(完整版)小學(xué)奧數(shù)-格點(diǎn)型面積

1、格點(diǎn)型面積例題精講板塊一正方形格點(diǎn)問題在一張紙上， 先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等( 通常規(guī)定是 1 個(gè)單位 ) ，這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng)，其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用 N 表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)， L 表示多邊形周界上的格點(diǎn)， S 表示多邊形面積， 請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： S NL1 這個(gè)規(guī)律

2、就是畢克定理2畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N 個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L 個(gè)格點(diǎn)，L1 則它的面積為 S N2page 1 of 9【例 1】 用 9 個(gè)釘子釘成相互間隔為1 厘米的正方陣( 如右圖 ) 如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來就得到一個(gè)三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1 平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少？面積等于2 平方厘米的三角形有多少個(gè)？【解析】 面積等于 1 平方厘米的三角形有32 個(gè) 面積等于2 平方厘米的三角形有8 個(gè)( 1) 面積等于1 平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：底為 2，高為 1底為 2，高為 1底為 1，高為 23× 2=6( 個(gè) )3× 2=6

3、( 個(gè))3× 2=6( 個(gè))底為 1，高為 2底為 2，高為 1底為 1，高為 23× 2=6( 個(gè) )2× 2=4( 個(gè))2× 2=4( 個(gè) )所以，面積等于1 平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32( 個(gè)) ( 2) 面積等于2 平方厘米的分類統(tǒng)計(jì)如下：3× 2=6( 個(gè) )1× 2=2( 個(gè) )所以，面積等于 2 平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有：6+2=8( 個(gè) ) 【例 2】 如圖， 44 的方格紙上放了16 枚棋子，以棋子為頂點(diǎn)的正方形有個(gè)【解析】 根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形共能組成五種大小不同的正方形( 如右

4、圖 ) 1 1的正方形： 9 個(gè)； 2 2 的正方形： 4 個(gè)； 3 3 的正方形： 1 個(gè)；以 1 1正方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：4個(gè)；以 12 長(zhǎng)方形對(duì)角線為邊長(zhǎng)的正方形：2 個(gè)故可以組成 9 4 1 4 2 20 (個(gè))正方形【例 3】 判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？【解析】 根據(jù)格點(diǎn)多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上！所以只有是格點(diǎn)多邊形page 2 of 9【例 4】 如圖，計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運(yùn)用公式直接可求，只要判斷出相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)就行了方法一：圖 是正方形，邊長(zhǎng)是4，所以面積是 4416(面積單位 )；圖

5、是矩形，長(zhǎng)是5，寬是 3，所以面積是5315(面積單位 )；圖 是三角形，底是5，高是 4，所以面積是5 42 10 ( 面積單位 )；圖 是平行四邊形，底是5，高是 3，所以面積是 53 15( 面積單位 ) ；圖 是直角梯形，上底是3，下底是 5，高是3，所以面積是 （3 5） 3212(面積單位 )；圖 是梯形，上底是3，下底是 6，高是 4，所以面積是 （36）4 218( 面積單位 )【鞏固】如果兩格點(diǎn)之間的距離是2，能利用剛計(jì)算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么？( 教師總結(jié)：面積數(shù)值均擴(kuò)大4倍 )方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導(dǎo)它們的面積公式過程中得到啟發(fā)

6、，即用“割補(bǔ)法”或“擴(kuò)展法”分別轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來求這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖，我們利用“擴(kuò)展法”將其轉(zhuǎn)化，如圖所示，從圖中易知三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半如圖，我們利用“割補(bǔ)法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，從中易得平行四邊形面積同理，圖、也可利用同樣的思想【例 5】 如圖 ( a) ，計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積IIIIII(a)(b)(c)【解析】 方法一 ( 擴(kuò)展法 ) 這是個(gè)三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個(gè)三角形是處在長(zhǎng)是6、寬是 4 的矩形內(nèi)，除此之外還有其他三個(gè)直角三角形，如下右圖 ( b

7、) ，這三個(gè)直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個(gè)直角三角形面積，就是所要求的三角形面積矩形面積是64 24；直角三角形的面積是：6 2 2 6 ；直角三角形的面積是：4 2 24；直角三角形面積是4 2 2 4；所求三角形的面積是24 （644） 10(面積單位 )方法二 ( 割補(bǔ)法 ) 將原三角形分割成兩個(gè)我們方便計(jì)算面積的三角形，如( c) 圖因此三角形的面積是： 522 5 2 2 10(面積單位 )【例 6】 ( “新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競(jìng)賽試題) 右圖是一個(gè)方格網(wǎng)，計(jì)算陰影部分的面積DAF1cmCE B1cmABCD 中這個(gè)正方形中有四個(gè)三角形：一個(gè)是要求的VAEF ；

