二倍角的正弦余弦正切公式

1、二倍角的正弦余弦正切公式教學(xué)目標1會推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點)2掌握二倍角公式及其變形公式的應(yīng)用(難點)3二倍角公式與兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的區(qū)別與聯(lián)系(易混點)基礎(chǔ)·初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材P132P133例5以上內(nèi)容，完成下列問題1二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的變形3正弦的二倍角公式的變形(1)sin cos sin 2，cos (2)1±sin 2(sin ±cos )21判斷(正確的打“”，錯誤的打“

2、15;”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角()(2)存在角，使得sin 22sin 成立()(3)對于任意的角，cos 22cos 都不成立()解:(1)×.二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且±k(kZ)，故此說法錯誤(2).當k(kZ)時，sin 22sin .(3)×.當cos 時，cos 22cos .【答案】(1)×(2)(3)×2已知cos ，則cos 2等于_解:由cos ，得cos 22cos212×1.【答案】化簡求值.(1)cos4 sin4 ；(2)s

3、in ·cos ·cos ；(3)12sin2 750°；(4)tan 150°.靈活運用倍角公式轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相消項，然后求得.解:(1)cos4 sin4 cos .(2)原式·cossin ·cos sin .原式.(3)原式cos(2×750°)cos 1 500°cos(4×360°60°)cos 60°.原式.(4)原式.原式.二倍角公式的靈活運用：(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn)主要形式有：2sin cos sin

4、 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時要融會貫通，有目的地活用公式主要形式有：1±sin 2sin2 cos2 ±2sin cos (sin ±cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .再練一題1.求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)；(3)；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.解:(1)原式.(2)原式tan(2×150°)tan 300°tan(360&

5、#176;60°)tan 60°.(3)原式4.(4)原式.利用二倍角公式解決求值問題(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值為()A2B2CD(2)已知sin，則cos的值等于()ABCD(3)(2016·天津高一檢測)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22及求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用兩角和的余弦公式求cos(2)解:(1)因為sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因為cossinsin，所以cos2cos212

6、×1.【答案】(1)D(2)C(3)因為是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2××.因為，sin ，所以cos ，cos 22cos2 12×1，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin ××.直接應(yīng)用二倍角公式求值的三種類型(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2)(2)sin (或cos )cos 212sin2 (或2cos2 1)(3)sin (或cos )再練一題2(1)已知，sin ，則sin 2_，cos 2_，tan 2_(2)已知sinsi

7、n，且，求tan 4的值解:(1)因為，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2××，cos 212sin2 12×，tan 2.【答案】(2)因為sinsincos，則已知條件可化為sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因為，所以2(，2)，從而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式證明求證：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.(1)可考慮從左向右證的思路：先把左邊降冪擴角，再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式(2)證法一：從左向右：切化弦降冪

8、擴角化為右邊形式；證法二：從右向左：利用余弦二倍角公式升冪后向左邊形式轉(zhuǎn)化解:(1)左邊(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右邊，等式成立(2)法一：左邊cos2cos2sin2cos 2右邊法二：右邊cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左邊證明問題的原則及一般步驟：(1)觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式，一般是從復(fù)雜到簡單，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想(2)證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異，然后本著“復(fù)角化單角”、“異名化同名”、“變

9、量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達到證明的目的再練一題3 證明：tan . 證明:左邊tan 右邊所以tan 成立倍角公式的靈活運用探究1在化簡時，如何靈活使用倍角公式？【提示】在化簡時，如果只是從的關(guān)系去整理，化簡可能感覺無從下手，但如果將看成的倍角，可能會有另一種思路，原式.探究2如何求函數(shù)f(x)2cos2x12·sin xcos x(xR)的最小正周期？【提示】求函數(shù)f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)×(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期為.求函數(shù)f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，

10、并求其單調(diào)減區(qū)間解:f(x)5··2sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2x，sin，所以當2x，即x時，f(x)取最小值為32.因為ysin在上單調(diào)遞增，所以f(x)在上單調(diào)遞減本題考查二倍角公式，輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)解決這類問題經(jīng)常是先利用公式將函數(shù)表達式化成形如yAsin(x)的形式，再利用函數(shù)圖象解決問題再練一題4求函數(shù)ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間解:ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2si

11、n xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.構(gòu)建·體系1sin 22°30·cos 22°30的值為()ABCD解:原式sin 45°.【答案】B2已知sin x，則cos 2x的值為()ABCD解:因為sin x，所以cos 2x12sin2 x12×.【答案】A3.的值為()ABCD解:原式cos2sin2cos .【答案】D4已知tan ，則_解:tan .【答案】5求下列各式的值：(1)cos cos ；(2)cos2

12、.解:(1)原式.(2)原式cos .學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達標一、選擇題1若sin 3cos ，則()A2B3C4D6解:6.【答案】D2(2016·鐵嶺高一檢測)已知sin ，則cos(2)()ABCD解:因為sin ，所以cos(2)cos 2(12sin2 )12×.【答案】B3若，則tan 2()ABCD解:因為，整理得tan 3，所以tan 2.【答案】B4(2016·沈陽高一檢測)若sin x·tan x<0，則等于()Acos xBcos xCsin xDsin x解:因為sin x·tan x<0，所以x為第二、三象限角

13、，所以cos x<0，所以|cos x|cos x.【答案】B5已知，則sin 2x()ABCD解:，cos xsin x，1sin 2x，sin 2x.【答案】A二、填空題6(2016·廣州高一檢測)已知sin，則sin 2x的值等于_. 解:法一：sin，cos12sin212×，sin 2xcos.法二：由sin，得(sin xcos x)，sin xcos x，兩邊平方得1sin 2x，sin 2x.【答案】7已知sin 2，則cos sin _.解:因為，所以sin >cos 即cos sin <0，又sin 2，則有cos sin .【答案】三、解答題8化簡：tan 70°cos 10°(tan 20°1)解:原式·cos 10°··cos 10°··cos 10°··1.9求證：(1)4；(2)4.證明:(1)左邊4右邊所以原等式成立(2)左邊4右邊所以原等式成立能力提升1(2016·牡丹江一中期末)已知，均為銳角，且3sin 2sin ，3cos 2cos 3，則2的值為()ABCD解:由題意得22得cos ，cos ，由，均為銳角知