新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①函數(shù)與方程精講

1、第20講 § 方程的根與函數(shù)的零點¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系；掌握零點存在的判定條件.¤知識要點：1. 對于函數(shù)，能使的實數(shù)叫作函數(shù)的零點，函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo).2. 函數(shù)零點存在結(jié)論：若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.¤例題精講：【例1】函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)解：易知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù). ，. ，即函數(shù)的

2、零點在區(qū)間(2,3). 所以選B.【例2】利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：（1）； （2）.解：（1）易知函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).用計算器或計算機作出的對應(yīng)值表或圖象.-3-2-10123341341-2-11-32由列表或圖象可知，即，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且僅有一個. 所以函數(shù)的零點所在大致區(qū)間為.（2）易知函數(shù)在定義域R上是增函數(shù). 用圖形計算器或計算機作出圖象. 由圖象可知，即，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且僅有一個. 所以函數(shù)的零點所在大致區(qū)間為.【例3】求證方程在內(nèi)必有一個實數(shù)根.證明：設(shè)函數(shù). 由函數(shù)的單調(diào)性定義，可以證出函數(shù)在是減函數(shù).而，即，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有

3、零點，且只有一個. 所以方程在內(nèi)必有一個實數(shù)根.點評：等價轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)解題中處理問題的一種重要思想，它是將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，每個問題的求解過程正是這樣一種逐步的轉(zhuǎn)化. 此題可變式為研究方程的實根個數(shù).【例4】（1）若方程在內(nèi)恰有一解,則實數(shù)的取值范圍是 .（2）已知函數(shù)，若在上存在，使，則實數(shù)m的取值范圍是 .解：（1）設(shè)函數(shù)，由題意可知，函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點. ， 解得. （2）在上存在，使， 則， ，解得. 所以， 實數(shù)m的取值范圍是.點評：根的分布問題，實質(zhì)就是函數(shù)零點所在區(qū)間的討論，需要逆用零點存在性定理，轉(zhuǎn)化得到有關(guān)參數(shù)的不等式第20練 § 方程的根與函數(shù)的零

4、點基礎(chǔ)達標(biāo)1函數(shù)的零點個數(shù)（ C ）. A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 不能確定2若函數(shù)在內(nèi)恰有一解，則實數(shù)的取值范圍是（ B ）. A. B. C. D. 3函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ C ） A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）4方程lgxx0在下列的哪個區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解（ B ）. A. -10，-0.1 B. C. D. 5函數(shù)的圖象是在R上連續(xù)不斷的曲線，且，則在區(qū)間上（ D ）. A. 沒有零點 B. 有2個零點 C. 零點個數(shù)偶數(shù)個 D. 零點個數(shù)為k，6函數(shù)的零點是 . 2或37函數(shù)零點的個數(shù)為 . 3能力提高8已知函數(shù)圖象是連續(xù)的，有如下

5、表格，判斷函數(shù)在哪幾個區(qū)間上有零點.x21.510.500.511.52 f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89答案：在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）內(nèi)有零點.9已知二次方程的兩個根分別屬于(-1,0)和(0,2),求的取值范圍.解：設(shè)=，則=0的兩個根分別屬于(-1,0)和(1,2).所以，即， 探究創(chuàng)新10已知：（1）為何值時，函數(shù)的圖象與軸有兩個零點；（2）如果函數(shù)兩個零點在原點左右兩側(cè)，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），解得且.（2）或. 解得第21講 § 用二分法求方程的近似解¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：根據(jù)具體函數(shù)的圖像，

6、能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法. 通過用二分法求方程的近似解，使學(xué)生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識. ¤知識要點：給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下： A確定區(qū)間，驗證，給定精度； B. 求區(qū)間的中點；C. 計算： 若，則就是函數(shù)的零點； 若，則令（此時零點）； 若，則令（此時零點）；D. 判斷是否達到精度；即若，則得到零點零點值a（或b）；否則重復(fù)步驟BD¤例題精講：【例1】借助計算器，方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的根是 （精確到0.1）解：令，則， 又 ， 在區(qū)間2.1875,2.2

7、5內(nèi)有零點，且2.25-2.1875=0.0625<0.1，所以，取近似值2.2為方程的根【例2】借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內(nèi)的近似解（精確到0.1）.解：原方程即. 令，用計算器做出如下對應(yīng)值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974觀察上表，可知零點在（1，2）內(nèi). 取區(qū)間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內(nèi)； 再取區(qū)間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1.25，1.5）內(nèi)；同理取區(qū)間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內(nèi).由于區(qū)間（1.25，1.375）內(nèi)任一值，精確到0.1后都是1.3

