貝葉斯公式的幾個簡單應用

1、第 27 卷第 2 期大 學 數(shù) 學V ol .27 , .22011 年 4 月COLLEGE M A TH EM A TICSApr .2011貝葉斯公式的幾個應用楊 靜1 ,陳 冬1 ,程小紅2(1.北京聯(lián)合大學基礎部, 北京 100101 ; 2 .首都師范大學初等教育學院, 北京 100080) 摘 要介紹了貝葉斯公式的一些應用實例及分析 , 以使在教學中能幫助學生更深入地理解該公式. 關鍵詞貝葉斯公式;應用;案例 中圖分類號 O 211 文獻標識碼 C 文章編號1672-1454(2011)02-0166-04在一般的概率統(tǒng)計課程的教學中 ,都會涉及到貝葉斯公式 .遺憾的是, 多數(shù)

2、教材對該公式的探討都點到為止.同時,教材中所涉及到的應用又都過于單調.據(jù)此, 本文擬對由貝葉斯公式得到的結論作更深入的探討以及提供更多類型的應用.通過貝葉斯公式, 我們看到, 某些看似合理的結論卻往往蘊含著不合理.1 貝葉斯公式貝葉斯公式是英國學者托馬斯 貝葉斯(Thomas Bayes , 1702 -1761)最早發(fā)現(xiàn)的, 首次發(fā)表在 1763 年 ,當時貝葉斯已經(jīng)去世 , 其結果沒有受到應有的重視.1774 年 , 法國數(shù)學家拉普拉斯(P .-s . Laplace , 1749 -1827)再一次總結了這一結果 .此后 ,人們逐漸認識到這個著名概率公式的重要性.現(xiàn)在,它已在疾病診斷、安

3、全監(jiān)控、質量控制、安全部門的招募、藥劑檢測等方面發(fā)揮著重要的作用.貝葉斯公式 若事件B1 ,B2 , ,Bn 是樣本空間的一個劃分, P(B i)0 (i =1 ,2 , , n ),A 是任一事件且 P(A)0 , 則有P(BjA)=P(Bj )P(AB j ) (j =1 ,2 , , n ),(1)P(A)其中 , P(A)可由全概公式得到 .即nP(A)= P(B i)P(AB i).i =1本文主要應用貝葉斯公式的一種簡單情形,即對任意兩個事件 A 和 B ,根據(jù)貝葉斯公式有P(B A)=P(B)P(A B), P(A)其中(2)(3)P(A)=P(B)P(AB)+P(B )P(AB

4、).(4)這里 ,事件 B 的概率通常是根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得到的 ,叫作先驗概率,而 P(B A)是在獲得新的信息后對先驗概率作出重新的認識 ,稱為后驗概率 1 .后驗概率體現(xiàn)了已有信息帶來的知識更新, 經(jīng)常用來分析事件發(fā)生的原因 . 收稿日期 2008-05-26 基金項目 “ 十一五” 國家課題“ 我國高校應用型人才培養(yǎng)模式研究”數(shù)學類子課題項目(F IB070335 -A 2-15-C)第 2 期楊靜 ,等:貝葉斯公式的幾個應用1672 貝葉斯公式的應用1 .疾病診斷 .貝葉斯公式在疾病診斷方面的應用很多 ,一般教材多采用這方面的例子.在此, 我們引入兩個案例.并通過第一個案例, 對最后

5、的結果進行詳盡的討論 .資料顯示, 某項艾滋病血液檢測的靈敏度(即真有病的人檢查為陽性)為 95 %, 而對沒有得病的人這種檢測的準確率(即沒有病的人檢查為陰性)為 99 %.美國是一個艾滋病比較流行的國家, 估計大約有千分之一的人患有這種病.為了能有效地控制、減緩艾滋病的傳播 ,幾年前有人建議對申請新婚登記的新婚夫婦進行這種血液檢查 .該計劃提出后 ,征詢專家意見,遭到專家的強烈反對 ,計劃沒有被通過.現(xiàn)在我們用貝葉斯公式分析專家為何反對通過這項計劃.設 A =檢查為陽性,B =一個人患有艾滋病.根據(jù)文中敘述可知 ,P(B)=0 .001 ,P(A B)=0 .95 ,P(B )=1 -0

