




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、 集合及集合的應(yīng)用【課標(biāo)解讀】1. 掌握集合的有關(guān)基本定義概念,運(yùn)用集合的概念解決問題;2. 掌握集合的包含關(guān)系(子集、真子集);3. 掌握集合的運(yùn)算(交、并、補(bǔ));4. 在解決有關(guān)集合問題時(shí),要注意各種思想方法(數(shù)形結(jié)合、補(bǔ)集思想、分類討論)的運(yùn)用.【知識(shí)梳理】一、集合的有關(guān)概念(一) 集合的含義(二) 集合中元素的三個(gè)特性1.元素的確定性:如:世界上最高的山,反例:世界上很高的山;2.元素的互異性:如:由“HAPPY”的字母組成的集合H,A,P,Y;3.元素的無序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合.(三) 集合的表示集合的表示方法:列舉法與描述法.常用數(shù)集及其記法:非負(fù)整數(shù)集
2、(即自然數(shù)集) 記作:N,正整數(shù)集: N*或 N+ ,整數(shù)集:Z,有理數(shù)集Q, 實(shí)數(shù)集R.1列舉法:a,b,c,2 描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.如:xÎR| x-3>2,x|x-3>2.3語言描述法:如:不是直角三角形的三角形.4.Venn圖.(四) 集合的分類1.有限集: 含有有限個(gè)元素的集合;2.無限集: 含有無限個(gè)元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如:x|x2=-5.二、集合間的基本關(guān)系1. “包含”關(guān)系子集注意:有兩種可能:(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合.反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含
3、集合A,記作AB或BA.2. “相等”關(guān)系:A=B (55,且55,則5=5).實(shí)例:設(shè)A=x|x2-1=0, B=-1,1. 則A=B.元素相同則兩集合相等,即: 任何一個(gè)集合是它本身的子集:AÍA;真子集:如果AÍB,且A¹ B,那就說集合A是集合B的真子集,記作A ÜB(或B ÝA).如果 AÍB, BÍC ,那么AÍC. 如果AÍB , 同時(shí) BÍA ,那么A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Æ規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 含有n個(gè)元素
4、的集合,有2n個(gè)子集,個(gè)真子集.三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交 集并 集補(bǔ) 集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作“A交B”),即AB=x|xA,且xB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集記作:AB(讀作“A并B”),即AB =x|xA,或xB設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作ðSA,即ðSA=.韋恩圖示SA性質(zhì)AA=A AÆ=ÆAB=BAABAABBAA=AAÆ=AAB=BAABABB(ðUA)(
5、40;UB)= ðU(AB)(ðUA) ( ðUB)= ðU(AB)A (ðUA)=UA(ðUA)= Æ【方法歸納】一、對(duì)于集合的問題:要確定屬于哪一類集合(數(shù)集,點(diǎn)集,或某類圖形集),然后再確定處理此類問題的方法.二、關(guān)于集合中的運(yùn)算,一般應(yīng)把各參與運(yùn)算的集合化到最簡形式,然后再進(jìn)行運(yùn)算.三、含參數(shù)的集合問題,多根據(jù)集合的互異性處理,有時(shí)需要用到分類討論、數(shù)形集結(jié)合的思想.四、處理集合問題要多從已知出發(fā),多從特殊點(diǎn)出發(fā)來尋找突破口.課堂精講練習(xí)題考點(diǎn)一:集合的概念與表示1. 集合A中的元素由x=a+b(aZ,bZ)組成,判
6、斷下列元素與集合A的關(guān)系. (1)0; (2) ; (3) .【解題思路】:(1)因?yàn)椋?;?)因?yàn)椋?;?)因?yàn)殡y度分級(jí):B類2. 已知集合A=y|y=x-1,xR,B=(x,y)|y=x2-1,xR,C=x|y=x+1,y3,求.【解題思路】: A=y|y=x-1,xR=R是數(shù)集,B=(x,y)|y=x2-1,xR是點(diǎn)集, C=x|y=x+1,y3=x|x2, =.難度分級(jí):A類3. 已知集合A=x|x2+4ax-4a+3=0, B=x|x2+(a-1)x+a2=0,C=x|x2+2ax-2a=0, 其中至少有一個(gè)集合不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】: 當(dāng)三個(gè)集合全是空集
