251《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》（新人教A版必修5）

1、v主講老師 潘學(xué)國(guó)第一課時(shí)第一課時(shí)等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列定義定義通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式性質(zhì)性質(zhì)Sndnaan)(1111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)( mnmnqaa*( , , ,)mnrsm n r sNmnrsaaaamnrsa aa a2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad64個(gè)格子個(gè)格子1223344551667788你想得到什么樣的賞賜？陛下，賞小人一些麥粒就可以。OK請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)格子放1顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘诙€(gè)格子放2顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘谌齻€(gè)格子放4顆麥粒請(qǐng)?jiān)诘谒膫€(gè)格子放8顆麥粒 依次類(lèi)推456781567812334264個(gè)格子你認(rèn)為國(guó)王你認(rèn)為國(guó)王有能力滿(mǎn)足有能

2、力滿(mǎn)足上述要求嗎上述要求嗎每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前 一個(gè)格子里麥粒數(shù)的一個(gè)格子里麥粒數(shù)的2倍, 且共有且共有 64 格子格子.2213263220212? 由剛才的例子可知：實(shí)際上就是一個(gè)以由剛才的例子可知：實(shí)際上就是一個(gè)以1為首為首項(xiàng)，項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前為公比的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的求和問(wèn)題，即：項(xiàng)的求和問(wèn)題，即： 842164S 636222 把上式左右兩邊同乘以把上式左右兩邊同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- - 得：得：126464S=184467440737095516151.841910錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 如果造一個(gè)寬四米，高

3、四米的糧倉(cāng)來(lái)儲(chǔ)存這些如果造一個(gè)寬四米，高四米的糧倉(cāng)來(lái)儲(chǔ)存這些糧食，那么這個(gè)糧倉(cāng)就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球糧食，那么這個(gè)糧倉(cāng)就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球赤道赤道75007500圈，或在太陽(yáng)和地球之間打個(gè)來(lái)回。圈，或在太陽(yáng)和地球之間打個(gè)來(lái)回。842164S 636222 把上式左右兩邊同乘以把上式左右兩邊同乘以2 2 得：得：646322842264S16+由由- -得：得：126464S錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法nnqaaSq111 ）（qqaSnn 1)1(1（錯(cuò)位相減法）（錯(cuò)位相減法） nnnqSqaqaqaaS112111nnqaqaqaqa111211 11211121 nnnnqaqaqaaS

4、aaaS可表示為根據(jù)通項(xiàng)公式，當(dāng)當(dāng)q11時(shí)時(shí)兩式相減，得兩式相減，得當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)，時(shí)，Sn=?,q若若將將此此式式兩兩端端同同乘乘以以所所得得式式子子與與原原式式比比較較: :此式相鄰兩項(xiàng)此式相鄰兩項(xiàng)有何關(guān)系？有何關(guān)系？當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)時(shí)1nSna （利用定義）利用定義）qqaaSqnn 1,011時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qaaaaaann 12312qaaaaaann 12132qaSaSnnn 1即即nnqaaSq 1)1(由等比定理，得由等比定理，得等比數(shù)列定義：等比數(shù)列定義：與與 什什么關(guān)系？么關(guān)系？與與 什什么關(guān)系？么關(guān)系？nSnS101naSqn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)比例式連等的形比例式連等的形式能否變成和的式

5、能否變成和的形式？怎樣變？形式？怎樣變？ 思路思路2(利用利用 )112111 nnqaqaqaaS)(21111 nqaqaaqa11 nqSa)(1nnnaSqaS nnqaaSq 1)1(即即)2(1 nSSannn1nSqqaaSqnn 1,011時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)101naSqn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 思路思路3等比數(shù)列前等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式公式公式：)1( q)1( q 111naqqaaSnn)1( q 111)1(naqqaSnn)1( q公式：公式：nnSanqa,1根據(jù)求和公式，運(yùn)用方程思想，根據(jù)求和公式，運(yùn)用方程思想， 五個(gè)基本量中五個(gè)基本量中“知三求二知三求二”. 注意對(duì)注意對(duì)

