7大學(xué)物理習(xí)題及綜合練習(xí)答案詳解

1、庫侖定律7-1 把總電荷電量為Q的同一種電荷分成兩部分，一部分均勻分布在地球上，另一部分均勻分布在月球上，使它們之間的庫侖力正好抵消萬有引力，已知地球的質(zhì)量M5.98´l024kg，月球的質(zhì)量m=7.34´l022kg。（1）求 Q 的最小值；（2）如果電荷分配與質(zhì)量成正比，求Q的值。解：（1）設(shè)Q分成q1、q2兩部分，根據(jù)題意有 ，其中即 。求極值，令，得 ，（2）， 解得， ，7-2 三個電量為 q 的點電荷各放在邊長為 l 的等邊三角形的三個頂點上，電荷Q（Q0）放在三角形的重心上。為使每個負電荷受力為零，Q值應(yīng)為多大？解：Q到頂點的距離為 ，Q與-q的相互吸引力為

2、，兩個-q間的相互排斥力為 據(jù)題意有 ，即 ，解得：電場強度q0圖7-3allPOx7-3 如圖7-3所示，有一長l的帶電細桿。（1）電荷均勻分布，線密度為+l，則桿上距原點x處的線元dx對P點的點電荷q0 的電場力為何？q0受的總電場力為何？（2）若電荷線密度l=kx，k為正常數(shù)，求P點的電場強度。解：（1）線元dx所帶電量為，它對q0的電場力為q0受的總電場力 時，其方向水平向右；時，其方向水平向左（2）在x處取線元dx，其上的電量，它在P點的電場強度為 方向沿x軸正向。7-4一半徑為R的絕緣半圓形細棒，其上半段均勻帶電量+q，下半段均勻帶電量-q，如圖7-4所示，求半圓中心處電場強度。解

3、：建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對稱性可知，+q和-q在O點電場強度沿x軸的分量之和為零。取長為dl的線元，其上所帶電量為圖7-4+R， 方向如圖 y方向的分量 7-5一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為s ，求球心處電場強度。解：沿半球面的對稱軸建立x軸，坐標(biāo)原點為球心O。在球面上取半徑為r、寬為dl的環(huán)帶，如圖，其面積為，所帶電荷 dq在O處產(chǎn)生的電場強度為， 因為球面上所有環(huán)帶在O處產(chǎn)生的電場強度方向相同，7-6一無限大均勻帶電薄平板，面電荷密度為s ，平板中部有一半徑為R的圓孔, 如圖7-6所示。求圓孔中心軸線上的場強分布。（提示：利用無窮大板和圓盤的電場及場強疊加原理）圖7-6R

4、Ps解：利用補償法，將圓孔看作由等量的正、負電荷重疊而成，即等效為一個完整的帶電無窮大平板和一個電荷面密度相反的圓盤疊加而成。無窮大平板的電場為 圓盤激發(fā)的電場為 ，其中為平板外法線的單位矢量。圓孔中心軸線上的電場強度為 電通量7-7電場強度為的勻強電場，其方向與半徑為R的半球面的對稱軸平行，如圖7-7所示，求通過該半球面的電場強度通量。解：作半徑為R的平面S與半球面S構(gòu)成一個閉合曲面，由于該閉合曲面內(nèi)無電荷，由高斯定理圖7-7R7-8一邊長為a的立方體置于直角坐標(biāo)系中，如圖7-8所示?，F(xiàn)空間中有一非均勻電場，E1、E2為常量，求電場對立方體各表面及整個立方體表面的電場強度通量。ABCOEFG

5、Dxyz圖7-8解： 整個立方體表面的電場強度通量 高斯定理7-9有兩個同心的均勻帶電球面，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，已知外球面的電荷面密度為+s ，其外面各處的電場強度都是零。試求：（1）內(nèi)球面上的電荷面密度；（2）外球面以內(nèi)空間的電場分布。解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。設(shè)內(nèi)球面上的電荷面密度為。（1）處：因為外球面外的電場強度處處為零，由高斯定理有，得 （2）由高斯定理 即 方向沿徑向反向7-10一對無限長的均勻帶電共軸直圓筒，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，沿軸線方向單位長度的電量分別為l1和l2。（1）求各區(qū)域內(nèi)的場強分布；（2）若l1-l2，情況如何？畫出此情形下的E r的關(guān)系曲線。