8、. 故結(jié)果是1.3.【例3】證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解（精確到0.1）.證明：設(shè)函數(shù). ， 又是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間1,2有唯一的零點，則方程在區(qū)間1,2有唯一一個實數(shù)解.設(shè)該解為，取， .取， .取， .取， . ， 可取，則方程的實數(shù)解為.點評：用二分法求方程實數(shù)解的思想是非常簡明的，但是為了提高解的精確度，用二分法求方程實數(shù)解的過程又是較長的，有些計算不用計算工具甚至無法實施，所以需要借助科學(xué)計算器.【例4】有一塊邊長為30cm的正方形鐵皮,將其四個角各截去一個邊長為的小正方形,然后折成一個無蓋的盒子，如果要做成一個容積是1200的無蓋盒子，那么截去的小正方形的

9、邊長是多少(精確到0.1)?解：盒子的體積和以為自變量的函數(shù)解析式為，.由容積是1200，則，下面求二分法來求方程在(0,15)內(nèi)的近似解.令借助計算機畫出函數(shù)圖象.由圖象可以看到,函數(shù)分別在區(qū)間(1,2)和(9,10)內(nèi)各有一個零點,即方程分別在區(qū)間(1,2)和(9,10)內(nèi)各有一個解.取區(qū)間(1,2)的中點,用計算器算得.因為,所以.同理可得,. 由于，此時區(qū)間的兩個端點精確至0.1的近似值都是,所以方程在區(qū)間內(nèi)精確到的近似解為. 同理可得方程在區(qū)間內(nèi)精確到的解為.所以，如果要做成一個容積是無蓋盒子時,截去的小正方形的邊長大約是.點評：用二分法求解實際問題中最關(guān)鍵的一步是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

10、學(xué)模型.也需借助計算工具.第21練 § 用二分法求方程的近似解基礎(chǔ)達標(biāo)1函數(shù)的實數(shù)解落在的區(qū)間是（ B ）. A. 0，1 B. 1，2 C. 2，3 D. 3，42設(shè), 用二分法求方程內(nèi)近似解的過程中, 計算得到 則方程的根落在區(qū)間（ B ）. A.（1,1.25） B.（1.25,1.5） C.（1.5,2） D.不能確定3如圖所示，每個函數(shù)圖象都有零點，但不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（ C ） 4（07年山東卷.文11）設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間是（ B ）. A. B. C. D. 5已知函數(shù)的一個零點，在用二分法求精確度為0.01的的一個值時，判斷各區(qū)間中點的函

11、數(shù)值的符號最多（ C ）. A. 5次 B. 6次 C. 7次 D. 8次6用“二分法”求方程在區(qū)間2，3內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為，那么下一個有根的區(qū)間是 . 2，2.57舉出一個方程，但不能用“二分法”求出它的近似解 . 能力提高8已知，求證此函數(shù)有且僅有一個零點，并求此零點的近似值（精確到0.1）.解：易知函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).，即，說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，且僅有一個.設(shè)零點為，取， .取， .取， .取， . ， 可取，則函數(shù)的零點為1.6.9某電器公司生產(chǎn)A種型號的家庭電腦. 1996年平均每臺電腦的成本5000元，并以純利潤2%標(biāo)定出廠價. 1997年開始，公司更新設(shè)備、加強管理，

12、逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低. 2000年平均每臺電腦出廠價僅是1996年出廠價的80%，但卻實現(xiàn)了純利潤50%的高效率.（1）求2000年的每臺電腦成本； （2）以1996年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用“二分法”求1996年至2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分率（精確到0.01）. 解：（1）設(shè)2000年每臺電腦的成本為p元，則，解得p=3200元.（2）設(shè)1996年至2000年平均每年降低的百分率為x，根據(jù)題意得.令，作出對應(yīng)值表：x00.150.30.450.60.750.91.05f(x)1800590200027423072318032003200觀察上表，可知零點在（0，0.1

13、5）內(nèi)，取其中點為=0.075，且，oxy2個再取區(qū)間（0.075，0.15）的中點，=0.1125，且，同理可取區(qū)間（0.075，0.1125），中點=0.103125，且，依此類推（0.103125，0.1125），（0.103125，0.1078125），（0.10546875，0.1078125）內(nèi)有零點.（0.10546875，0.1078125）內(nèi)任一值的滿足精確度0.01，且近似解為0.11.探究創(chuàng)新10已知函數(shù). （1）如果函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）借助計算器，畫出函數(shù)的圖象； （3）求出函數(shù)的零點（精確到0.1）. （1） ；（2）圖象如右圖；（3）零點為（過程略）.第22

