二次函數復習 自己整理

1、二次函數復習提綱一、二次函數的概念和圖像 1、二次函數的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數，叫做二次函數的一般式。2、二次函數的圖像：二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函數的圖象如圖，則一次函數的圖象經過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限二、二次函數的解析式（1）二次函數有四種表達形式二次一項式型：形如y=ax2（

2、a是常數，且a0），x取任意實數。二次二項式型：形如y=ax2+bx（a是常數，且a0，b是常數，b0），x取任意實數。二次二項式型：形如y=ax2+c（a是常數，且a0，c是常數，c0），x取任意實數。二次三項式型：形如y=ax2+bx +c（a是常數，且a0，b是常數，b0，c是常數，c0），x取任意實數。（2）不論是哪一種表示形式，都必須規(guī)定a0，否則，就沒有了二次項，二次函數就沒有意義了。（3）二次函數解析式的三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）交點式：（a0）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式（a0）。如果

3、沒有交點，則不能這樣表示。例:（2012泰安）將拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ）ABCD三、二次函數的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。四、二次函數的性質 1、二次函數的性質函數二次函數圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口

4、向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數中，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上，<0時，拋物線開口向下與對稱軸有關：對稱軸為x

5、=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）例2（2012煙臺）已知二次函數y=2（x3）2+1下列說法：其圖象的開口向下；其圖象的對稱軸為直線x=3；其圖象頂點坐標為（3，1）；當x3時，y隨x的增大而減小則其中說法正確的有（ ） A1個B2個C3個D4個例3（2012德陽）設二次函數y=x2+bx+c，當x1時，總有y0，當1x3時，總有y0，那么c的取值范圍是（） A c=3 B c3 C1c3 D c3五、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二

6、次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交

7、點坐標.拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根. 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：例1（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數是（ ） A2B3C4D5例2：（2012泰安）二次函數的圖象如圖，若一元二次方程有實數根，則 的最大值為（ ） A

8、B3 C D9六、確定二次函數關系式的基本題型1二次函數關系式設為：y=ax2（a0）例1、 有一座拋物線形拱橋，正常水位時，AB寬為20米，水位上升3米就達到警戒水位線CD，這時水面的寬度為10米。請你在如圖1所示的平面直角坐標系中，求出二次函數的解析式。2二次函數關系式設為：y=ax2+bx（a0）例2、（2008年巴中市）王強在一次高爾夫球的練習中，在某處擊球，其飛行路線滿足拋物線，其中（m）是球的飛行高度，（m）是球飛出的水平距離，結果球離球洞的水平距離還有2m，如圖2所示。（1）請寫出拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸（2）請求出球飛行的最大水平距離（3）若王強再一次從此處擊球，要想

9、讓球飛行的最大高度不變且球剛好進洞，則球飛行路線應滿足怎樣的拋物線，求出其解析式3二次函數關系式設為：y=ax2+c（a0）例3、桂林紅橋位于桃花江上，是桂林兩江四湖的一道亮麗的風景線，該橋的部分橫截面如圖3所示，上方可看作是一個經過、三點的拋物線，以橋面的水平線為軸，經過拋物線的頂點與軸垂直的直線為軸，建立直角坐標系，已知此橋垂直于橋面的相鄰兩柱之間距離為米（圖中用線段、等表示橋柱）米，米（1）求經過、三點的拋物線的解析式。（2）求柱子的高度。4二次函數關系式設為：y=a(x-h)2（a0）例4、在直角坐標平面內，二次函數圖象的頂點為A（1，0），且過點B（3，4）求該二次函數的解析式。5.

10、二次函數關系式設為：y=a(x-h)2+k(a0）例5、在直角坐標平面內，二次函數圖象的頂點為A（1，-4），且過點B（3，0）求該二次函數的解析式。七 二次函數壓軸題?？脊?、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為2，二次函數圖象的平移圖象平移示意圖一般地，平移二次函數y=ax2的圖象便可得到二次函數y=a（x- h）2+k的圖象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移圖象的平移方法1、用

11、配方法將二次函數y=ax2+bx+c轉化成y=a（x- h）2+k的形式 即y=ax2bxc 圖1y=ax2x y O y= a（x）2y= a（x）2+= a（x2x）= a x22×x（）2（）2= a（x）22、圖象的平移的方向和大小根據的正（負）將其圖象向左（右）平移|個單位；再根據的正（負）將其圖象向上（下）平移|個單位，即可得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象，如圖1所示平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”特別記憶-同左上加 異右下減 (必須理解記憶)說明： 函數中ab值同號，圖像頂點在y軸左側同左，a b值異號，圖像頂點必在Y軸右側異右。

12、向左向上移動為加左上加，向右向下移動為減右下減。3.直線斜率： ， b為直線在y軸上的截距。4、直線方程：兩點 由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩式: 此公式有多種變形 牢記點斜 斜截 直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)截距 由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：5、設兩條直線分別為，： ： 若，則有且。 若6， 點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: 7，拋物線中， a b c,的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（

13、即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側. 口訣 - 同左 異右 （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經過原點; ,與軸交于正半軸； ,與軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .例1（2012樂山）二次函數y=ax2+bx+1（a0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（1，0）設t=a+b+1，則t值的變化范圍是（）A0t1B0t2C1t2D1t1例2：（2012潛江）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（1，0），（3，0）對于下列命題：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正確的有（）A3個B2個C1個D0個例3：（2012菏澤）如圖，在平面直角坐標系