7、時(shí),所對(duì)應(yīng)的三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)解. 方程都沒有實(shí)數(shù)解, 即 解此不等式組,得 所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a,或a-1.難度分級(jí):B類考點(diǎn)二:集合中元素的特征4. 集合3,x,x22x中,x應(yīng)滿足的條件是_.【解題思路】:x1且x0且x3.難度分級(jí):A類5. 設(shè)集合,若,求的值及集合、【解題思路】:且,(1)若或,則,從而,與集合中元素的互異性矛盾,且;(2)若,則或 當(dāng)時(shí),與集合中元素的互異性矛盾,; 當(dāng)時(shí),由得 或 由得,由得,或,此時(shí)難度分級(jí):B類6. 設(shè)S是滿足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合: 1S,若,則,請(qǐng)解答下列問題:(1)若2S,則S中必有另外兩個(gè)數(shù),求出這兩個(gè)數(shù);(2)求證:若,則
8、.(3)在集合S中元素能否只有一個(gè)?請(qǐng)說明理由;(4)求證:集合S中至少有三個(gè)不同的元素.【解題思路】:(1)要求的兩個(gè)數(shù)為;(2)若,.(3)集合S中的元素不能只有一個(gè).證明:假設(shè)集合S中只有一個(gè)元素,則根據(jù)題意知a=,此方程無解,a 集合S中的元素不能只有一個(gè).(4)證明:由(2)知, 現(xiàn)在證明a,三個(gè)數(shù)互不相等.若a=,此方程無解,a若a=,此方程無解,a若=,此方程無解, 綜上所述,集合S中至少有三個(gè)不同的元素.難度分級(jí):C類考點(diǎn)二:交集、并集、補(bǔ)集的含義及其運(yùn)算7. (2010·南京模擬)已知集合Mx|y2x1,Px|y22(x3),那么MP .【解題思路】:由M:xy21
9、1,即Mx|x1,由P:xy233,即Px|x3,所以MPx|1x3答案:x|1x3難度分級(jí):A類8.已知集合A中有10個(gè)元素,集合B中有6個(gè)元素,全集U中有18個(gè)元素,且有AB,設(shè)集合ðU(AB)中有x個(gè)元素,則x的取值范圍是_【解題思路】:因?yàn)楫?dāng)集合AB中僅有一個(gè)元素時(shí),集合ðU(AB)中有3個(gè)元素,當(dāng)AB中有6個(gè)元素時(shí),ðU(AB)中有8個(gè)元素,即3x8且x為整數(shù)答案:3x8且x為整數(shù).難度分級(jí):B類9.(2010·鹽城模擬)設(shè)全集UR,Ax|>0,UA1,n,則m2n2_.【解題思路】:由UA1,n,知A(,1)(n,),即不等式>0
10、的解集為(,1)(n,),所以n1,m1,因此m1,n1,所以m2n22. 難度分級(jí):B類10.若集合,集合,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍【解題思路】:(1)若A,則,解得;(2) 若,則,解得,此時(shí),適合題意;(3)則,解得,此時(shí),不合題意;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為難度分級(jí):A類11.寫出陰影部分所表示的集合: 【解題思路】:(1)B(ðUA) (2)ABC.難度分級(jí):B級(jí)12.(2010遼寧理)已知A,B均為集合U=1,3,5,7,9的子集,且AB=3,ðU BA=9,則A= .【解題思路】:因?yàn)锳B=3,所以3A,又因?yàn)?#240;U BA=9,所以9A,所以A=3,9.本
11、題也可以用Venn圖的方法幫助理解.難度分級(jí):B類13.設(shè)集合A=x|x2+4x=0,xR,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,xR,若BA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解題思路】:A=x|x2+4x=0,xR=0,-4, BA, B=或0,-4,0,-4.當(dāng)B=時(shí),=2(a+1)2-4(a2-1)<0. a< -1.當(dāng)B=0時(shí),, a=-1.當(dāng)B=-4時(shí), , 此方程組無解.當(dāng)B=0,-4時(shí), ,a=1. a的取值范圍為:a-1或a=1難度分級(jí):B類14. (2010·鹽城模擬)已知集合Ax|x2x20,Bx|2<x14,設(shè)集合Cx|x2bxc>0,且滿足(
12、AB)C,(AB)CR,求實(shí)數(shù)b,c的值【解題思路】:因?yàn)锳x|2x1,Bx|1<x3,所以ABx|2x3,又因?yàn)?AB)C,(AB)CR,所以Cx|x>3或x<2,則不等式x2bxc>0的解集為x|x>3或x<2,即方程x2bxc0的兩根分別為2和3,則b(32)1,c3×(2)6. 難度分級(jí):B類15.已知全集U=R,集合A=x|x2-x-6<0, B=x|x2+2x-8>0,C=x|x2-4ax+3a2<0, (1)試求a的取值范圍,使ABC; (2)試求a的取值范圍,使.【解題思路】: U=R,A=(-2,3),B=(-,
13、-4)(2,+),故AB=(2,3),(-,-23,+),-4,2,=-4,-2, x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0,當(dāng)a<0時(shí),C=(3a,a); 當(dāng)a=0時(shí),C=; 當(dāng)a>0時(shí),C=(a,3a).(1) 要使ABC,結(jié)合數(shù)軸知, 解得 1a2;(2) 類似地,要使,必有 解得 .難度分級(jí):B類【課堂訓(xùn)練】1. 若集合中元素是ABC的三邊長,則ABC一定不是 三角形.【解題思路】:根據(jù)集合中元素的互異性,a、b和c互不相等,所以ABC一定不是等腰三角形.答案:等腰難度分級(jí):A類2. 設(shè)集合I=1,2,3,AI,若把集合MA=I的集合M叫做集合A的配