6、是否等于是否等于 進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行分類(lèi)討論q111 nnqaa29663已知已知na是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：題號(hào)題號(hào)a1qnanSn(1) (2)(3)21218例例1 1：2112112188)(S解：解：8211)(2562557)21(21821)(256125612562558a11nnqaa29663827已知已知na是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：題號(hào)題號(hào)a1qnanSn(1) (2)(3)2121832465例例1 1：解：解：qqaaS141432132827256125625565832271nna)(313232)()(nna4n已知

7、已知na是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：是等比數(shù)列，請(qǐng)完成下表：a1、q、n、an、Sn中中例例1 1：題號(hào)題號(hào)a1qnanSn(1) (2)(3)212183246532962561256255636827知三求二知三求二課本課本58頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)16, 2, 3) 1 (1nqa21)21 (36nS901,31, 7 . 2)2(1naqa)31(1)31(9017 . 2nS1894591分析分析 （建立數(shù)列模型）（建立數(shù)列模型）從第從第1 1年起，每年銷(xiāo)售量分別為：年起，每年銷(xiāo)售量分別為： ，2101500010150005000%)(%)(本題實(shí)質(zhì)上是已知前本題實(shí)質(zhì)上是已知前n項(xiàng)和，求項(xiàng)數(shù)項(xiàng)

8、和，求項(xiàng)數(shù)n的問(wèn)題的問(wèn)題. .構(gòu)成等比數(shù)列構(gòu)成等比數(shù)列.某商場(chǎng)第某商場(chǎng)第1年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均臺(tái)，如果平均每年的銷(xiāo)售量比上一年增加每年的銷(xiāo)售量比上一年增加10%，那么從第，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總銷(xiāo)售量達(dá)到年起，約幾年內(nèi)可使總銷(xiāo)售量達(dá)到30000臺(tái)臺(tái)（保留到個(gè)位）？（保留到個(gè)位）？例例2 2：解解 由題知，從第由題知，從第1年起，每年的銷(xiāo)售量組成一個(gè)年起，每年的銷(xiāo)售量組成一個(gè)等比數(shù)列等比數(shù)列 na30000, 1 . 1%101,50001 nSqa其中，其中，代入等比數(shù)列前代入等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式qqaSnn 1)1(1300001 . 11)1 .

9、115000 n（得得6 .11 .1 n整整理理得得兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得6 . 1lg1 . 1lg n用計(jì)算器算得用計(jì)算器算得)(5041.020.01 .1lg6 .1lg年年 n答：答： 約約 5 年內(nèi)可以使總銷(xiāo)量達(dá)到年內(nèi)可以使總銷(xiāo)量達(dá)到30000臺(tái)臺(tái). 練習(xí)1. 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列 的的 nanS;6,2,3)1(1 nqa;5,5.1,4.2)2(1 nqa;5,21,8)3(1 nqa11(4)2.7,6.3aqn .18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.409131

10、13117.266 S 練習(xí)練習(xí)練習(xí)練習(xí)2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項(xiàng)項(xiàng)到第到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,2,11 qa解解：.1521)21(144 S.102321)21(11010 S.1008151023410 SS從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和: ,21,231 qa解解： 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項(xiàng)項(xiàng)到第到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和. .1283812112112377 S從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和:.1281534912838143237 S練習(xí)練習(xí)3. ,834323*232 kkkkkkNSSS SS當(dāng)， ，也成等比數(shù)列嗎？是，是，但是，這是

11、有前提的！但是，這是有前提的！ 這個(gè)數(shù)列里面的任何一這個(gè)數(shù)列里面的任何一項(xiàng)都不能為項(xiàng)都不能為0！ . .5 50 0，求求S S1 10 0，S S中中，S Sa a在在等等比比數(shù)數(shù)列列1 15 51 10 05 5n n例例3 3：2 21 10 0. .故故S SS SS SS SS SS S數(shù)數(shù)列列，則則有有成成等等比比S S，S SS S，S S解解：依依題題意意，知知：S S1 15 51 10 01 15 55 52 25 51 10 01 10 01 15 55 51 10 05 51、求和公式、求和公式當(dāng)當(dāng)q11時(shí)，時(shí)，1(1)1nnaqSq 11nnaa qSq 當(dāng)當(dāng)q=1=1時(shí)，時(shí)，1nSna 注意分類(lèi)討論的思想！