33二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

1、§3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（1）【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：了解二元一次不等式的幾何意義，會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；2過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數(shù)學(xué)建模的能力；【教學(xué)重難點(diǎn)】用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；【教學(xué)過程】一.課題導(dǎo)入1從實(shí)際問題中抽象出二元一次不等式（組）的數(shù)學(xué)模型課本第82頁的“銀行信貸資金分配問題”教師引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，讓學(xué)生經(jīng)歷建立線性規(guī)劃模型的過程。在獲得探究體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過交流形成共識(shí)：二.講授新課1建立二元一次不等式模型把實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問題：設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元

2、。（把文字語言 符號(hào)語言）（資金總數(shù)為25 000 000元） （1）（預(yù)計(jì)企業(yè)貸款創(chuàng)收12%，個(gè)人貸款創(chuàng)收10%，共創(chuàng)收30 000元以上） 即 （2）（用于企業(yè)和個(gè)人貸款的資金數(shù)額都不能是負(fù)值） （3）將（1）（2）（3）合在一起，得到分配資金應(yīng)滿足的條件：2二元一次不等式和二元一次不等式組的定義（1）二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式組：有幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）

3、構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。（4）二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系：二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對(duì)，而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此，有序?qū)崝?shù)對(duì)就可以看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。3.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形（1）回憶、思考回憶：初中一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形數(shù)軸上的區(qū)間思考：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？（2）探究從特殊到一般：先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形。如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一

4、條直線。平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：第一類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；第二類：在直線x-y=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)是直線x-y=6上的點(diǎn)，選取點(diǎn)，使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y<6，請(qǐng)同學(xué)們完成課本第83頁的表格，橫坐標(biāo)x-3-2-10123點(diǎn)P的縱坐標(biāo)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)并思考：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？根據(jù)此說說，直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y<6有什么關(guān)系？直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢？學(xué)生思考、討論、交流，達(dá)成共識(shí)：在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y<6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6

5、的左上方；反過來，直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y<6。因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域；如圖。類似的：二元一次不等式x-y>6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；如圖。直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界由特殊例子推廣到一般情況：（3）結(jié)論：二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）4二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此

6、直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）【應(yīng)用舉例】例1 畫出不等式表示的平面區(qū)域。解：先畫直線（畫成虛線）.取原點(diǎn)（0，0），代入+4y-4,0+4×0-4=-40,原點(diǎn)在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。變式1、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。例2 用平面區(qū)域表示.不等式組的解集。分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式

7、所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。變式2、由直線，和圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式可表示為 。三.隨堂練習(xí)四.課時(shí)小結(jié)1二元一次不等式表示的平面區(qū)域2二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法3二元一次不等式組表示的平面區(qū)域五.作業(yè) §3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（2）【教學(xué)目標(biāo)】1知

8、識(shí)與技能：鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域；能根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件；2過程與方法：經(jīng)歷把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；【教學(xué)重點(diǎn)】理解二元一次不等式表示平面區(qū)域并能把不等式（組）所表示的平面區(qū)域畫出來；【教學(xué)難點(diǎn)】把實(shí)際問題抽象化，用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域?！窘虒W(xué)過程】一.課題導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）判斷方法：由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，把它的坐標(biāo)（x,y)代入Ax

9、+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）。隨堂練習(xí)11、畫出不等式2+y-60表示的平面區(qū)域.2、畫出不等式組表示的平面區(qū)域。二.講授新課【應(yīng)用舉例】例1 見書P85頁例3例2 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t,硝酸鹽15t,現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。解：設(shè)x

10、,y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：在直角坐標(biāo)系中可表示成如圖的平面區(qū)域（陰影部分）。補(bǔ)充例題例1、畫出下列不等式表示的區(qū)域(1) ； (2) 分析：(1)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式組； (2)注意到不等式的傳遞性，由，得，又用代，不等式仍成立，區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱。解：(1)或矛盾無解，故點(diǎn)在一帶形區(qū)域內(nèi)（含邊界）。(2) 由，得；當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在一條形區(qū)域內(nèi)(邊界)；當(dāng)，由對(duì)稱性得出。指出：把非規(guī)范形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解例2、利用區(qū)域求不等式組的整數(shù)解分析：不等式組的實(shí)數(shù)解集為三條直線，所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)。設(shè)，求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，取出的所有整數(shù)值