14、講 § 幾類不同增長的函數(shù)模型（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 體驗指數(shù)函數(shù)等與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.¤知識要點：1比較：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的增長差異.2平均增長率的問題：可以用公式表示. 人口問題的應(yīng)用模型，還可探究英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯提出的自然狀態(tài)下的人口增長模型.¤例題精講：【例1】光線通過一塊玻璃,其強度要損失,把幾塊這樣的玻璃重疊起來,設(shè)光線原來的強度為,通過塊玻璃后強度為.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系

15、式；（2）通過多少塊玻璃后，光線強度減弱到原來的以下? ( 解：（1） （2） .【例2】1995年我國人口總數(shù)是12億，如果人口的年自然增長率控制在1.25，問哪一年我國人口總數(shù)將超過14億？解：設(shè)x年后人口總數(shù)超過14億. 由題意得 ，即 . 兩邊取常用對數(shù)，得. . 所以，13年后，即2008年我們?nèi)丝诳倲?shù)超過14億.【例3】某公司擬投資100萬元，有兩種獲利的可能提供選擇：一種是年利率10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率9%，按每年復(fù)利計算，5年后收回本金和利息，哪一種投資更有利？5年后，這種有利的投資比另一種投資可多得利息多少元？解： 100萬元，按單利計算，年利

16、率10%，5年后的本利和為 （萬元）.100萬元，按復(fù)利計算，年利率9%，5年后的本利和為 （萬元）.由此可見，按年利率9%的復(fù)利計算投資，要比年利率10%的單利計算投資更有利，5年后可多的利息3.86萬元.點評：利率問題考察的函數(shù)模型是一次函數(shù)和冪函數(shù)，要理解“單利”和“復(fù)利”的實際意義.【例4】某中學(xué)的研究性學(xué)習(xí)小組為考察一個小島的濕地開發(fā)情況，從某碼頭乘汽艇出發(fā)，沿直線方向勻速開往該島，靠近島時，繞小島環(huán)行兩周后，把汽艇停靠岸邊上岸考察，然后又乘汽艇沿原航線提速返回. 設(shè)t為出發(fā)后的某一時刻，S為汽艇與碼頭在時刻t的距離，下列圖象中能大致表示的函數(shù)關(guān)系的為（ C ）.解：當(dāng)汽艇沿直線方向

17、勻速開往該島時，圖象為一條線段；當(dāng)環(huán)島兩周時，S兩次增至最大，并減少到與環(huán)島前的距離；上島考察時，；返回時，圖象為一條線段. 所以選C.點評：根據(jù)實踐問題中變量的實際意義，尋找它們之間的大概函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)關(guān)系式確定所要選擇的圖象.此題的關(guān)鍵是分析各段行程，找出汽艇到島的距離S與時間t的簡明關(guān)系.第22練 § 幾類不同增長的函數(shù)模型（一）基礎(chǔ)達標(biāo)1,當(dāng)時,三個函數(shù)增長速度比較,下列選項中正確的是（ B ）. A. >> B. >> C. >> D. >> 2如圖,能使不等式成立的自變量的取值范圍是（ D ）. A. B. C. D. 3

18、某林場計劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20，則第四年造林（ C ）. A. 14400畝 B. 172800畝 C. 17280畝 D. 20736畝4某山區(qū)加強環(huán)境保護，綠色植被的面積每年都比上一年增長10.4%，那么，經(jīng)過x年，綠色植被面積可增長為原來的y倍，則函數(shù)的大致圖象為（ D ）5某人2003年1月1日到銀行存入一年期存款a元，若按年利率為x，并按復(fù)利計算，到2008年1月1日可取回款（A ）. A. a(1+x)5元 B. a(1+x)6元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元6老師今年用7200元買一臺筆記本. 電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機成本不斷降低

19、，每隔一年計算機的價格降低三分之一. 三年后老師這臺筆記本還值 . 7某商品降價10%后，欲恢復(fù)原價，則應(yīng)提價的百分?jǐn)?shù)是 . 能力提高8某人有資金2000元，擬投入在復(fù)利方式下年報酬為8%的投資項目，大約經(jīng)過多少年后能使現(xiàn)有資金翻一番？（下列數(shù)據(jù)供參考：lg2=0.3010，lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）. 解：設(shè)經(jīng)過x年后能使現(xiàn)有資金翻一番，則，即.兩邊取對數(shù)，有. 所以，經(jīng)過10年后才能使現(xiàn)有資金翻一番.9 家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層. 臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量. （1）隨時間的增加，臭氧