14、集,則A=1,2的配集有 個(gè).【解題思路】:A的配集中一定含有元素3,余下兩個(gè)元素1,2可以全不含、僅有一個(gè)、兩個(gè)都有.答案:4難度分級(jí):B類3. 三個(gè)元素的集合1,a,也可表示為0,a2,a+b,求a2011+ b2012的值【解題思路】:依題意得, 則b=0.所以, 則.由互異性知.所以 a2011+ b2012=-1.難度分級(jí):B類4. 設(shè)集合A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,則AB=_.【解題思路】:AB=2,log2(a+3)=2.a=1.b=2.A=5,2,B=1,2.AB=1,2,5.答案:1,2,5.難度分級(jí):A類3.設(shè)A=x|1x2,B=x|xa,若AB
15、,則a的取值范圍是_.【解題思路】:AB說明A是B的真子集,利用數(shù)軸(如下圖)可知a1.答案:a1.難度分級(jí):A類5. (2010·蘇州模擬)已知全集UR,Mx|y,Px|,yM,則(ðU M)(ðU P)_.【解題思路】:M是y的定義域,即Mx|x1,ðU Mx|x<1P是值域?yàn)镸時(shí),的定義域,則Px|0<x,ðU Px|x0或x>,(ðU M)(ðU P)x|x0或<x<1答案:x|x0或<x<1難度分級(jí):A類6.已知集合A=x|x2-1=0 ,B=x|x2-2ax+b=0,AB
16、=A,求a,b的值或a,b所滿足的條件【解題思路】:A=x|x2-1=0 =1,-1, AB=A, BA.當(dāng)B=時(shí) , =4a2-4b<0,即; 當(dāng)B=-1時(shí),a=-1,b=1; 當(dāng)B=1 時(shí),2a=1+1=2,即a=b=1; 當(dāng)B=-1,1時(shí),B=A=-1,1 ,此時(shí)a=0,b=-1. 綜上所述a,b滿足的條件為:a2-b<0或a=-1,b=1 或a=0,b=-1或a=-1,b=1.難度分級(jí):B類7.(2010·揚(yáng)州模擬)設(shè)Ax|x2axa2190,Bx|x25x60,Cx|x22x80(1)若ABAB,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若AB,且AC,求實(shí)數(shù)a的值;(3)若ABAC
17、,求實(shí)數(shù)a的值【解題思路】:(1)因?yàn)锳BAB,所以AB,又因?yàn)锽2,3,則a5且a2196同時(shí)成立,所以a5.(2)因?yàn)锽2,3,C4,2,且AB,AC,則只有3A,即a23a100,即a5或a2,由(1)可知,當(dāng)a5時(shí),AB2,3,此時(shí)AC,與已知矛盾,所以a5舍去,故a2.(3)因?yàn)锽2,3,C4,2,且ABAC,此時(shí)只有2A,即a22a150,得a5或a3,由(1)可知,當(dāng)a5時(shí)不合題意,故a3. 難度分級(jí):B類【課后檢測】1. 已知集合A=(x,y)|x2y2y=4,B=(x,y)|x2xy2y2=0,C=(x,y)|x2y=0,D=(x,y)|x+y=0.(1)判斷B、C、D間的關(guān)
18、系;(2)求AB.【解題思路】:(1)B=CD; (2)AB=(),(2, 1),(4,4).難度分級(jí):B類2. 已知全集中有m個(gè)元素,中有n個(gè)元素若非空,則的元素個(gè)數(shù)為 .【解題思路】: 因?yàn)椋怨灿袀€(gè)元素.難度分級(jí):A類3. 已知數(shù)集 A=a2,a+1,-3,數(shù)集B=a-3,a-2,a2+1,若AB=-3,求a的值【解題思路】:AB=-3, -3A, -3B. 當(dāng)a-3=-3,即a= 0時(shí),B=-3,-2,1, A=0,1,-3不滿足題意; 當(dāng)a-2=-3,即a=-1時(shí),B=-4,-3,2, A=1,0,-3滿足題意.a =-1. 難度分級(jí):A類4. 已知集合A=2,5,B=x|x2+p
19、x+q=0,xR.(1)若B=5,求p,q的值(2)若AB= B ,求實(shí)數(shù)p,q滿足的條件【解題思路】:(1)AB=5,方程x2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)根5, 5+5=-p,5´5=q,p=-10,q=25.(2) AB= B,BA. 當(dāng)B=時(shí),=p2-4q<0,即 p2<4q;當(dāng)B=2時(shí),可求得p=-4,q=4; 當(dāng)B=5時(shí),p=-10,q=25;當(dāng)B=2,5時(shí),可求得p=-7,q=10; 綜上所述:實(shí)數(shù)p,q滿足的條件為p2<4q 或或或.難度分級(jí):B類5. 已知A=x|x2px+15=0,B=x|x2axb=0,且AB=2,3,5,AB=3,求p,a,b的
20、值.【解題思路】:p=8, a=5 ,b=6.難度分級(jí):B類6. 設(shè)A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a21=0,aR.(1)若AB=B,求實(shí)數(shù)a的值.(2)若AB=B,求實(shí)數(shù)a的值.【解題思路】:(1)a=1或a1; (2)a=1.難度分級(jí):B類7. 某校有A、B兩個(gè)課外科技制作小組,50名學(xué)生中報(bào)名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生人數(shù)的,報(bào)名參加B組的人數(shù)比報(bào)名參加A組的人數(shù)多3人,兩組都沒有報(bào)名的人數(shù)是同時(shí)報(bào)名的人數(shù)的還多1人,求同時(shí)報(bào)名參加A、B兩組人數(shù)及兩組都沒有報(bào)名的人數(shù).【解題思路】:同時(shí)報(bào)名參加A、B組的人數(shù)為21人,兩組都沒有報(bào)名的人數(shù)為8人.難度分級(jí):B類8.