8、【解析】 擴(kuò)展法把所求三角形擴(kuò)展成正方形另外三個(gè)分別是： V ABE 、 V FEC 、 V DAF ，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別為1.5cm2 ， 2cm2 ， 1.5cm2 所以，圖中陰影部分的面積為：3 3 （1.52 2） 4 ( cm2 ) page 3 of 9【例 7】 分別計(jì)算圖中兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【解析】 利用“擴(kuò)展法”和“割補(bǔ)法”我們都可以簡(jiǎn)單的得到的面積均為9 面積單位的面積均為10 面積單位【點(diǎn)評(píng)】“一個(gè)格點(diǎn)多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)和周界上的格點(diǎn)數(shù)與格點(diǎn)多邊形的面積有沒有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討

9、一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形面積相等進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是8 個(gè)；第二個(gè)圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù)是10 個(gè)，包含在圖形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)也相等，都是6 個(gè)【鞏固】求下列各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【解析】 L12； N10， SNL11012115( 面積單位 ) ；22 L10； N16， SNL11610120(面積單位 )；22 L6 ； N12， SNL1126 1 14(面積單位 )；22 L10； N13， SNL11310117(面積單位 )22用 N 表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)， L 表示多邊形周界上的格點(diǎn)， S 表示多邊形面積， 請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

10、S NL1 這個(gè)規(guī)律就是畢克定理2畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N 個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L 個(gè)格點(diǎn)，L1 則它的面積為 S N2【例 8】 我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)N 9；圖形邊界上的格點(diǎn)數(shù) L20 ；根據(jù)畢克定理，則 S NL1 18( 單位2面積 )【例 9】 右圖是一個(gè) 8 12面積單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形ABCDEFGH 的面積page 4 of 9HGFAECBD【解析】 箭形 ABCDEFGH 的面積（8102 1） 48 （42 1） 21232246( 面積單位 ) 【例 10】右圖中每個(gè)小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”所占的面積

11、是多少？【解析】 圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為54，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為19所以圖形的面積為：54192162.5( 面積單位 ) 【鞏固】如圖，每一個(gè)小方格的面積都是1 平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？【解析】 方法一：正方形格點(diǎn)陣中多邊形面積公式：( N+ L - 1) ×單位正方形面積，其中N 為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)，2L 為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)7有 N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：( 4+2- 1) ×1=6 5( 平方厘米 )方法二：如右上圖，先求出粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形的面積，有=3÷2=15， =2÷ 2=1，=2÷ 2=1，=

12、2÷ 2=1，=2÷ 2=l，=2÷ 2=1，還有三個(gè)小正方形，所以粗實(shí)線外格點(diǎn)內(nèi)的圖形面積為1 5+l +1+1+1+1+3=9 5，而整個(gè)格點(diǎn)陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16- 9 5=6 5 平方厘米【例 11】( “小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競(jìng)賽試題) 55 的方格紙，小方格的面積是1 平方厘米，小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)請(qǐng)你在圖上選7 個(gè)格點(diǎn)，要求其中任意3 個(gè)格點(diǎn)都不在一條直線上，并且使這7 個(gè)點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么，所圍圖形的面積是平方厘米【解析】 為了使這 7 個(gè)點(diǎn)圍成最大的面積，這7 個(gè)點(diǎn)應(yīng)盡量在正方形的邊或頂點(diǎn)上，

13、如圖選取7 個(gè)點(diǎn)，圍成面積最大最大面積為550.5 323.5( 平方厘米 ) 【例 12】( “保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)”競(jìng)賽試題) 第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽在7 月 21日開幕， 下面的圖形中，每一個(gè)小方格的面積是1，那么 7、2、1 三個(gè)數(shù)字所占的面積之和是多少？page 5 of 9【解析】要計(jì)算三個(gè)數(shù)字所占的面積之和，可以先分別求出每個(gè)數(shù)字所占的面積顯然，圖中的三個(gè)數(shù)字都可以看作格點(diǎn)多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個(gè)數(shù)字所占的面積值得注意的是：數(shù)字“ 7”內(nèi)部有兩個(gè)格點(diǎn)，而數(shù)字“2”和“ 1”內(nèi)部都沒有格點(diǎn)7所占的面積為： 2 15 2 18.5；2 所占的面積為

14、： 2421 11；1 所占的面積為：172 1 7.5 所以，這三個(gè)數(shù)字所占的面積之和為：8.5 117.527 【例 13】( 第六屆“從小愛數(shù)學(xué)” 邀請(qǐng)賽試題 ) 兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形各被分成25 個(gè)大小相同的小方格 現(xiàn)將這兩個(gè)正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分( 塊狀 ) 面積為 5.12cm2 ，右下角的陰影部分 ( 線狀 ) 面積為 7.4cm2 ，求大正方形的面積【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為D，則 D 與前者共14 個(gè)方格，與后者共17 個(gè)方格，因此每個(gè)方格的面積是 （7.45.12）（17 14）192（ cm ）2 25大正方形的面積為19cm【例 14