6、.001 =0 .999 ,P(A B )=1 -0 .99 =0 .01 .由(4)得P(A)=0 .001 0 .95 +0 .999 0 .01 =0 .01094 .根據(jù)公式(3),得到P(B A)=0 .001 0 .95 0 .087 . 0 .01094也就是說 ,被檢測患有艾滋病而此人確實患有該病的概率大約為 0 .087 .這個結果使人難以接受 ,好像與實際不符.從資料顯示來看 ,這種檢測的精確性似乎很高.因此 ,一般人可能猜測, 如果一個人檢測為陽性 ,他患有艾滋病的可能性很大 ,估計應在 90 %左右, 然而計算結果卻僅為 8 .7%.如果通過這項計劃,勢必給申請登記的新

7、婚夫婦帶來不必要的恐慌 .因為約有 91 .3%的人并沒有患艾滋病.為什么會出現(xiàn)與直覺如此相悖的結果呢? 這是因為人們忽略了一些基礎信息,就是患有艾滋病的概率很低,僅為千分之一.因此,在檢測出呈陽性的人中大部分是沒有患艾滋病的 .具體的說, 若從該地隨機抽取 1000 個居民, 則根據(jù)經(jīng)驗概率的含義, 這 1000 個居民中大約有 1 人患有艾滋病 ,999 人未換艾滋病 .檢查后 ,大約有 1 0 .95 +999 0 .01 =10 .94 個人檢查為陽性,而在這個群體中真正患有艾滋病卻僅有 1 人 .因此有必要進行進一步的檢測 .但是 ,我們也應該注意到 ,這項檢測還是為我們提供了一些新

8、的信息.計算結果表明 ,一個檢測結果呈陽性的人患有艾滋病的概率從最初的 0 .001 增加到了 0 .087 ,這是原來患有艾滋病概率的 87 倍.進一步的計算, 我們得到一個檢查呈陰性而患有艾滋病的概率為P(B A)=P(B)P(A B)=0 .001 0 .05 0 .00006 .P(A )0 .98906因此 ,通過這項檢測, 檢查呈陰性的人大可放寬心 , 他患有艾滋病的概率已從千分之一降低到十萬分之六 .我們再舉一個心理學研究中常被引用的例子:參加常規(guī)檢查的 40 歲婦女患乳腺癌的概率是 1 %. 如果一個婦女有乳腺癌, 則她有 80 %的概率將接受早期胸部腫瘤 X 射線檢查 .如果

9、一個婦女沒有患乳腺癌 ,也有 9 .6%的概率將接受早期胸部腫瘤X 射線檢查.在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫瘤 X 射線檢查, 問她實際患乳腺癌的概率是多少? 2心理學家關心的是, 一個不懂貝葉斯原理的人對上述問題進行直覺推理時的情形是什么樣的 ,并將他們的判斷結果與貝葉斯公式計算的結果作比較來研究推理過程的規(guī)律.結果 ,95 %的內科醫(yī)生的判斷介于 70 %80 %,遠遠偏離正確答案 .設 B =患有乳腺癌, A =早期胸部腫瘤 X 射線檢查.由資料知 P(B)=0 .01 , P(B )=0 .99 , P(A B)=0 .8 , P(A B )=0 .096 .由上面公式

10、(4), 有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .01 0 .8+0 .99 0 .096 =0 .10304 .利用上面公式(3),有P(B A)=0 .01 0 .8 =0 .0776 . 0 .10304168大 學 數(shù) 學第 27 卷由此可知 ,在這一年齡群的常規(guī)檢查中某婦女接受了早期胸部腫瘤 X 射線檢查, 她實際患乳腺癌的概率是 0 .0776 .2 .說謊了嗎 ?測謊儀是用來檢測一個人是否說謊的儀器,經(jīng)常用于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領域 .定義事件 T =“檢測為一個人在說謊”, L =“一個人真正在說謊” .根據(jù)經(jīng)驗 , P(T L)=0 .

11、88 , P(T L ) =0 .86 .看起來 ,測謊儀比較精確 .假設在一次試驗中, 檢測出被測對象在說謊.按照上面所給資料 ,也許很多人都認為這個人說謊的概率會很高, 也許在 0 .87 左右 .然而 , 在安全部門的招募篩查中, 大多數(shù)人都是誠實的, 假設 P(L) =0 .01 , 根據(jù)公式(4),有P(T)=P(L)P(TL)+P(L )P(T L )= 0 .01 0 .88 +0 .99 0 .14= 0 .1474 .應用公式(3),有P(L)P(TL) 0 .01 0 .88P(LT)=P(T)= 0 .14740 .06 .從計算結果來看 ,94 %的檢測都是錯誤的 .如

