《圓》章節(jié)知識點(diǎn)總結(jié)

1、圓章節(jié)知識點(diǎn)圓章節(jié)知識點(diǎn)1、 圓的概念1. 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱 為半徑，以點(diǎn)為圓心的圓記作“”，讀作“圓”。2. 確定圓的基本條件：（1）、圓心：定位置，具有唯一性，（2）、半徑：定大小。3. 半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，兩個(gè)等圓能夠完全重合。4. 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，弧用符號“”表示，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。在同圓或等圓中，能過重合的兩條弧叫做等弧。理解：弧在圓上，弦在圓及圓上：弧為

2、曲線形，弦為直線形。5. 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯一一個(gè)。6. 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個(gè)角。（補(bǔ)充）圓的集合概念 1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合； 3、圓

3、的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓； 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫 中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定 長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離 都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。 1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)； 2、點(diǎn)在圓上

4、點(diǎn)在圓上； 3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；解題注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓的對稱性圓是軸對稱圖形，他有無數(shù)條對稱軸，每一條過圓心的直線都是他的對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來的圖形重合，這種性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。3、 直線與圓的位置關(guān)系：相交，相切，相離如果圓O的半徑為，圓心O到直線的距離為d，那么：1、直線與圓相離 無交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；4、 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么：外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3）

5、有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ； 五、垂徑定理（非常重要）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧解題技巧：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要做“垂直于弦的

6、直徑”作為輔助線。6、 圓心角定理頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)與他所對的弧的度數(shù)相等。圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角（或弧的度數(shù)）的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓

7、周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。注：忽略一條弦所對的弧有兩條，所對的圓周角邊有兩種不同的角。八、圓內(nèi)接四邊形一般的，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。推論：圓內(nèi)接四邊形任何一個(gè)外角都等于他的內(nèi)對角。 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與

8、判定定理直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。連接圓心與切點(diǎn)間的線段是解圓的切線問題時(shí)常用的輔助線，通常敘述為：“見切點(diǎn)連半徑得垂直”。解決與圓的切線有關(guān)的問題時(shí)，常需

9、要補(bǔ)充的線是作過切點(diǎn)的半徑。9、 切線長定理在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條

10、割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時(shí)，連心線必過切點(diǎn)，這一性質(zhì)是由圓的對稱性決定，兩個(gè)圓組成的圖形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩圓圓心的直線。圓公共弦定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn) 垂直平分注：兩圓相交時(shí)，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況：兩圓圓心在公共弦同側(cè)，兩圓圓心在公共弦異側(cè)。十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊

11、形。把一個(gè)圓分成相等的弧，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做正多邊形的外接圓。經(jīng)過各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形內(nèi)切圓半徑叫做正多邊形的邊心距。正n邊形的半徑R與邊心距r把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