21、已知全集,且,求集合和.【解題思路】:如圖: 由圖可知,. 難度分級(jí):B類9. 已知集合A=xR|ax2+2x+1=0,aR只有一個(gè)元素,則a的值為_.【解題思路】:若a=0,則x=.若a則,=44a=0,得a=1.答案:a=0或a=1.難度分級(jí):B類10. 設(shè)集合P=0,a,2b,Q=0,a2,b2,已知P=Q,求a,b的值.【解題思路】:P=Q,或解得a=0(舍)或a=1,b=0(舍)或b=2.解得(舍去),或所以a=1,b=2或者難度分級(jí):B類11. 設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集,對(duì)于,如果且,那么是A的一個(gè)“孤立元”,給定,由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 個(gè).【
22、解題思路】: 本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,屬于創(chuàng)新題型.什么是“孤立元”?依題意可知,必須是沒有與相鄰的元素,因而無“孤立元”是指在集合中有與相鄰的元素.故不含“孤立元”的集合有,共6個(gè).難度分級(jí):C類12. 某班共30人,其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng),10人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng),8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛,則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 . 【解題思路】: 設(shè)兩者都喜歡的有人,則只喜愛籃球的有人,只喜愛乒乓球的有人,由此可得,解得,所以.即所求人數(shù)為12人 .難度分級(jí):B類第二講 函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)【課標(biāo)解讀】1 理解函數(shù)概念;2 了解
23、構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素;3 會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域與值域;4 理解函數(shù)圖象的意義; 5 能正確畫出一些常見函數(shù)的圖象;6 會(huì)利用函數(shù)的圖象求一些簡單函數(shù)的值域、判斷函數(shù)值的變化趨勢;7 理解函數(shù)單調(diào)性概念;8 掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,會(huì)證明一些簡單函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性;9 會(huì)證明一些較復(fù)雜的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性;10 能利用函數(shù)的單調(diào)性解決一些簡單的問題;11 了解函數(shù)奇偶性的含義;12 熟練掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法;13 熟練單調(diào)性與奇偶性討論函數(shù)的性質(zhì);14 能利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決一些問題.【知識(shí)梳理】1 函數(shù)的定義:設(shè)是兩個(gè)非空數(shù)集,如果按某種對(duì)應(yīng)法則,對(duì)于集合中的每一個(gè)
24、元素,在集合中都有惟一的元素和它對(duì)應(yīng),這樣的對(duì)應(yīng)叫做從到的一個(gè)函數(shù),記為其中輸入值組成的集合叫做函數(shù)的定義域,所有輸出值的取值集合叫做函數(shù)的值域.2 函數(shù)的圖象:將函數(shù)自變量的一個(gè)值作為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo),就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn),當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象3 函數(shù)的圖象與其定義域、值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系:函數(shù)的圖象在軸上的射影構(gòu)成的集合對(duì)應(yīng)著函數(shù)的定義域,在軸上的射影構(gòu)成的集合對(duì)應(yīng)著函數(shù)的值域4 用列表來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法,其優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)的輸入值與輸出值一目了然;用等式來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫解析法(這個(gè)等式通
25、常叫函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式),其優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)關(guān)系清楚,容易從自變量求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,便于用解析式研究函數(shù)的性質(zhì);用圖象來表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法叫圖象法,其優(yōu)點(diǎn)是能直觀地反映函數(shù)值隨自變量變化的趨勢5 單調(diào)增函數(shù)的定義: 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),稱為的單調(diào)增區(qū)間注意:“任意”、“都有”等關(guān)鍵詞;單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間是有區(qū)別的;6 單調(diào)減函數(shù)的定義: 一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),稱為的單調(diào)減區(qū)間7 函數(shù)圖象與單調(diào)性:函數(shù)在單調(diào)增區(qū)間上的圖象
26、是上升圖象;而函數(shù)在其單調(diào)減區(qū)間上的圖象是下降的圖象.8 偶函數(shù)的定義:如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè),都有,那么稱函數(shù)是偶函數(shù)注意:() “任意”、“都有”等關(guān)鍵詞;()奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)都必須成立;9 奇函數(shù)的定義:如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個(gè),都有,那么稱函數(shù)是奇函數(shù)10 函數(shù)圖象與單調(diào)性:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱【方法歸納】一、 求函數(shù)的定義域的常用求法(一) 給出函數(shù)解析式的:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合;常見類型有: 1. 分式的分母不為零.2. 偶次根式的被開方數(shù)大于或等于零.3. 對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零,底數(shù)大于
