr ， 從而對應特征值恰有r個線性無關的特征向量. 定

16、理2 實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征 向量相互正交. 2.實對稱矩陣的相似理論 A定理4 任意實對稱矩陣 都與對角矩陣相似. 定理5 設 為 階實對稱矩陣，則存在正交矩 陣 ，使 ，其中 是以 的 個特征值為對角元素的對角矩陣 A1P APPnAn3.實對稱矩陣對角化方法 An 階實對稱矩陣 對角化的具體步驟:0AE（1）求出特征方程()0iAE xi（2）對每一特征值 ，解齊次線性方程組12,;iiiir求得它的一個基礎解系 12,s 所有不同的根Ai(1,2, );isir其中 為 的 重特征值 12,)ssssr1211121212(,rrP12,(1,2, );iiiiris（3）

17、利用Schmidt正交化方法，（4）記P則 為正交矩陣，使12,iiiir 把 正交化，12,iiiir得到正交向量組再單位化，得到正交單位向量組121122diag(,)srrrss 1P AP并且排列順序與P中正交規(guī)范向量組的排列順序相對應. iir其中，矩陣 的主對角線元素 的重數(shù)為2(3)(1)100021012AE100021 ,012A例例1 設P求一個正交矩陣 ，使 為對角矩陣.1P APA解解 的特征方程為 (3 )0AE x13當 時，解方程組 得101 ,1 基礎解系101121p 單位化后得 ()0AE x當 時，解方程組2311233,1.A故 的特征值為 231010 ,1.201pp 23100 ,1.01 得基礎