一階線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組的解法1

1、第四講  常系數(shù)線性微分方程組的解法（4課時(shí)）一、 目的與要求: 理解常系數(shù)線性微分方程組的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的求法.二、重點(diǎn)：常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的求法.三、難點(diǎn)：常系數(shù)線性微分方程組的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問式相結(jié)合教學(xué)法.五、教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合.六、教學(xué)過程：1 新課引入由定理3.6我們已知道，求線性齊次方程組(3.8)的通解問題，歸結(jié)到求其基本解組. 但是對(duì)于一般的方程組(3.8)，如何求出基本解組，至今尚無(wú)一般方法. 然而對(duì)于常

2、系數(shù)線性齊次方程組                                                 (3.20)其中是實(shí)常數(shù)矩陣，借助

3、于線性代數(shù)中的約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型理論或矩陣指數(shù)，可以使這一問題得到徹底解決. 本節(jié)將介紹前一種方法，因?yàn)樗容^直觀.由線性代數(shù)知識(shí)可知，對(duì)于任一矩陣，恒存在非奇異的矩陣，使矩陣成為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型. 為此，對(duì)方程組(3.20)引入非奇異線性變換      (3.21)其中 ,將方程組(3.20)化為                     

4、60;                     (3.22)我們知道，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式與矩陣A的特征方程的根的情況有關(guān). 上述方程也稱為常系數(shù)齊次方程組(3.20)的特征方程式.它的根稱為矩陣的特征根.下面分兩種情況討論.(一) 矩陣A的特征根均是單根的情形.設(shè)特征根為這時(shí)           &#

5、160;               方程組(3.20)變?yōu)?#160;     (3.23)易見方程組(3.23)有n個(gè)解  把這n個(gè)解代回變換(3.21)之中，便得到方程組(3.20)的n 個(gè)解  這里是矩陣第列向量，它恰好是矩陣關(guān)于特征根的特征向量，并且由線性方程組所確定. 容易看出，構(gòu)成(3.20)的一個(gè)基本解組，因?yàn)樗鼈兊睦仕够辛惺皆跁r(shí)為. 于是我們得到定理3.11 如果方程組(3.2

6、0)的系數(shù)陣A的n個(gè)特征根彼此互異，且分別是它們所對(duì)應(yīng)的特征向量，則                    是方程組(3.20)的一個(gè)基本解組.例1 試求方程組的通解.解 它的系數(shù)矩陣是特征方程是即                 

7、60; 所以矩陣的特征根為先求對(duì)應(yīng)的特征向量滿足方程即可得. 取一組非零解，例如令，就有. 同樣，可求出另兩個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量，這樣，這三個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量分別是 故方程組的通解是(二) 常系數(shù)線性微分方程組的解法復(fù)特征根從上一講我們已經(jīng)知道，求解方程組               （3.20）歸結(jié)為求矩陣A的特征根和對(duì)應(yīng)的特征向量問題現(xiàn)在考慮復(fù)根情形因?yàn)锳是實(shí)的矩陣，所以復(fù)特征根是共軛出現(xiàn)的，設(shè)是一對(duì)共軛根，由定理3.11，對(duì)應(yīng)解是 其中是特

8、征向量，這是實(shí)變量的復(fù)值解，通常我們希望求出方程組（3.20）的實(shí)值解，這可由下述方法實(shí)現(xiàn) 定理3.12 如果實(shí)系數(shù)線性齊次方程組有復(fù)值解其中與都是實(shí)向量函數(shù)，則其實(shí)部和虛部 證明 因?yàn)槭欠匠探M(3.8)的解，所以                  由于兩個(gè)復(fù)數(shù)表達(dá)式恒等相當(dāng)于實(shí)部及虛部恒等，所以上述恒等式表明： , 即,都是方程組(3.8)的解.證畢.定理3.13 如果是區(qū)間上的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量