27、零且不等于1.4. 零次冪的底數(shù)不為零.5. 正切函數(shù)的定義域是:x不等于(二) 已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域時(shí)抓住兩點(diǎn):1. 復(fù)合函數(shù)f(g(x)定義域都是指最內(nèi)層函數(shù)即g(x)的x的取值范圍.2. 內(nèi)層函數(shù)的值域都應(yīng)是外層函數(shù)定義域的子集.(三) 實(shí)際問題中函數(shù)的定義域:除了使式子本身有意義之外,還應(yīng)使實(shí)際問題有意義.二、 求函數(shù)的解析式常見方法(一) 已知內(nèi)層函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的解析式,求外層函數(shù)的解析式,這類問題主要兩種方法:1. 換元法:令內(nèi)層函數(shù)為t,將x用t表示,求出f(t)即可,若x用t表示比較困難,可考慮配湊法.2. 配湊法:將內(nèi)層函數(shù)看著一個(gè)整體,把復(fù)合函數(shù)的
28、表達(dá)式配成用這個(gè)整體來表示.若式子比較難配,考慮換元法. (二) 已知函數(shù)的類型,求函數(shù)解析式,通常采用待定系數(shù)法,即直接設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式,找出相等關(guān)系,將待定系數(shù)解出即可.(三) 求抽象函數(shù)的解析式,將f(x)看作一個(gè)未知數(shù),x看作常數(shù),利用方程的思想解出.三、 函數(shù)的值域(一) 弄清函數(shù)的類型:幾種常見函數(shù)類型:1. 基本初等函數(shù)(1) 一次函數(shù):y=kx+b(k0)(2) 二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a0)(3) 反比例函數(shù):(4) 指數(shù)函數(shù):(5) 對(duì)數(shù)函數(shù):(6) 冪函數(shù):(7) 正弦函數(shù):y=sinx(8) 余弦函數(shù):y=cosx(9) 正切函數(shù):y=tanx2. 有幾個(gè)基本初
29、等函數(shù)復(fù)合的函數(shù)例:,它是由1. 你能看出下列函數(shù)是由那些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的嗎? ;.3. 復(fù)雜函數(shù)非(1)(2)(4)(5)的形式比較復(fù)雜的函數(shù).如:y=2x+log2x4. 分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)的不同部分上,對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式:例:(二) 對(duì)于基本初等函數(shù)可利用函數(shù)的圖象或函數(shù)的單調(diào)性求解.(三) 對(duì)于由幾個(gè)初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以采用換元法求解.(四) 處理復(fù)雜函數(shù)的值域問題,可借助函數(shù)的單調(diào)性來處理.(五) 處理分段函數(shù)的值域問題時(shí)分別求出每一段的值域,然后取并集.四、 函數(shù)的單調(diào)性(一) 函數(shù)單調(diào)性的證明:定義法是證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法,主要有以下步驟:1. 根據(jù)題意在區(qū)間
30、上設(shè);2. 比較大?。?. 下結(jié)論“函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增(或減)函數(shù)” .對(duì)于第二步,常見的思路是作差,變形,定號(hào),其中變形主要指的是分解因式、通分、有理化等.(二) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:處理復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題的基本原則是同增異減.一般步驟:1. 寫出符合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)t=g(x)和外層函數(shù)y=f(t)2. 求出內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,注意求外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要將t的范圍轉(zhuǎn)化成x的范圍.3. 根據(jù)同增異減的原則,利用取交集的方式求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(三) 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1. 比較大?。喝粢容^大小的兩個(gè)數(shù)結(jié)構(gòu)、形式相同,可構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較.2. 求函數(shù)的值域:若函數(shù)的單調(diào)
31、性可以求出,則值域可求.3. 解不等式或方程:若不等式(方程)的兩邊分別可以看出同一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值,可以利用單調(diào)性得出其自變量的大小關(guān)系,從而得到簡化的不等式(方程).五、 函數(shù)的奇偶性(一) 函數(shù)奇偶性的判斷:判斷函數(shù)的奇偶性主要是定義法.一般步驟:1.判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的前提.2.判斷f(x)和f(-x)是否相等或相反.(二) 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式:已知函數(shù)在某區(qū)間解析式,要求其對(duì)稱區(qū)間的解析式,一般方法是先求出f(-x),再利用奇偶性得出f(x).六、 函數(shù)的圖象(一) 函數(shù)圖象的意義函數(shù)f(x)圖象在x軸的投影對(duì)應(yīng)定義域,在y軸的投影對(duì)應(yīng)值域
32、,圖象上升和下降反映函數(shù)的單調(diào)性,圖象的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性反映圖象的奇偶性,圖象位于x軸上方的部分對(duì)應(yīng)f(x)0的解集,圖象位于x軸下方的部分對(duì)應(yīng)f(x)0的解集,圖象和x軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)f(x)=0的解集.(二) 函數(shù)圖象的變換:1. 幾種常見的圖象變換(1) 平移變換(2) 反射變換(3) 旋轉(zhuǎn)變換(4) 伸縮變換2. 已知函數(shù)圖象的表達(dá)式,求變換后的圖象表達(dá)式常用方法:坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.課堂精講練習(xí)題1. 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=; (2)y=; (3)y=.【解題思路】:(1)由題意得化簡得即故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0且x-1.(2)由題意可得解得,故函數(shù)的定義域?yàn)閤|-x且x±.
