知識講解-集合與函數(shù)綜合-提高

1、 集合與函數(shù)綜合編稿：丁會敏 審稿：王靜偉 【學習目標】1.集合（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；（3）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；（4）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.2.函數(shù)(1)會用集合與對應的語言刻畫函數(shù)；會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用；(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法了解每種方法的優(yōu)點在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；(3)求簡單分段函數(shù)的解析式；了

2、解分段函數(shù)及其簡單應用；（4）理解函數(shù)的單調性、最大（小）值及其幾何意義；集合具體函數(shù)了解奇偶性的含義；（5）能運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質【知識網絡】1 / 26【要點梳理】一、集合1集合含義與表示（1）某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集其中每個對象叫做元素集合中的元素具有確定性、互異性和無序性（2）集合常用的表示方法有：列舉法、描述法、圖示法它們各有優(yōu)點，要根據具體需要選擇恰當?shù)姆椒?集合間的關系（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，記為“AB”或“BA”（2）若AB，且B中至少存在一個元素不是A的元素，則A是B的真子集，記為“AB”或“BA

3、”（3）若兩個集合的元素完全一樣，則這兩個集合相等，記為“A=B”判斷集合相等還可以用下面兩種方法：且A=B；要點詮釋：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集換言之，任何集合至少有一個子集3集合的基本運算（1）由所有屬于集合A或屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的并集，記作“AB”用數(shù)學語言表示為AB=x|xA，且xB（2）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的交集，記作“AB”用數(shù)學語言表示為AB=x|xA，且xB（3）若已知全集U，A是U的子集，則由所有U中不屬于A的元素構成的集合稱為集合A在U中的補集記作“”用數(shù)學語言表示為要點詮釋：；二、函數(shù)及其表示1兩個函數(shù)

4、相等的條件用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，與初中的“用變量的觀點描述函數(shù)”實質上是一致的函數(shù)有三要素定義域、值域、對應關系，它們是不可分割的一個整體當且僅當兩個函數(shù)的三要素完全相同時，這兩個函數(shù)相等2函數(shù)的常用表示方法函數(shù)的常用表示方法有：圖象法、列表法、解析法注意領會在實際情境中根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)3映射設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x（原象），在集合B中都有唯一確定的元素（象）與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射由映射定義知，函數(shù)是一種特殊的映射，即函數(shù)是兩個非空的數(shù)集間的映射三、函數(shù)的性質1函數(shù)的單調性

5、（1）如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)（2）如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)（3）若函數(shù)在某個區(qū)間上總是遞增（或遞減）的，則該區(qū)間是函數(shù)的一個單調增（或減）區(qū)間若函數(shù)在整個定義域上總是遞增（或遞減）的，則稱該函數(shù)為單調增（或減）函數(shù)2函數(shù)的奇偶性（1）若一個函數(shù)具有奇偶性，則它的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數(shù)的定義域不關于原點對稱，那么它就失去了是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的條件，即這個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）若奇函數(shù)的定義域內有零，則由

6、奇函數(shù)定義知，即，所以（3）奇、偶性圖象的特點如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則它的圖象是以y軸為對稱軸的對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數(shù)是偶函數(shù)【典型例題】類型一：集合的關系及運算例1已知全集U=R，集合M=x|2x12和N=x|x=2k1，k=1，2，的關系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區(qū)有（ ）A3個 B2個 C1個 D無窮多個【答案】B【解析】 陰影部分為MN=x|2x12x

7、|x=2k1，k=1，2，=x|1x3x|x=2k1，k=1，2，=1，3，陰影部分所示的集合的元素區(qū)有2個，故選B項【總結升華】具體集合（給出或可以求得元素的集合）的交、并、補運算，以及集合間關系的判定、子集的個數(shù)問題是每年高考重點考查的對象，因而也是高考命題的熱點舉一反三： 【高清課堂：集合與函數(shù)性質綜合377492 例4】【變式1】設全集為，求及 【答案】=；=.例2設非空集合滿足：當xS時，有x2S.給出如下三個命題：若m=1，則S=1；若，則l1；，則其中正確命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3【思路點撥】根據題中條件：“當xS時，有x2S”對三個命題一一進行驗證即可：對于m=1

8、，得，對于，則，對于若，則，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個【答案】D【解析】 若m=1，則x=x2，可得x=1或x=0（舍去），則S=1，因此命題正確；若，當時，故，當時，則，可得或（舍去），故，因此命題正確；若，則，得，因此命題正確類型二：映射例3設集合，f是A到B的映射，并滿足（1）求B中元素（3，4）在A中的原象；（2）試探索B中有哪些元素在A中存在原象；（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一個原象時，a，b所滿足的關系式【思路點撥】本例是一道與方程綜合的題目，關鍵是將題目轉化為我們所熟悉的映射的知識【答案】（1）（1，3）或（3，1）；（