15、】( 第六屆“華杯賽”試題) 圖中正六邊形ABCDEF 的面積是54， AP=2PF ， CQ=2BQ，求陰影四邊形 CEPQ 的面積APFAPFBEBEQQCDCD【解析】 如圖，將正六邊形ABCDEF 等分為 54 個(gè)小正三角形根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積，VPEF 面積3 ， VCDE 面積9 ，四邊形ABQP 面積11上述三塊面積之和為39 1123 因此，陰影四邊形CEPQ 面積為 542331板塊二三角形格點(diǎn)問題所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積為 1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊

16、形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用S 表示面積， N 表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L 表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有S2NL2 ，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2 倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2【例 15】 如圖 ( a) ，有 21 個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“”或“” ，所形成的三角形都是等邊三角形計(jì)算三角形 ABC 的面積page 6 of 9AAAAHE'ECC' CCF D'FDRGBBB(c)B(a)(b)(d)【解析】 方法一：如圖 ( b) 所示，在 V ABC 內(nèi)連接相鄰的三個(gè)點(diǎn)成V DEF ，再連接 DC 、 EA、 FB 后是 V ABC可看成是由

17、 V DEF 分別延長(zhǎng)FD 、 DE、 EF 邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到 SVACD2 ， SV AEB3 ，SVFBC 4 ，所以 SV 1 2 34 10( 面積單位 ) 方法二：如圖 ( c) 所示，作輔助線把圖、 、 分別移拼到、的位置，這樣可以通過數(shù)小正三角形的方法，求出VABC 的面積為 10方法三：如圖 ( d) 所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE 中有 6 個(gè)小正三角形，而 V ABE 的面積是平行四邊形 ARBE 面積的一半，即 SVAEB3 ，平行四邊形ADCH 中有 4 個(gè)小正三角形，而V ADC 的面積是平行四邊形ADCH 面積的一半， 即 SV

18、ACD2 平行四邊形 FBGC 中有 8 個(gè)小正三角形，而 V FBC 的面積是平行四邊形 FBGC 的一半，即： SVFBC 4 所以SV 1 2 3 4 10(面積單位 )【鞏固】如圖，每相鄰三個(gè)點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1 的等邊三角形，計(jì)算 V ABC 的面積ACB【解析】因?yàn)镹5；L3：所以 S2NL2253211(面積單位 )【例 16】求下列格點(diǎn)多邊形的面積( 每相鄰三個(gè)點(diǎn)“”或“”成面積為1 的等邊三角形) 【解析】 L7 ； N7， S2NL2277219( 面積單位 )； L5； N8， S2NL2285219( 面積單位 ) ； L6； N7， S2NL2276218(

19、面積單位 )； L7； N8， S2NL2287221( 面積單位 )【例 17】把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積【解析】 圖中有 1 3 57 9 11 13 15 64( 個(gè) ) 小三角形，那么一個(gè)小三角形的面積是128 64 2，圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為12，圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為4；圖形的面積為：2 12 4 2 26 ( 面積單位 ) ，進(jìn)而得圖形的面積為：26 252 【例 18】如圖，如果每一個(gè)小三角形的面積是1 平方厘米，那么四邊形ABCD 的面積是多少平方厘米？page 7 of 9【解析】 法一：正三角形方形格點(diǎn)

20、陣中多邊形面積公式：( 2N+L- 2) x 單位正三角形面積，其中N 為圖形內(nèi)格點(diǎn)數(shù)， L 為圖形周界上格點(diǎn)數(shù)有 N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：( 9×2+4- 2) ×1=20( 平方厘米 ) 法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實(shí)線內(nèi)完整的小正三角形有10 個(gè)，而將不完整的小正三角形分成4 部分計(jì)算，其中部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積為4，所以部分的面積為2，、部分對(duì)應(yīng)的平行四邊形面積分別為2， 8， 6，所以、部分的面積分別為1，4，3所以粗實(shí)線內(nèi)圖形的面積為 10+2+1+4+3=20( 平方厘米 ) 【例 19】把同一個(gè)三角形的三條邊分別5 等分、 7 等分 ( 如圖 1，圖 2) ，然后適當(dāng)連接這些等分點(diǎn)，便得到了若干個(gè)面積相等的小三角形已知圖1 中陰影部分面積是294 平方分米，那么圖2 中陰影部分的面積是 _平方分米【解析】 圖 1 中陰影部分占整個(gè)三角形面積的12 ，圖 2 中陰影部