LL用向前差分格式計算初邊值問題

1、偏 微 分 方 程課 程 設 計學號：0683110姓名：陸莉指導老師：翟方曼2010.01一題目用向前差分格式計算如下熱傳導方程的初邊值問題已知其精確解為二理論作為模型，考慮一維熱傳導方程：（1.1）其中是正常數，是給定的連續(xù)函數?，F在考慮第二類初邊值問題的差分逼近：初始條件：（1.2）邊值條件：，（1.3）假設和在相應區(qū)域光滑，并且在滿足相容條件，使上述問題有惟一充分光滑的解。1.建立差分格式（1）.區(qū)域剖分 取空間步長和時間步長，其中都是正整數。用兩族平行直線和將矩形域分割成矩形網格，網格節(jié)點為。以表示網格內點集合，即位于開矩形的網點集合；表示所有位于閉矩形的網點集合；是網格界點集合。

2、其次，用表示定義在網點的函數，（2）.微分方程的離散，建立相應差分格式將方程在節(jié)點離散化， （1.4）對充分光滑的解，由Taylor展式：（1.5）（1.6）（1.7）（1.5）移項得：（1.8）（1.6）（1.7）相加得：（1.9）將（1.8）（1.9）代入（1.4）得：（1.10）其中，舍去，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：， （1.11）其中，記則由（1.4） 由（1.11） 顯然，截斷誤差（3）.邊界條件在本題中，2.穩(wěn)定性分析用傅里葉方法對差分格式進行穩(wěn)定性分析以表示網比，將（1.11）改寫成便于計算的形式： （本題中）以代入，得消去，則知增長因子 由，得即 只需 解得 所以向

3、前差分格式的穩(wěn)定性條件是3 MATLAB程序取，則，滿足穩(wěn)定性條件另取，則，亦滿足穩(wěn)定性條件另取，則，亦滿足穩(wěn)定性條件format longa=2;l=1;T=1;N=10;M=400;h=l/N;to=T/M;r=(a*to)/h2;for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; for k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; u(j,k)=exp(x(j)+2*t(k); endendu %求解精確解for j=1:N+1 x(j)=(j-1)*h; us(j,1)=exp(x(j);endfor k=1:M+1 t(k)=(k-1)*to; us(1,k)=exp(2*t(k)

4、; us(N+1,k)=exp(1+2*t(k);endfor k=2:M+1 for j=2:N us(j,k)=r*us(j-1,k-1)+(1-2*r)*u(j,k-1)+r*us(j+1,k-1); endendus %求解數值解for k=1:M+1 for j=1:N+1 R(j,k)=abs(u(j,k)-us(j,k); endendR %計算誤差Rmax=max(max(R) %求誤差的最大值圖-精確解與數值解的比較：x=0:0.1:1;hold onplot(x,u(:,M+1),'b');plot(x,us(:,M+1),'y');titl

5、e('t=1，h=1/10，=1/400時精確解和數值解的比較')text(0.05,21,'藍：精確解');text(0.05,20,'黃：數值解');hold off圖-取不同步長時的誤差比較：x=0:1/10:1;y=0:1/20:1;z=0:1/40:1;hold onplot(x,R(:,M+1),'b');hold offM分別取10，20，40四表格及圖表部分結點處的精確解、數值解和誤差絕對值（取，）精確解數值解（3，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（3，41）（0.2，0.1）1.4918251

6、.4916251.994660e-004（3，81）（0.2，0.2）1.8221191.8218472.719067e-004（3，121）（0.2，0.3）2.2255412.2252053.359077e-004（3，161）（0.2，0.4）2.7182822.7190674.107891e-004（3，201）（0.2，0.5）3.3201173.3196155.018075e-004（3，241）（0.2，0.6）4.0552004.0545886.129183e-004（3，281）（0.2，0.7）4.9530324.9522847.486214e-004（3，321）（0.2

7、，0.8）6.0496476.0487339.143683e-004（3，361）（0.2，0.9）7.3890567.38793911.168120e-004（3，401）（0.2，1）9.0250139.02364913.640773e-004部分結點處的精確解、數值解和誤差絕對值（取，）精確解數值解（5，1）（0.2，0）1.2214031.2214030（5，161）（0.2，0.1）1.4918251.4917754.967727e-005（5，321）（0.2，0.2）1.8221191.8220516.790495e-005（5，481）（0.2，0.3）2.2255412.22

8、54578.393560e-005（5，641）（0.2，0.4）2.7182822.71818010.265644e-005（5，801）（0.2，0.5）3.3201173.31999212.540377e-005（5，961）（0.2，0.6）4.0552004.05504715.317112e-005（5，1121）（0.2，0.7）4.9530324.95284518.708399e-005（5，1281）（0.2，0.8）6.0496476.04941922.850495e-005（5，1441）（0.2，0.9）7.3890567.38877727.909658e-005（5，1601）（0.2，1）9.0250139.02467334.088933e-005取不同步長時數值解的最大誤差（）23.469161e-0045.911936e-0041.477843e-004圖（a）：時精確解和數值解的比較由此圖可以看出，精確解和數值解幾乎重合。局部的放大圖：由此圖可以明顯看出數值解和精確解存在的誤差圖（b）：，取不同步長時精確解與數值解的誤差比較藍色： 綠色 紅色由此圖可以看出，步長越小，誤差越小5 結論拋物型方程的有限差分法的步