9、2）b24a0；（3）b2=4a【解析】（1）設（x，y）是（3，4）在A中的原象，于是，解得或，（3，4）在A中的原象是（1，3）或（3，1）（2）設任意（a，b）B在A中有原象（x，y），應滿足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 當且僅當=b24a0時，方程有實根只有當B中元素滿足b24a0時，才在A中有原象（3）由以上（2）的解題過程知，只有當B中元素滿足b2=4a時，它在A中有且只有一個原象【總結升華】高考對映射考查較少，考查時只涉及映射的概念，因此我們必須準確地把握映射的概念，并靈活地運用它解決有關問題舉一反三：【變式1】 已知a，b為兩個不相等的實數(shù)，集合，表示把M中的元素x映

10、射到集合N中仍為x，則a+b等于（ ）A1 B2 C3 D4【答案】 D 【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x24x+2=0的兩根，故a+b=4類型三：函數(shù)的概念及性質例 【高清課堂：集合與函數(shù)性質綜合377492 例2】例4設定義在R上的函數(shù)y= f（x）是偶函數(shù),且f（x）在（，0）為增函數(shù)若對于，且，則有 ( ) A B C D 【答案】D 【解析】因為，且，所以，畫出y= f（x）的圖象，數(shù)形結合知，只有選項D正確 【總結升華】對函數(shù)性質的綜合考查是高考命題熱點問題這類問題往往涉及函數(shù)單調性、奇偶性、函數(shù)圖象的對稱性，以及題目中給出的函數(shù)性質解決這類問題的關鍵在于“各個擊破”

11、，也就是涉及哪個性質，就利用該性質來分析解決問題 舉一反三：【變式1】（1）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，則（ ）A BC D（2）定義在R上的偶函數(shù)f (x)，對任意x1，x20，+）（x1x2），有，則（ ）A BC D【答案】（1）D （2）A 【解析】（1）由函數(shù)是奇函數(shù)且在0，2上是增函數(shù)可以推知在2，2上遞增，又，故函數(shù)以8為周期，故故選D（2）由題知，為偶函數(shù)，故，又知x0，+）時，為減函數(shù)，且321，即故選A例5設偶函數(shù)滿足，則（ ）Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2【思路點撥】先求的解析式，即，然后再去解這個不等式?！?/p>

12、答案】 B 【解析】 當x0時，x0，又是偶函數(shù)，或解得x4或x0，故選B例6設函數(shù)的定義域為，若所有點 構成一個正方形區(qū)域，則的值為（ ）A2 B4 C8 D不能確定【答案】 B【解析】 依題意，設關于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x1，x2（x1x2），且，的最大值是依題意，當sx1，x2的取值一定時，取遍中的每一個組，相應的圖形是一條線段；當s取遍x1，x2中的每一個值時，所形成的圖形是一個正方形區(qū)域（即相當于將前面所得到的線段在坐標平面內平移所得），因此有，又a0，因此a=4，選B項舉一反三：【變式1】若函數(shù)的定義域是0，2，則函數(shù)的定義域是（ ）A0，1 B0，1） C

13、0，1）（1，4 D（0，1）【答案】 B 【解析】 要使有意義，則，解得0x1，故定義域為0，1），選B例7設函數(shù)（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范圍【答案】（1）右圖；（2）【解析】 （1）由于，則函數(shù)的圖象如圖所示（2）由函數(shù)與函數(shù)y=ax的圖象可知，當且僅當或a2時，函數(shù)與函數(shù)y=ax的圖象有交點故不等式的解集非空時，a的取值范圍為舉一反三：【變式1】 直線y=1與曲線y=x2|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是_【答案】 【解析】 如圖，作出y=x2|x|+a的圖象，若要使y=1與其有四個交點，則需滿足，解得例8 已知函數(shù)（x0，常數(shù)aR）（1）討論函數(shù)的

14、奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在x2，+）上為增函數(shù)，求a的取值范圍【思路點撥】（1）對進行分類討論，然后利用奇函數(shù)的定義去證明即可。（2）由題意知，任取2x1x2，則有恒成立，即可得的取值范圍。【答案】（1）當a=0時，為偶函數(shù)；當a0時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）（，16【解析】 （1）當a=0時，對任意x（，0）（0，+），為偶函數(shù)當a0時，（a0，x0），取x=±1，得，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）解法一：設2x1x2，要使函數(shù)在x2，+）上為增函數(shù)，必須恒成立x1x20，x1 x24，即ax1 x2 (x1+ x2)恒成立又x1+ x24，x1x2(x1+