33、(3)要使函數(shù)有意義,必須有即x1,故函數(shù)的定義域?yàn)?,+).難度分級(jí):A類2. 已知矩形周長為20,若設(shè)長為x,求寬y與x的函數(shù)關(guān)系式.【解題思路】:y=10-x 矩形的長和寬都應(yīng)是正數(shù),x0,10-x0,解得:0x10.所求函數(shù)的解析式為:y=10-x (0x10) .難度分級(jí):A類3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域是 .【解題思路】:由函數(shù)的定義域?yàn)?得.解得.故函數(shù)的定義域是.難度分級(jí):A類4. (1)已知,求;(2)已知a>0 且a1 ,f (log a x ) = (x ),求f(x);【解題思路】:(1),(或)(2) 令t=logax(tR),則難度分級(jí):B類5.
34、已知是一次函數(shù),且滿足,求;【解題思路】:設(shè),則,難度分級(jí):B類6. 已知滿足,求【解題思路】:,把中的換成,得,得,難度分級(jí):B類7. 求下列函數(shù)的值域:(1)(2)(3)(4)【解題思路】:(1) -7,15; (2); (3)(1,log25); (4)(0,1.8. 求下列函數(shù)的值域(1); (2);(3). 【解題思路】:(1)設(shè)(),則原函數(shù)可化為 又,故,的值域?yàn)椋?),函數(shù)的值域?yàn)椋?)=1設(shè),則,原函數(shù)可化為,原函數(shù)值域?yàn)殡y度分級(jí):A類9. 求下列函數(shù)的值域(1)(2)【解題思路】:(1)顯然函數(shù)在(2,3)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?+log32,9)(3) 函數(shù)在(3
35、,)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,).難度分級(jí):A類10. 求y=|x-1|+x2的值域【解題思路】:當(dāng)x1時(shí),y1,當(dāng)x1時(shí),y,所以函數(shù)的值域?yàn)?難度分級(jí):A類11. 求證:函數(shù)f(x)= x3+1在區(qū)間(,+ )上是單調(diào)減函數(shù).【解題思路】證明:設(shè)x1,x2R且x1<x2,則f(x1) f(x2)= x13+1+x231=(x2x1)(x22+x1x2+x12)因?yàn)閤2>x1,x22+x1x2+x12>0,所以f(x1) f(x2)>0即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(,+ )上遞減.難度分級(jí):A類12. 求證:在區(qū)間上是減函數(shù)【解題思路】證明:
36、設(shè),則.即.故在區(qū)間上是減函數(shù)難度分級(jí):B類13. 討論函數(shù)在上的單調(diào)性. 【解題思路】:設(shè),則當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).難度分級(jí):B類14. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【解題思路】:(1)單調(diào)減區(qū)間為:單調(diào)增區(qū)間為.難度分級(jí):B類15.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1);(2);(3),;(4); (5).【解題思路】(1) 函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以該函數(shù)是奇函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),即是非奇非偶函數(shù).(3) 函數(shù),的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原
37、點(diǎn)對(duì)稱,所以該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(5) 函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以該函數(shù)是偶函數(shù).難度分級(jí):A類16. 已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x(,0)時(shí),f(x)xlg(2x),求f(x)的解析式【解題思路】f(x)是奇函數(shù),可得f(0)f(0),f(0)0.當(dāng)x>0時(shí),x<0,由已知f(x)xlg(2x),f(x)xlg(2x),即f(x)xlg(2x) (x>0)f(x)即f(x)xlg(2|x|) (xR)難度分級(jí):B類17. (2010·溫州一模)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5,當(dāng)x0,5時(shí),函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示,則使函數(shù)值y<
38、0的x的取值集合為_【解題思路】由原函數(shù)是奇函數(shù),所以y=f(x)在-5,5上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,由y=f(x)在0,5上的圖象,得它在-5,0上的圖象,如圖所示由圖象知,使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(-2,0)(2,5)難度分級(jí):B類18. 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1 (-3x3).(1)證明:f(x)是偶函數(shù);(2)畫出函數(shù)的圖象;(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并說明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù);(4)求函數(shù)的值域.【解題思路】:(1)證明 : f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函
