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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上定積分應用 習題課資料1. 求由曲線和直線在內所圍平面圖形的面積。2. 求心形線所圍圖形與圓盤的公共部分的面積。3. 設為曲線上的一點，此曲線與直線及軸所圍圖形的面積為，求取得最大值時，點的坐標。4. 求由曲線及所圍圖形的面積、繞軸旋轉所得旋轉體的體積。5. 設曲線圍成平面圖形記為，求繞直線旋轉而成的旋轉體的體積。6. 設拋物線過原點，當時，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為，試確定使此圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積最小。7. 一開口容器的側面和底面分別由曲線弧段和直線段繞軸旋轉而成，坐標軸長度單位為，現(xiàn)以的速度向容器內注水，試求當水面高度達到容器深度一半時，水

2、面上升的速度。8. 半徑為的半球形水池充滿水，將水從池中抽出，當抽出的水所作的功為將水全部抽空所作的功的一半時，水面下降的深度為多少？習題解答1 解：解方程組 得交點.所求面積為2 解：由得,于是所求面積為 3.解:設點的坐標為,此曲線與直線及軸所圍圖形的面積為 令得在內的駐點,又為的極大值點,故時取得最大值,此時的坐標為4.解: 解方程組得交點,又由圖形關于軸對稱,故所求面積為旋轉體的體積為5.解:方法一(切片法) 取為積分變量,積分區(qū)間為,對應于任一小區(qū)間,平面區(qū)域上有寬度為的窄條,此窄條繞直線旋轉得到厚度為的圓環(huán),其體積為所求旋轉體的體積為方法二(剝殼法) 取為積分量,區(qū)間為,對應于任一小區(qū)間,平面區(qū)域上有寬為、高為的窄條,此窄條繞直線旋轉得到高為、厚、半徑為的圓筒薄殼,其體積為 所求旋轉體的體積為6.解:因拋物線過原點,故 由題設有,即得 而 得,代入的表達式得此時有 當時，,且,因此7.解:當水深為時,水的體積為當且時,.8.以球心坐標原點,以過且垂直水平面的直線為軸,正方向向下, 以過且平行水平面的直線為軸, 正方向向右.取為積分變量,對應的一薄層水,其體積近似為 把這層水抽出所作的功近似

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