20、的含量是增加還是減少？ （2）多少年以后將會有一半的臭氧消失？解：（1） ， 為減函數(shù). 隨時間的增加，臭氧的含量是減少.（2）設(shè)x年以后將會有一半的臭氧消失，則，即， 兩邊去自然對數(shù)，解得. 287年以后將會有一半的臭氧消失.探究創(chuàng)新10袁隆平中國雜交水稻之父.他帶領(lǐng)的雜交水稻研究小組經(jīng)過30多年的不懈研究，于1973年使水稻畝產(chǎn)達到623千克，畝產(chǎn)比一般常規(guī)水稻增產(chǎn)20左右，2000年畝產(chǎn)達到700千克，2004年畝產(chǎn)又達到800千克. （1）根據(jù)這樣的研究速度，你能猜想中國于2010年雜交水稻的畝產(chǎn)為多少千克？為什么？（2）根據(jù)你的推算，2010年我國雜交水稻的畝產(chǎn)比1973年常規(guī)水稻的

21、畝產(chǎn)增長率為多少？第23講 § 幾類不同增長的函數(shù)模型（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 體驗二次函數(shù)函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.¤知識要點：1. 模型優(yōu)選：解答數(shù)學(xué)建模等應(yīng)用問題時，往往并不確定所給出的數(shù)學(xué)模型，需要我們根據(jù)所得的數(shù)據(jù)，分析出其數(shù)字特征，選用適合的函數(shù)模型來解決實際問題.2. 二次函數(shù)：應(yīng)用二次函數(shù)的有關(guān)知識，可解決生產(chǎn)、生活實際中的最大（?。┲档膯栴}. 解答時需遵循的基本步驟是：（1）反復(fù)閱讀理解，認真審清題意；（2）依據(jù)數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)方法，求解數(shù)

22、學(xué)問題；（4）檢驗所得結(jié)果，譯成實際答案. 關(guān)鍵之處是第2步正確得到二次函數(shù)的模型，然后才能在第3步中利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.¤例題精講：【例1】有甲、乙兩種商品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤依次是p萬元和q萬元，它們與投入的資金x萬元的關(guān)系有經(jīng)驗公式：p=x，q=. 現(xiàn)有資金9萬元投入經(jīng)銷甲、乙兩種商品，為了獲取最大利潤，問：對甲、乙兩種商品的資金分別投入多少萬元能獲取最大利潤？解：設(shè)對乙商品投入x萬元，則對甲商品投入9x萬元. 設(shè)利潤為y萬元，. y=， 當(dāng)=2,即x=4時，ymax=1.3.所以，投入甲商品5萬元，乙商品4萬元時，能獲得最大利潤1.3萬元.【例2】某商店按每

23、件80元的價格，購進時令商品（賣不出去的商品將成為廢品）1000件；市場調(diào)研推知：當(dāng)每件售價為100元時，恰好全部售完；當(dāng)售價每提高1元時，銷售量就減少5件；為獲得最大利潤，商店決定提高售價x元，請將獲得總利潤y元表示為x的函數(shù)，并確定合理售價，求出最大利潤. 解：設(shè)比100元的售價高元，總利潤為元；則. 顯然，當(dāng)即售價定為150元時，利潤最大；其最大利潤為32500元.【例3】某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線. （1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t)；（2）據(jù)進一步測定：每

24、毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效.求服藥一次治療疾病有效的時間？解：（1）當(dāng)0t1時，y=4t；當(dāng)t1時，此時在曲線上， ，這時. 所以.（2） ， 解得 ， . 服藥一次治療疾病有效的時間為個小時. 點評：生活中有許多實際問題，常作為函數(shù)模型的應(yīng)用背景. 我們需依據(jù)四步曲“讀題理解建模轉(zhuǎn)化求解問題檢驗作答”求解，從冗長的文字語言中精煉出數(shù)學(xué)語言，選擇合適的數(shù)學(xué)模型來研究. 【例4】某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中注水60噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，小時內(nèi)供水總量為噸，（）.從供水開始到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸? 解

25、：設(shè)小時后蓄水池中的水量為噸，則.令，則，即. 當(dāng)，即時，所以，從供水開始到第6小時時，蓄水池水量最少，只有40噸. 點評：運用二次函數(shù)的模型，常解決一些最大（?。┲档膯栴}，對生產(chǎn)生活等問題進行優(yōu)化.第23練 § 幾類不同增長的函數(shù)模型（二）基礎(chǔ)達標(biāo)1某工廠生產(chǎn)總值月平均增長率為p，則年平均增長率為（ A ）. A. p B. 12p C. (1+p)12 D. (1+p)1212某種放射性元素，100年后只剩原來質(zhì)量的一半，現(xiàn)有這種元素1克，3年后剩下（ D ）. A. 克 B. (10.5%)3克 C. 0.925克 D. 克31980年我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為a億元，到2000年工農(nóng)