39、數(shù).(2)解: 當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)圖象如圖所示.(3)解: 函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為-3,-1),-1,0),0,1),1,3.f(x)在區(qū)間-3,-1)和0,1)上為減函數(shù),在-1,0),1,3上為增函數(shù).(4)解: 當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2;故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2,2. 難度分級(jí):B類19. 把函數(shù)f(x)=log2x圖象上
40、所有點(diǎn)向右平移2個(gè)單位得到g(x)的圖象,求g(x)的表達(dá)式.【解題思路】:在函數(shù)f(x)=log2x的圖象上任取一點(diǎn)A(x,log2x),向右平移2個(gè)單位后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為A1(x+2,log2x),A1在g(x)的圖象上,所以g(x+2)=log2x,所以g(x)=log2(x-2)即為g(x)的表達(dá)式.難度分級(jí):B類20. 若f(x)ax與g(x)axa (a>0且a1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱,則a_.【解題思路】: g(x)上的點(diǎn)P(a,1)關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)P(2a,1)應(yīng)在f(x)ax上,1aa2.a20,即a2. 難度分級(jí):B類【課堂訓(xùn)練】1. 求下列函數(shù)的定義域:(1)
41、y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;【解題思路】:(1)由得所以-3x2且x1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?3,1)(1,2).(2)由得函數(shù)的定義域?yàn)椋?)由,得借助于數(shù)軸,解這個(gè)不等式組,得函數(shù)的定義域?yàn)殡y度分級(jí):A類2. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?,1,求下列函數(shù)的定義域.(1)y=f(3x); (2)y=f();(3) y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).【解題思路】:(1)03x1,故0x,y=f(3x)的定義域?yàn)?, .(2)仿(1)解得定義域?yàn)?,+).(3)由條件,y的定義域是f與定義域的交集.列出不等式組故y=f的定義
42、域?yàn)?()由條件得討論:當(dāng)即0a時(shí),定義域?yàn)閍,1-a;當(dāng)即-a0時(shí),定義域?yàn)?a,1+a.綜上所述:當(dāng)0a時(shí),定義域?yàn)閍,1-a;當(dāng)-a0時(shí),定義域?yàn)?a,1+a.難度分級(jí):B類3. 已知f(x)+g(x)=3x+,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),求f(x)的解析式.答案:.難度分級(jí):B類4. 已知函數(shù)(x)=f(x)g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù),g(x)是x的反比例函數(shù),且()=16, (1)=8求(x)的解析式,并指出定義域; 【解題思路】:設(shè)f(x)=ax,g(x)=,a、b為比例常數(shù),則(x)=f(x)g(x)=ax+由,解得(x)=3x+,其定義域?yàn)?,0)(0,)
43、 . 難度分級(jí):B類5. 的值域是 .【解題思路】:.難度分級(jí):A類6. (1)的最小值為 ,值域?yàn)?.(2)的值域?yàn)?.【解題思路】:(1)4,;(2).難度分級(jí):A類7. 的值域是 . 【解題思路】:.難度分級(jí):A類8. 求下列函數(shù)的值域:(1)y=; (2)y=|x|.(3)y=x+【解題思路】:(1)(分離常數(shù)法)y=-,0,y-.故函數(shù)的值域是y|yR,且y-.(2) y=|x|·0y即函數(shù)的值域?yàn)?(3)任取x1,x2,且x1x2,因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以當(dāng)x-2或x2時(shí),f(x)遞增,當(dāng)-2x0或0x2時(shí),f(x)遞減.故x=-2時(shí),f(x)
44、最大值=f(-2)=-4,x=2時(shí),f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,-44,+).難度分級(jí):A類9. 已知f(x)=(exa)+ (exa)(a0).(1) f(x)將表示成u= 的函數(shù);(2) 求f(x)的最小值【解題思路】:(1)將f(x) 展開重新配方得,f(x)=(ex+ex)2a(ex+ex)+2a2,令u= ,得f(x)=4u4au+2 a2(u).(2)因?yàn)閒(u)的對(duì)稱軸是u=,又a,所以當(dāng)時(shí),則當(dāng)u=1時(shí),f(u)有最小值,此時(shí)f(u) =f(1)=2(a1). 當(dāng)a>2時(shí),則當(dāng)u=時(shí),f(u)有最小值,此時(shí)f(u)=f ()=a2.所以f(x)
45、的最小值為f(x)=.難度分級(jí):C類10. 若f(x)= 在區(qū)間(2,)上是增函數(shù),求a的取值范圍.【解題思路】:設(shè) 由f(x)=在區(qū)間(2,)上是增函數(shù)得, a .難度分級(jí):B類11. 求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間.【解題思路】:定義域是R.令,則.當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù),是減函數(shù),所以函數(shù)y=在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),是減函數(shù),所以函數(shù)y=在上是增函數(shù).綜上,函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.難度分級(jí):A類12. 解關(guān)于x的對(duì)數(shù)不等式2 loga (x4)>loga(x2).【解題思路】:原不等式等價(jià)于(1)當(dāng)a>1時(shí),又等價(jià)于解之,得x>6.(2)當(dāng)0<a<1時(shí)