11、，再代回原不等式組轉(zhuǎn)化為的一元不等式組得出相應(yīng)的的整數(shù)值。解：設(shè)，。于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取1，2，3，當(dāng)1時(shí)，代入原不等式組有，得2，區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)(1,-2)。同理可求得另外三個(gè)整點(diǎn)(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。指出：求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn)，它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作鋪墊。常有兩種處理方法，一種是通過打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn)；另一種是本題解答中所采用的，先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，確定的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有整數(shù)值，即先固定，再用制約。三.隨堂練習(xí)1畫出不等式表示的平面區(qū)域（1）； （2）； （3）2畫出不等式組

12、表示的平面區(qū)域3課本第86頁的練習(xí)4四.課時(shí)小結(jié)進(jìn)一步熟悉用不等式（組）的解集表示的平面區(qū)域。五.作業(yè)§3.3.2簡單的線性規(guī)劃（1）【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；2過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力；【教學(xué)重點(diǎn)】用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題【教學(xué)難點(diǎn)】準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解【教學(xué)過程】一.課題導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問1、二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示什么圖形？2、怎樣畫二

13、元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域？應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？3、熟記“直線定界、特殊點(diǎn)定域”方法的內(nèi)涵。二.講授新課在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個(gè)問題：引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？（1）用不等式組表示問題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： .（1）（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：如

14、圖，圖中的陰影部分的整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。（3）提出新問題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時(shí)，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x,y滿足不等式（1）并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是多少？把z=2x+3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時(shí)，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個(gè)點(diǎn)，（例如（1，2），就能確定一條直線（），這說明，截距可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹剑?/p>

15、線與不等式組（1）的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時(shí)，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使直線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)截距最大。（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M（4，2）時(shí)，截距的值最大，最大值為，這時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤14萬元。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲

16、達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解3、 變換條件，加深理解探究：課本第88頁的探究活動(dòng)（1） 在上述問題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？在換幾組數(shù)據(jù)試試。（2） 有上述過程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎？三.隨堂練習(xí)1請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合課本P91練習(xí)1來掌握?qǐng)D解法

17、解決簡單的線性規(guī)劃問題.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，z=2x+y=0點(diǎn)（0，0）在直線:2x+y=0上.作一組與直線平行的直線:2x+y=t,tR. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmax=2×2-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)（-2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最小，以

18、經(jīng)過點(diǎn)（）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmin=3×(-2)+×(-1)=-11.zmax=3×+5×=14補(bǔ)充練習(xí)：設(shè)變量x,y滿足約束條件則z=2x+3y的最大值是多少？（18）四.課時(shí)小結(jié)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解五.作業(yè)§3.3.2簡單的線性規(guī)劃（2）【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；2過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)

19、建模能力；【教學(xué)重點(diǎn)】利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解；【教學(xué)難點(diǎn)】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解?！窘虒W(xué)過程】1.課題導(dǎo)入1、二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、目標(biāo)函數(shù), 線性目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃問題,可行解，可行域, 最優(yōu)解:2.講授新課線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，

20、如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用：范例講解例5 營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一項(xiàng)確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最

21、常見的問題之一.例6 在上一節(jié)例3中，各截著兩張鋼板多少張可得所需A、B、C三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？指出:資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見的問題之一結(jié)合上述兩例子總結(jié)歸納一下解決這類問題的思路和方法：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解3.隨堂練習(xí)4.課時(shí)小結(jié)線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)。然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解，最后，要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解。 5.作業(yè)第9課時(shí) 課題: §3.3.2簡單的線性規(guī)劃（3）【教學(xué)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；2過程與方法：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力；【教學(xué)重點(diǎn)】利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解；【教學(xué)難點(diǎn)】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，