26、業(yè)總產(chǎn)值實現(xiàn)翻兩番的戰(zhàn)略目標(biāo)，年平均增長率至少達到（ A ）. A. 1 B. 1 C. 1 D. 14某商品2002年零售價比2001年上漲25，欲控制2003年比2001年只上漲10，則2003年應(yīng)比2002年降價（ B ）. A. 15 B. 12 C. 10 D. 85向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是（ B ）. 6計算機成本不斷降低,若每隔三年計算機價格降低，則現(xiàn)在價格為8100元的計算機9年后價格可降為 2400 元. 7某商人將彩電先按原價提高40%，然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺彩電比原價多賺144元，那么每臺彩電原價

27、是 1200 元.能力提高8某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個.為適應(yīng)市場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本，若每個蛋糕成本增加的百分率為x(0<x<1)，則每個蛋糕的出廠價相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時預(yù)計日銷售量增加的百分率為0.8x，已知日利潤=（出廠價成本）×日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利為y. （1）寫出y與x的關(guān)系式； （2）為使日利潤最大，問x應(yīng)取何值？.解：（1）由題意（2）要保證日利潤最大，則當(dāng)且僅當(dāng)時.9某市的一家報刊攤點，從報社買進晚報的價格是每份0.20元，賣出價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以

28、每份0.05元價格退回報社在一個月（以30天計）里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？ .解：設(shè)攤主每天從報社買進x份，顯然當(dāng)x250，400時，每月所獲利潤才能最大于是每月所獲利潤y為 y =20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·（x-250）-30·0.20x=0.5x+625，x250，400因函數(shù)y在250，400上為增函數(shù)，故當(dāng)x = 400時，y有最大值825

29、元.探究創(chuàng)新10（2007年上海卷.文理18）近年來，太陽能技術(shù)運用的步伐日益加快2002年全球太陽電池的年生產(chǎn)量達到670兆瓦，年生產(chǎn)量的增長率為34%以后四年中，年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%） （1）求2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量（結(jié)果精確到0.1兆瓦）； （2）目前太陽電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠小于生產(chǎn)量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產(chǎn)量基本持平（即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達到多少（結(jié)

30、果精確到0.1%）？解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太陽電池的年生產(chǎn)量的增長率依次為，則2006年全球太陽電池的年生產(chǎn)量為(兆瓦)（2）設(shè)太陽電池的年安裝量的平均增長率為，則，解得 因此，這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達到第24講 § 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 體會解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程，進一步加深對這些函數(shù)的理解與應(yīng)用.¤知識要點：1. 分段函數(shù)模型：結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)實際情況，正確得到分段函數(shù)模

31、型，并合理選用某段解析式和數(shù)學(xué)方法來解決實際問題.2. 常見的指數(shù)型函數(shù)模型如下：（1）放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型為：，其中t表示經(jīng)過的時間，表示初始質(zhì)量，衰減后的質(zhì)量為m，為正的常數(shù).（2）1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766-1834）提出自然狀態(tài)下的人口增長模型：，其中t表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.（教材P115例4）（3）英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓（Issac Newton，1643-1727年）曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：，其中t表示經(jīng)過的時間，表示物體的初始溫度，表示環(huán)境穩(wěn)定，k為正的常數(shù). （教材P123 實習(xí)

32、作業(yè)）¤例題精講：【例1】1650年世界人口為5億，當(dāng)時的年增長率為3，用指數(shù)增長模型計算什么時候世界人口達到10億（實際上1850年前已超過10億）. 1970年世界人口為36億，年增長率為2.1，用指數(shù)增長模型預(yù)測什么時候世界人口會翻一番？解：由1650年世界人口數(shù)據(jù)，把，代入馬爾薩斯人口模型，得.解不等式，得所以，由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過231年后，即1881年世界人口達到10億.由1970年世界人口數(shù)據(jù)，把，代入馬爾薩斯人口模型，得.解不等式，得.所以，由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過330年后，即2300年世界人口達到72億.【例2】“依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”. 國家

