三角形五心及其性質(zhì)

1、三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。三角形垂心的性質(zhì)設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、 C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的 垂心； 3、 垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。 4、 ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。 5、 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一

2、垂心組)。 6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。 7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。 9、 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。 10、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。 11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。 12、西姆松定理（西姆松線）：從一

3、點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 13、 設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點(diǎn)T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向徑定義設(shè)點(diǎn)H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c， 則h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐標(biāo)的解析解： 設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐標(biāo)x=x/2/，y=-y/2/。 其中， =det(x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2)

4、; x=det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2); y=det(x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3); 垂心的向量特征：三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)O，向量OAOB=OBOC=OCOA，則點(diǎn)O是三角形的垂心 證明由OAOB=OBOC，得 OAOB-OCOB=0 (OA-OC)OB=0 CAOB=0，即OB垂直于AC邊 同理由OBOC=OCOA，可得OC垂直于AB邊 由OAOB=OCOA，得OA垂直于BC邊

5、顯然點(diǎn)O是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過程又是塞瓦定理的特例。    三角形重心已知：ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。 證明：根據(jù)燕尾定理，SAOB=SAOC，又SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。 重心的幾條性質(zhì)： 1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。 2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。 3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐

6、標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。 證明：剛才證明三線交一時(shí)已證。 6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。 其它規(guī)則圖形的重心注：下面的幾何體都是均勻的，線段指細(xì)棒，平面圖形指薄板。 三角形的重心就是三邊中線的交點(diǎn)。 線段的重心就是線段的中點(diǎn)。 平行四邊形的重心就是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)。 平行六面體的重心就是其四條對(duì)角線的交點(diǎn)，也是六對(duì)

7、對(duì)棱中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，也是四對(duì)對(duì)面重心連線的交點(diǎn)。 圓的重心就是圓心，球的重心就是球心。 錐體的重心是頂點(diǎn)與底面重心連線的四等分點(diǎn)上最接近底面的一個(gè)。 四面體的重心同時(shí)也是每個(gè)定點(diǎn)與對(duì)面重心連線的交點(diǎn)，也是每條棱與對(duì)棱中點(diǎn)確定平面的交點(diǎn)。    三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個(gè)三角形內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等。如圖，點(diǎn)M就是ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。 若設(shè)O為ABC的旁心,用向量表示則有aOA=

8、bOB+cOC 1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。 2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）。    內(nèi)心定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。 注意到內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑），內(nèi)心定理其實(shí)極易證。 若三邊分別為l1，l2，l3，周長(zhǎng)為p，則內(nèi)心的重心坐標(biāo)為(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直

9、角邊的和減去斜邊的差的二分之一。 雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。 三角形內(nèi)心的性質(zhì)設(shè)ABC的內(nèi)切圓為O(半徑r)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。 1、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r。 3、r=S/p。 證明：SABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結(jié)論。 ABC中，C=90°，r=(a+b-c)/2。 5、BOC=90°+A/2。 6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是ABC內(nèi)心的充要條件

10、是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。 7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是ABC內(nèi)心的充要條件是： 向量OI=a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)/(a+b+c)。 8、ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。 9、(歐拉定理)ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr。 10、（內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系） 角

11、平分線分對(duì)邊與該角的兩邊成比例。 證明：ABC中，AD是A的角平分線，D在BC上，abc是角的對(duì)邊ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC，R1是ABD的外接圓半徑，R2是ACD的外接圓半徑，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,CAD=BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心 三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊中垂線的交點(diǎn),三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就在這個(gè)外接圓上. 三角形外心的性質(zhì)設(shè)ABC的外接圓為G(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p

12、=(a+b+c)/2 1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)； （2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合； （3）鈍角三角形的外心在三角形外. 2：BGC=2A，（或BGC=2(180°-A). 3：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是ABC外心的充要條件是： (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 4：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是ABC外心的充要條件是： （1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量