12、果測謊試驗導致被檢測者逮捕或被指控 ,后果該有多么嚴重! 這也顯示了在一般人群中使用這種篩查的危險性 .如果檢驗用在嫌疑犯身上,危險性將大大降低.一般嫌疑犯說謊的概率都很高 ,假設 P(L)=0 .5 , 這時我們得到 P(L T)=0 .86 ,這個概率還是可以接受的 .3 .訴訟.1981 年 3 月 30 日 ,一個大學退學學生欣克利(Jo hn Hinckley Jr .)企圖對里根總統(tǒng)行刺.他打傷了里根、里根的新聞秘書以及兩個保安.在 1982 年宣判他時, 欣克利的辯護律師以精神病為理由作為其無罪的辯護 3 .作證的醫(yī)師告訴法院當給被診斷為精神分裂癥的人以 CA T 掃描時 ,掃描

13、顯示 30 %的案例為腦萎縮 ,而給正常人以 CA T 掃描時 ,只有 2 %的掃描顯示腦萎縮.欣克利的辯護律師試圖拿欣克利的 CA T 掃描結果為證據(jù),爭辯說因為欣克利的掃描顯示了腦萎縮, 他極有可能患有精神病, 從而應免受到法院的起訴.讓我們嘗試用貝葉斯方法對欣克利是否患有精神病作出判斷.一般地 ,在美國精神分裂癥的發(fā)病率大約為 1 .5%.設 A =CAT 掃描顯示腦萎縮;B =做掃描的人患有精神病.根據(jù)上文的敘述可知,P(B)=0 .015 ,P(A B)=0 .3 ,P(B )=1 -0 .015 =0 .985 ,P(A B )=0 .02 .由上面公式(4),得P(A)=0 .0

14、15 0 .3 +0 .985 0 .02 =0 .0242 ,再由公式(3),有P(B A)=0 .015 0 .3 =0 .186 . 0 .0242這意味著即使欣克利的掃描顯示了腦萎縮,他也只有 18 .6%的可能患有精神病, 因此 CA T 掃描無法作為其無罪的證據(jù) .4 .企業(yè)資質評判 .在市場經(jīng)濟條件下, 一些大的建筑工程都實行招投標制.在發(fā)包過程中, 對參加招標的施工企業(yè)的資質(含施工質量信譽等)進行調查和評定是非常重要的 .設 B =被調查的施工企業(yè)資質不好, A =被調查的施工企業(yè)資質評定為不好.由過去的資料知 P(A B)=0 .97 , P(A B )=0 .95 .現(xiàn)已

15、知,在被調查的施工企業(yè)當中有 6 %確實資質不好,我們來看一下評定為資質不好的施工企業(yè)確實資質不好的概率.由上面公式(4),有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .06 0 .97 +0 .94 0 .05 =0 .105 .第 2 期楊靜 ,等:貝葉斯公式的幾個應用169利用上面公式(3),有P(B A)=0 .06 0 .97 =0 .55 .0 .105由此可知, 被評為資質不好的施工企業(yè)中 ,真正不好的約占 55 %,也就是說 ,誤評的可能性相當大.所以不能對評為不好的企業(yè)輕易下不發(fā)包的結論 .為了使發(fā)包工作公正合理地進行 ,一般應從其他方面對這些企業(yè)進行深入

16、了解 ,再作決定.3總結在教學中應提醒學生以下兩個方面 .第一、必須注意事件的基礎概率, 即事件的先驗概率 .基礎概率小的事件 ,即使某種條件概率 ,如 P(A Bi)較高 ,其出現(xiàn)的概率仍然是較小的 .如現(xiàn)實生活中中獎的機會就是小概率事件.第二、應該對信息的外部表征作理性的分析 ,不應被一些表面特征所迷惑 ,如條件概率的高低并不決定某一事件出現(xiàn)概率的高低 . 參 考 文 獻 1余家林.概率論及試驗統(tǒng)計 M .北京:高等教育出版社, 2001, 22 . 2 K ahneman D , et al .Judg eme nt unde r uncertainty :H euristics and

17、 biases M .Cambridg e :Cambridg e Univ ersity P ress, 1982 :249 . 3陳偉.欣克利行刺案與美蘇冷戰(zhàn)結束 J .書屋, 2005(10):65 -72.Some Applications of Bayesian FormulaY ANG J ing1 ,CHE N Dong 1 ,CHE NG X iao-hong2(1 .De partment o f Basic Subjects, Beijing Unio n U niv erstiy , Beijing 100101 , China ; 2.Elementary Educa tional Co lleg e , Capital No rmal