33、征收個人所得稅是分段計算,總收入不超過800元,免征個人所得稅，超過800元部分需征稅. 設(shè)全月納稅所得額為x，x=全月總收入800元，稅率見下表：級 數(shù)全月納稅所得額稅 率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10%3超過2000元至5000元部分15%9超過10000元部分45%（1）若應(yīng)納稅額為f（x），試用分段函數(shù)表示13級納稅額f（x）的計算公式；（2）某人2005年10月總收入3000元，試求該人此月份應(yīng)繳納個人所得稅多少元；（3）某人一月份應(yīng)繳納此項稅款26.78元，則他當(dāng)月工資總收入介于A.800900元B.9001200元 C.12001500元D.15002

34、800元解：（1）依稅率表，有：第一段：x·5%，0x500； 第二段：（x500）×10%+500×5%，500x2000； 第三段：（x2000）×15%+1500×10%+500×5%，2000x5000，即f（x）= .（2）這個人10月份應(yīng)納稅所得額x=3000800=2200，f（2200）=0.15×（22002000）+175=205.所以，這個人10月份應(yīng)繳納個人所得稅205元.（3）解法一：（估算法）由500×5%=25元，100×10%=10元，故某人當(dāng)月工資應(yīng)在13001400元之

35、間，故選C.解法二：（逆推驗證法）設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為400×5%=20（元），500×5%+200×10%=45（元）.可排除A、B、D，故選C.點評：關(guān)系國民經(jīng)濟發(fā)展的納稅問題，與分段函數(shù)密切相關(guān)，我們需注意各級稅率的正確理解，超過部分按此稅率，并非一個稅率來計算納稅.第24練 § 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例（一）基礎(chǔ)達標(biāo)1在本埠投寄平信，每封信不超過20g時付郵資0.80元，超過20g而不超過40g付郵資1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵資0.80元（信重在100g以內(nèi)）如果某人所寄一封信的質(zhì)量為82.5g，那

36、么他應(yīng)付郵資 （ D ）. A. 2.4元 B. 2.8元 C. 3.2元 D. 4元2甲、乙兩人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到中點改為跑步，而乙則是先跑步，到中點后改為騎自行車，最后兩人同時到達B地，已知甲騎自行車比乙騎自行車快，若每人離開甲地的距離s與所用時間t的函數(shù)用圖象表示，則甲、乙兩人的圖像分別是（ B ）. A. 甲是(1), 乙是(2) B. 甲是(1), 乙是(4) C. 甲是(3), 乙是(2) D. 甲是(3), 乙是(4)3將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線. 假設(shè)過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有，則m的

37、值為（ D ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 104由甲城市到乙城市t分鐘的電話費由函數(shù)g(t)=1.06×(0.75t+1)給出，其中t>0，t表示大于或等于t的最小整數(shù)，則從甲城市到乙城市5.5分鐘的電話費為（ A ）. A. 5.83元 B. 5.25元 C. 5.56元 D. 5.04元5已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，汽車離開A地的距離x表示為時間t（小時）的函數(shù)式是（ D ）. A. x=60t B. x=60t+50t C. x= D. x=6在國內(nèi)投寄平信，每

38、封信不超過20克重付郵資80分，超過節(jié)20克重而不超過40克重付郵資160分，將每封信的應(yīng)付郵資(分)表示為信重克的函數(shù)，其表達式為 . 7已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少4.24，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為 . 能力提高8某冬晨，警局接到報案，在街頭發(fā)現(xiàn)一位流浪者的尸體，早上六點測量其體溫13，到早上七點時，其體溫下降到11. 若假設(shè)室外溫度約維持在10，且人體正常體溫為37，運用牛頓冷卻模型可以判定流浪漢已死亡多久？解：設(shè)流浪漢在早上時刻死亡，根據(jù)牛頓冷卻模型，有，即，則，解得.所以可以判定在早上4點死亡，已死亡2個小時.9某廠生產(chǎn)一種機器的固定成本（即固定投入

39、）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元，市場對此產(chǎn)品的年需求量為500臺，銷售收入函數(shù)為（萬元）（0x5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）. （1）把利潤L(x)表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)； （2）年產(chǎn)量是多少時，工廠所得的利潤最大?解：（1）當(dāng)年產(chǎn)量x5（百臺）時，產(chǎn)品能全部售出，其利潤為. 當(dāng)x>5（百臺）時，只能售出5百臺時，此時利潤為.所以，利潤.（2）當(dāng)年產(chǎn)量x5（百臺）時，即當(dāng)（百臺），取最大值（萬元）.當(dāng)x>5（百臺）時，利潤為減函數(shù).所以，年產(chǎn)量是475臺時，工廠所得的利潤最大.探究創(chuàng)新10通過研究學(xué)生的行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的