46、,又等價(jià)于解之,得4<x<6.綜上,不等式的解集,當(dāng)a>1時(shí),為(6,+ );當(dāng)0<a<1時(shí),為(4,6). 難度分級(jí):B類13. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且?duì)任意的正數(shù),都有,求滿足的的取值范圍【解題思路】時(shí),函數(shù)是減函數(shù), 由得:,解得,的取值范圍是難度分級(jí):B類14. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.【解題思路】:(1)x2-10且1-x20,x=±1,即f(x)的定義域是-1,1.f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既
47、是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)方法一 易知f(x)的定義域?yàn)镽,又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函數(shù).方法二 易知f(x)的定義域?yàn)镽,又f(-x)+f(x)=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).(3)由|x-2|0,得x2.f(x)的定義域x|x2關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù).難度分級(jí):A類【課后檢測】1. 求下列函數(shù)的定義域(1)y=;(2)y= (3).【解題思路】(1)令,得.解得x1,或x<1.故定義域?yàn)閤x1,或x<1.(2)令3,所以x.所以定義域?yàn)?(
48、3)由.難度分級(jí):A類2. 給出下列兩個(gè)條件:(1)f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式.【解題思路】:(1)令t=+1,t1,x=(t-1)2.則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1,+).(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.,又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.難度分級(jí):A類3.求下列函數(shù)的值域:(1)y= (2)y=x-; (3)y=.【解題思路
49、】:(1)y=1-而0值域?yàn)?(2)方法一 (單調(diào)性法)定義域,函數(shù)y=x,y=-均在上遞增,故y函數(shù)的值域?yàn)?方法二 (換元法)令=t,則t0,且x=y=-(t+1)2+1(t0),y(-,.(3)由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函數(shù)的值域?yàn)閥|-1y1.難度分級(jí):A類4.求函數(shù)y=(4x-x2)的單調(diào)區(qū)間.【解題思路】: 由4x-x20,得函數(shù)的定義域是(0,4).令t=4x-x2,則y=t.t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的單調(diào)減區(qū)間是2,4),增區(qū)間是(0,2.又y=t在(0,+)上是減函數(shù),函數(shù)y=(4x-x2)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2,單調(diào)增區(qū)間是2,4
50、). 難度分級(jí):A類5.已知定義在區(qū)間(0,+)上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2),且當(dāng)x1時(shí),f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.【解題思路】:(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2(0,+),且x1x2,則1,由于當(dāng)x1時(shí),f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù).(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù),由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集為x|x9或x-9.難度分級(jí):B類6.判斷下列各函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=(x-2);(2)f(x)=;(3)f(x)=【解題思路】:(1)由0,得定義域?yàn)?2,2),關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)由得定義域?yàn)椋?1,0)(0,1).這時(shí)f(x)=.f(-x)=-f(x)為偶函數(shù).(3)x-1時(shí),f(x)=x+2,-x1,f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x1時(shí),f(x)=-x+2,-x-1,f
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 公司裝修合同正規(guī)
- 浴場承包合同
- 電腦維護(hù)保養(yǎng)合同
- 公立醫(yī)院職工購房借款合同
- 化糞池設(shè)備銷售合同
- 房地產(chǎn)物業(yè)售樓處服務(wù)合同
- 場地房屋租賃服務(wù)合同
- 擔(dān)保借款三方合同
- 擋土墻施工承包合同
- 智能硬件產(chǎn)品設(shè)計(jì)開發(fā)合同
- Python爬蟲技術(shù)基礎(chǔ)介紹
- 《傳媒法律法規(guī)》課件
- 數(shù)據(jù)中心供配電系統(tǒng)概述演示
- TSG11-2020鍋爐安全技術(shù)規(guī)程(現(xiàn)行)
- 義務(wù)教育(音樂)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)解讀
- 第三章企業(yè)的生產(chǎn)和成本
- 統(tǒng)編版 高中語文 必修下冊(cè) 《祝?!贰读纸填^風(fēng)雪山神廟》
- 2024年職教高考《機(jī)械制圖》考試題庫
- 九型人格與親子教育課件
- 2025屆高校畢業(yè)生公開招聘工作人員報(bào)名登記表
- DB34∕T 2290-2022 水利工程質(zhì)量檢測規(guī)程
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論