9、函數(shù)，是兩個(gè)不等于零的常數(shù)，則向量函數(shù)組                    (3.24)在區(qū)間(a, b)上仍是線性無(wú)關(guān)的.證明 (反證法) 如果(3.24)線性相關(guān)，那么依定義3.1存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得對(duì)區(qū)間上的所有皆有  所以因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，從而    從上式可知，, 因?yàn)? 故. 即所有常數(shù)都等于零，矛盾. 證畢.由代數(shù)知識(shí)知, 實(shí)矩陣A的復(fù)特征根一定共

10、軛成對(duì)地出現(xiàn).即，如果是特征根，則其共軛也是特征根. 由定理3.11，方程組(3.20)對(duì)應(yīng)于的復(fù)值解形式是                        這里是對(duì)應(yīng)于的特征向量.由于矩陣A是實(shí)的，所以上述向量的共軛向量是方程組(3.20)對(duì)應(yīng)于特征根的解，記作 . 現(xiàn)將上述兩個(gè)復(fù)值解，按下述方法分別取其實(shí)部和虛部為     &

11、#160;   由定理3.12和定理3.13，它們分別是方程組(3.20)的解， 并且由此得到的n個(gè)解仍組成基本解組.例2 求解方程組 解 它的系數(shù)矩陣為特征方程是即特征根為  先求對(duì)應(yīng)的特征向量為再求所對(duì)應(yīng)的特征向量. 它應(yīng)滿足方程組即用2i乘上述第一個(gè)方程兩端，得顯見，第一個(gè)方程等于第二與第三個(gè)方程之和. 故上述方程組中僅有兩個(gè)方程是獨(dú)立的，即求它的一個(gè)非零解.不妨令 則. 于是對(duì)應(yīng)的解是故原方程組的通解為(三) 矩陣A的特征根有重根的情形由定理3.11，我們已經(jīng)知道，當(dāng)方程組(3.20)的系數(shù)矩陣 的特征根均是單根時(shí)，其基本解組的求解問題，歸結(jié)到求

12、這些特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量. 然而，當(dāng)矩陣 的特征方程有重根時(shí)，定理3.11不一定完全適用，這是因?yàn)?，若?的重特征根，則由齊次線性方程組所決定的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù), 一般將小于或等于特征根的重?cái)?shù). 若=,那么矩陣對(duì)應(yīng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型將呈現(xiàn)對(duì)角陣，其求解方法與情形相同.若，由線性代數(shù)的知識(shí)，此時(shí)也可以求出個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，通常稱為廣義特征向量，以這些特征向量作為滿秩矩陣的列向量，可將矩陣化成若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型    其中未標(biāo)出符號(hào)的部分均為零無(wú)素，而   是階約當(dāng)塊， 是(3.20)的特征根，它們當(dāng)中可能有的彼此相同. 

13、0;  于是，在變換(3.21)下方程組(3.20)化成                           (3.25)根據(jù)(3.25)的形式，它可以分解成為個(gè)可以求解的小方程組.為了說清楚這個(gè)問題，我們通過一個(gè)具體重根的例子，說明在重根情形下方程組(3.20)的基本解組所應(yīng)具有的結(jié)構(gòu)對(duì)于一般情形，其推導(dǎo)是相似的.設(shè)方程組 &

14、#160;                                                   

15、0;  （3.26）中是5.5矩陣，經(jīng)非奇異線性變換其中且，將方程組(3.26)化為                                           

16、               (3.27)我們假定這時(shí)，方程組(3.27)可以分裂為兩個(gè)獨(dú)立的小方程組                               

17、60;                 (3.28)                                  

18、     (3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等積分法可解得同樣對(duì)(3.29)可解得這里是任意常數(shù).由于在方程(3.28)中不出現(xiàn) 在(3.29)中不出現(xiàn)我們依次取可以得到方程組(3.27)的五個(gè)解如下  , 從而                            &