40、接受能力依賴于教師引入概念和描述問題所用的時間. 講座開始時，學(xué)生的興趣急增；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣開始分散. 分析結(jié)果和實驗表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時間（單位分）可以使用公式：. （1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強？能持續(xù)多長時間？ （2）一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘時間，教師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？ （3）如果每隔5分鐘測量一下學(xué)生的接受能力，在計算平均值，它能高于45嗎？解：（1）當(dāng)時，=，故其遞增，最大值為，顯然在上，遞減，因此開講后10分鐘達

41、到最強的接受狀態(tài)，并維持6分鐘.（2）當(dāng)時，令，得；當(dāng)時，令，得；因此學(xué)生達到55的接受能力的時間為，教師來不及在學(xué)生達到最佳接受狀態(tài)時就結(jié)束講授.（3）計算得，達不到45. 第25講 § 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 體會解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程，進一步加深對這些函數(shù)的理解與應(yīng)用.¤知識要點：1. 圖表分析：從給出的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找存在的數(shù)學(xué)模型，并用之解決實際問題.2. 函數(shù)圖象：把實際中存在的規(guī)律用圖象直觀形象的表示出來，通過圖象來求解函數(shù)模型.¤例題

42、精講：【例1】某商場經(jīng)銷一批進貨單價為40元的商品,銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表：銷售單價/元50515253545556日均銷售量/個48464442403836為了獲取最大利潤，售價定為多少時較為合理？解：由題可知，銷售單價增加1元，日均銷售量就減少2個. 設(shè)銷售單價定為x元，則每個利潤為（x40）元，日均銷量為個.由于，且，得.則日均銷售利潤為，.易知，當(dāng)，y有最大值. 所以，為了獲取最大利潤，售價定為57元時較為合理.點評：從表格中發(fā)現(xiàn)存在的變化規(guī)律，是課標(biāo)教材中對提價后銷量減少一類應(yīng)用問題相比大綱教材的改進. 這種表格背景更符合實際，規(guī)律都是從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，而不是直接生硬地得到

43、，同時也提高了讀表分析這一數(shù)學(xué)閱讀理解能力.【例2】某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷售天內(nèi)全部售完. 該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系（國內(nèi)外市場相同）. （1）分別寫出國內(nèi)市場的日銷售量、國外市場的日銷售量與第一批產(chǎn)品A的上市時間的關(guān)系式；（2）第一批產(chǎn)品A上市后，求日銷售利潤的解析式.解：（1）當(dāng)時，設(shè)，由解得k=2，則.當(dāng)時，設(shè)，由解得，則.所以

44、，國內(nèi)市場的日銷售量.設(shè)，由解得. 所以，國外市場的日銷售量（）.（2）設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤為，由圖易得，從而這家公司的日銷售利潤的解析式為 . 點評：銷售量由圖象分段給出，設(shè)立各段圖象的解析式，由待定系數(shù)法易求解. 單件利潤也是分段函數(shù). 解題的關(guān)鍵在于合理分段，正確得到日銷售利潤的分段函數(shù)式.第25練 § 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例（二）基礎(chǔ)達標(biāo)1某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，下圖中，縱軸表示離開家的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學(xué)生走法的是（ C ）.2某工廠八年來某種產(chǎn)品年產(chǎn)量C與時間t（年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種

45、說法： 前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越快；前三年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢；三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了；第三年后，年產(chǎn)量保持不變. 其中說法正確的是（ A ）. A. B. C. D. 3某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元水費收費；用水超過10立方米的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為（ A ）. A. 13 立方米 B. 14 立方米 C. 18 立方米 D. 26立方米4有一塊長為20厘米,寬為12厘米的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子. 則盒子的容積V與x的函數(shù)

46、關(guān)系式是（ C ）. A. B. C. D. 5有一塊“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如右圖，欲用此塊地建一座地基為長方形的建筑物，以下四個方案中，哪一種地基面積最大（ A ）. 61999年11月1日起，全國儲蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，即儲蓄利息的20%由各銀行儲蓄點代扣代繳，某人在1999年11月1日存入人民幣1萬元，存期1年，年利率為2.25%，則到期可凈得本金和利息總計 10180 元. 7一個高中研究性學(xué)習(xí)小組對本地區(qū)2000年至2002年快餐公司發(fā)展情況進行了調(diào)查，制成了該地區(qū)快餐公司個數(shù)情況的條形圖和快餐公司盒飯年銷售量的平均數(shù)情況條形圖（如圖），根據(jù)圖中提供的信