15、x2)16a的取值范圍是（，16解法二：當a=0時，顯然在2，+）上為增函數(shù)當a0時，反比例函數(shù)在2，+）上為增函數(shù)，在2，+）上為增函數(shù)當a0時，同解法一【總結升華】 函數(shù)的奇偶性與單調性是函數(shù)的重要性質，因而也是高考命題的熱點應運用研究函數(shù)的奇偶性與單調性的基本方法，來分析解決問題舉一反三：【高清課堂：集合與函數(shù)性質綜合377492 例5】【變式1】已知函數(shù)，且f（1）=1（1）求實數(shù)k的值及函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)在（0，+）上的單調性，并用定義加以證明【答案】（1）2 ；（2）單調遞增【解析】（1），定義域為：（2）在（0，+）上任取，則 =所以函數(shù)在上單調遞增例9請先閱讀下列材料

16、，然后回答問題對于問題“已知函數(shù)，問函數(shù)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由”一個同學給出了如下解答：解：令u=3+2xx2，則u=(x1)2+4，當x=1時，u有最大值，umax=4，顯然u沒有最小值當x=1時，有最小值，沒有最大值（1）你認為上述解答正確嗎？若不正確，說明理由，并給出正確的解答；（2）對于函數(shù)，試研究其最值情況【答案】（1）不正確；（2）當0時，既無最大值，也無最小值；當0時，有最大值，此時，沒有最小值【解析】（1）不正確沒有考慮到u還可以小于0正確解答如下：令u=3+2xx2，則u=(x1)2+44，當0u4時，即；當u0時，即或，即既無

17、最大值，也無最小值（2）對于函數(shù)，令u=ax2+bx+c（a0）當0時，u有最小值，當時，即；當u0時，即或，即既無最大值，也無最小值當=0時，u有最小值，此時，u0，即，既無最大值，也無最小值當0時，u有最小值，即，即當時，有最大值，沒有最小值綜上，當0時，既無最大值，也無最小值當0時，有最大值，此時，沒有最小值【總結升華】研究性學習是新課標所倡導的教學理念，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要途徑，因而也是新課標高考的重點考查對象解決像本例這樣的研究性問題，關鍵是透徹理解題目中所提供的材料，準確地把握題意，靈活地運用所學的基本知識和基本方法分析解決問題舉一反三：【變式1】（1）已知函數(shù)的最大值為M，最小值

18、為m，則的值為（ ）A B C D【答案】 C 【解析】 函數(shù)的定義域為3，1又而，4y28又y0，m=2故選C項（2）設，是二次函數(shù)，若的值域是0，+），則的值域是（ ）A（，11，+） B（，10，+）C0，+） D1，+）【答案】C【解析】要使的值域是0，+），則可?。?，10，+）又是二次函數(shù)，定義域連續(xù)，故不可能同時?。?，1和0，+）結合選項只能選C項 【總結升華】 函數(shù)的值域問題每年高考必考，而且既有常規(guī)題型如本例（1），也有創(chuàng)新題如本例（2）解答這類問題，既要熟練掌握求函數(shù)值域的基本方法，更要根據具體問題情景，靈活地處理如本例（2）中，其背景函數(shù)屬常規(guī)函數(shù)（分段函數(shù)、二次函數(shù)、復合

19、函數(shù)），但給出的值域，要求的值域，就在常規(guī)題型基礎上有所創(chuàng)新，解答這類問題，應利用基本方法、基本知識來分析解決問題類型四：函數(shù)的綜合問題例10（1）已知函數(shù)在區(qū)間1，2上最大值為4，求實數(shù)a的值；（2）已知函數(shù)，x1，1，求函數(shù)的最小值【思路點撥】第（1）小題中應對二次項系數(shù)進行全面討論，即按a=0，a0，a0三種情況分析；第（2）小題中的拋物線開口方向確定，對稱軸不穩(wěn)定【答案】（1）3或；（2）略【解析】 （1）當a=0時，函數(shù)在區(qū)間1，2上的值為常數(shù)1，不合題意；當a0時，函數(shù)在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，最大值為，；當a0時，函數(shù)在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，最大值為，a=3綜上，a的值為3或（2），對稱軸為直線x=a，且拋物線的開口向上，如下圖所示：當a1時，函數(shù)在區(qū)間1，1上是減函數(shù)，最小值為；當1a1時，函數(shù)在區(qū)間1，1上是先減后增，最小值為；當a1時，函數(shù)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)，最小值為【總結升華】 求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法是：一看拋物線的開口方向；二看對稱軸與已知閉區(qū)間的相對位置，作出二次函數(shù)相關部分的簡圖，利用數(shù)形結合方