19、#160;   (3.31)是方程組(3.27)的一個(gè)解矩陣. 又 ,所以(3.31)是方程組(3.27)的一個(gè)基本解矩陣.而(3.30)是(3.27)的一個(gè)基本解組.現(xiàn)在把(3.30)的每個(gè)解分別代入到線性變換中可得原方程組(3.26)的五個(gè)解， ,              而且這五個(gè)解構(gòu)成方程組的一個(gè)基本解組.這是因?yàn)?，若把上面五個(gè)解寫成矩陣形式則顯然有.至此我們已清楚地看到，若中有一個(gè)三階若當(dāng)塊，是(3.26)的三重特

20、證根，則(3.26)有三個(gè)如下形式的線性無(wú)關(guān)解，                                          (3.32)其中每個(gè)是的至多二次多項(xiàng)式.因此(3.32)也可以寫成如

21、下形式 其中都是五維常向量.而對(duì)于中的二階若當(dāng)塊，是(3.26)的二重根，它 所對(duì)應(yīng)的(3.26)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解應(yīng)是如下形式其中也都是五維常向量.最后，我們還應(yīng)指出，對(duì)于方程組(3.20)，若是的一個(gè)重特征根，則所對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊可能不是一塊而是幾塊，但是它們每一塊的階數(shù)都小于或等于，而且這些階數(shù)的和恰好等于. 這樣，由以上分析我們得到    定理3.14 設(shè)是矩陣的m個(gè)不同的特征根，它們的重?cái)?shù)分別為. 那么，對(duì)于每一個(gè)，方程組(3.20)有個(gè)形如的線性無(wú)關(guān)解，這里向量的每一個(gè)分量為x的次數(shù)不高于的多項(xiàng)式. 取遍所有的就得到(3.20)的基本解組.

22、0;   上面的定理既告訴了我們當(dāng)?shù)奶卣鞲兄馗鶗r(shí)，線性方程組(3.20)的基本解組的形式，同時(shí)也告訴了我們一種求解方法，但這種求解方法是很繁的.在實(shí)際求解時(shí)，常用下面的待定系數(shù)法求解. 為此，我們需要線性代數(shù)中的一個(gè)重要結(jié)論.引理3.1 設(shè)n階矩陣互不相同的特征根為，其重?cái)?shù)分別是, , 記維常數(shù)列向量所組成的線性空間為，則(1) 的子集合是矩陣的維不變子空間，并且(2) 有直和分解;現(xiàn)在，在定理3.14相同的假設(shè)下，我們可以按下述方法求其基本解組. 定理3.15 如果是(3.20)的重特征根，則方程組(3.20)有個(gè)形如  

23、0;                          (3.33)的線性無(wú)關(guān)解，其中向量由矩陣方程              (3.34)所確定.取遍所有的，則得到(3.20)的一個(gè)基本解組. 證明 由定理3.14知，若是（3.

24、20）的重特征根，則對(duì)應(yīng)解有（3.30）的形式.將（3.33）代入方程組（3.20）有                 消去，比較等式兩端x的同次冪的系數(shù)（向量），有          （3.35）注意到方程組（3.35）與（3.34）是等價(jià)的.事實(shí)上，兩個(gè)方程組只有最后一個(gè)方程不同，其余都相同（3.35）與（3.34）同解的證明請(qǐng)見教材這樣，在方程組(3.

25、31)中，首先由最下面的方程解出，再依次利用矩陣乘法求出. 由引理3.1得知，線性空間可分解成相應(yīng)不變子空間的直和，取遍所有的，就可以由(3.34)最下面的方程求出n個(gè)線性無(wú)關(guān)常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n個(gè)解. 記這n個(gè)解構(gòu)成的解矩陣為，顯然，是由(3.34)最下面的方程求出的n個(gè)線性無(wú)關(guān)常向量構(gòu)成，由引理3.1的2)矩陣中的各列構(gòu)成了n維線性空間的一組基，因此，于是是方程組(3.20)的一個(gè)基本解組.例3 求解方程組解 系數(shù)矩陣為特征方程為特征根為 其中對(duì)應(yīng)的解是下面求所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.由定理3.15，其解形如并且滿足由于  那么由可解出兩個(gè)線性