47、息可以得出這三年中該地區(qū)每年平均銷售盒飯 85 萬盒. 能力提高月份1234567價格(元/擔(dān))687867717270？8為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品的市場收購價格a與其前三個月的市場收購價格有關(guān)，且使a與其前三個月的市場收購價格之差的平方和最小. 下表列出的是該產(chǎn)品前6個月市場收購價格. 試問7月份該產(chǎn)品的市場收購價格定為多少時較為合理？解：設(shè)市場收購價格a與前三個月的市場收購價格之差的平方和為S，則 =， 當(dāng)a=71時，S取最小值. 所以，7月份該產(chǎn)品的市場收購價格定為71元時較為合理. 9某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的200天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時

48、間的關(guān)系用圖1的一條線段表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線段表示. （注：市場售價和種植成本的單位：元/，時間單位：天）（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？解：（1）由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為 由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為.（2）設(shè)純收益為，由題意得.配方整理得，當(dāng)t50時，最大值100.所以，從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大. 10. 解：（1）當(dāng)時，水費； 當(dāng)時，水費.所以，水費，其中.（2）由于一、二月份的水費都超

49、過14元，所以一、二月份的用水量超過最低限量，三月份的用水量沒有超過最低限量. 則，解得，.探究創(chuàng)新 10探究創(chuàng)新10我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調(diào)控等手段以達到節(jié)約用水的目的. 某市用水收費方法是：水費基本費超額費損耗費. 該市規(guī)定：月份用水量（m3）水費（元）一417二523三11（i）若每月用水量不超過最低限量立方米時，只付基本費9元和每戶每月的定額損耗費元； （ii）若每月用水量超過立方米時，除了付基本費和損耗費外，超過部分每立方米付元的超額費；（iii）每戶每月的損耗費不超過5元. 根據(jù)以上規(guī)定，解決如下問題：（1）求每戶每月水費（元）與月用水量（立方米）的函數(shù)關(guān)系式

50、；（2）該市一家庭去年第一季度每月的用水量和支付的費用如右表所示，試分析一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求、的值. 解：（1）依據(jù)題意每月用水量為x立方米，支付費用y元，則其中（2）第26講 § 函數(shù)模型的應(yīng)用舉例（三）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用. 體會解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程，進一步加深對這些函數(shù)的理解與應(yīng)用.¤知識要點：模型優(yōu)選：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點，通過建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程：收集數(shù)據(jù)畫散點圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗符合實際，用函數(shù)模型解釋實際問題；不符合實際，則重新選

51、擇函數(shù)模型，直到符合實際為止.¤例題精講：【例1】有一批影碟機（VCD），原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售. 甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺，則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售. 某單位需購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費較少？解：設(shè)某單位需要購買臺影碟機，甲、乙兩商場的購貨款的差價為，去甲商場購買共花費，由題意，有，.，即y=（）.當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，若買少于10臺，去乙商場花費較少；若買10臺，去甲、乙商場花費一樣；若買超過1

52、0臺，去甲商場花費較少【例2】某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了以后估計每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù). 用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)（其中為常數(shù)，且）或指數(shù)型函數(shù)（其中為常數(shù)），已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用上述哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由.解：當(dāng)選用的模型時， 解得， .當(dāng)選用的模型時， ，解得， .根據(jù)4月份的實際產(chǎn)量可知，選用作模擬函數(shù)較好.點評：根據(jù)所給出的幾種函數(shù)模型，用待定系數(shù)法確定系數(shù)后，再根據(jù)所求得的函數(shù)解析式檢驗其余的一些數(shù)據(jù)，通過比較誤差的大小而優(yōu)選適合的函數(shù)

53、模型.【例3】我國從1990年至2000年間，國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）（單位：億元）如下表所示：年份19901991199219931994199519961997199819992000生產(chǎn)總值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立能基本反映這一時期國內(nèi)生產(chǎn)總值變化的函數(shù)模型，并利用所建立的函數(shù)模型，預(yù)測2010年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值.解：由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，如右圖所示.根據(jù)散點圖，可以看出大致分布在一條直線附近. 選擇1990年、2000年的數(shù)據(jù)代入，得，解得.所以，近似的函數(shù)模型為.當(dāng)x=2010時，y=160209.6，即預(yù)測2010年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值為160209.6億元.點評：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作散點圖，通過觀察圖象的特征，選用適合的函數(shù)模型，也可以利用計算器或計算機的數(shù)據(jù)擬合功能，作出具體的函數(shù)解析式，再通過所得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題. 本題由兩點近似求得直線，