6、解：（1）作一半徑為r、長為h的共軸圓柱面為高斯面，由高斯定理有 ，得 得 （2）時，7-11設(shè)半徑為R的球體，電荷體密度 r kr（r £ R），其中k為常量，r為距球心的距離。求電場分布，并畫出E r的關(guān)系曲線。解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。根據(jù)高斯定理 即 得 即 得 7-12一厚度為d=0.5cm的無限大平板，均勻帶電，電荷體密度 r 1.0´10-4C/m3，求（1）平板內(nèi)外的電場分布；（2）討論平板中央以及平板內(nèi)與其表面相距0.1cm處的電場強度。解：（1）設(shè)中心平面為S0。根據(jù)對稱性，在距S0處為x處對稱地取兩面積均為的底面作一圓柱形高斯面，其側(cè)面與板面

7、垂直（如圖所示），即側(cè)面的電通量為零。時 ， 時 ， （2）平板中央 ， 平板內(nèi)與表面相距0.1cm處， V/m7-13一個電荷體密度為 r（常量）的球體。（1）證明球內(nèi)距球心r 處一點的電場強度為；（2）若在球內(nèi)挖去一個小球，如圖7-13所示，證明小球空腔內(nèi)的電場是勻強電場，式中是球心到空腔中心的距離矢量。OORO證：（1）作與球體同心的球面為高斯面，根據(jù)高斯定理 即 矢量式 得證（2）填充法：設(shè)在空腔中填充電荷密度分別為和-的電荷球體，形成電荷密度分別為和-的大球體和小球體。對腔內(nèi)任一點P（如圖），由（1）的結(jié)果有大球 ； 小球 得證靜電場的環(huán)路定理7-14若電場中某一部分電場線的形狀是以

8、O點為中心的同心圓弧。證明該部分上各點的電場強度都應(yīng)與該點離O點的距離成反比，即E1 r1 = E2 r2 。Oqr1r2圖7-14證：作一回路abcd，如圖。根據(jù)靜電場環(huán)路定理即 ， 得證7-15證明：在靜電場中，凡電場線都是平行直線的地方，電場強度的大小必定處處相等。（提示：利用環(huán)路定理和高斯定理）證：設(shè)電場方向水平向右。在一電場線上任取兩點1和2，作兩底面足夠小的圓柱面，如圖。由高斯定理 即同一電場線上任意兩點的電場強度相等。作一矩形回路abcd，其中ab、cd與電場線垂直，bc、da與電場線平行，即有由靜電場環(huán)路定理 即不同電場線上任意兩點的電場強度相等。所以命題成立。電場力的功和電勢

9、能7-16邊長為a的正三角形, 三個頂點上各放置q，-q和-2q的點電荷，求此三角形重心上的電勢。將一電量為+Q的點電荷由無限遠處移到重心上，外力做功多少？解：頂點到重心的距離，重心的電勢為 外力所做的功 圖7-17Q1Q2OQ3dd7-17如圖7-17所示，三個點電荷Q1、Q2、Q3沿一直線等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一點電荷所受合力均為零。求Q1、Q3固定情況下，（1）Q2在O點時的電勢能；（2）將Q2從O點推到無窮遠處，外力所做的功。解：（1）Q1和Q3在O點產(chǎn)生的電勢為 因為Q1所受合力為零，即 ，解得 ，Q2在O點的電勢能 （2）將Q2從O點推到無窮遠處，外力所做的功 7-18

10、一半徑為R的無限長帶電棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為r 。（1）求電場分布；（2）如圖7-18所示（沿棒軸向俯視），若點電荷q0由a點運動到b點，則電場力做功為多少？解：（1）取長為l、半徑為r且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面。由高斯定理Rr2r1ab圖7-18 即 得 得 （2）半徑相同處的電勢相等 電勢7-19題7-18中，若取棒的表面為零電勢，求空間的電勢分布。解：取棒表面為零電勢，即時，時，7-20如圖7-20所示，電荷面密度分別為 +s 和 -s 的兩塊“無限大”均勻帶電平行平面，分別與x軸相交于x1= a 和x2= -a兩點。設(shè)坐標(biāo)原點O處電勢為零，求空間的電勢分布。解： ：

11、；：；：。xa-aO-s+s圖7-20 ： ：7-21兩根半徑分別為R1=3.0´10-2m和R2=0.10m的長直同軸圓柱面，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為450V。求圓柱面單位長度上所帶電荷l 。解：由高斯定理可求得兩柱面間的電場強度 ，解得 ROA圖7-22BCDE7-22如圖7-22所示的帶電細棒，電荷線密度為l，其中BCD為半徑為R的半圓，AB=DE=R，求（1）半圓上的電荷在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢；（2）直細棒AB和DE在半圓中心O處產(chǎn)生的電勢；（3）O處的總電勢。解：（1）取電荷元 ，（2）在AB上距O點為r處，取電荷元 。同理DE在點產(chǎn)生的電勢 （3）7-23半徑分別為R1和R2的兩個同心球面，分別帶有電荷q1和q2。求：（1）各區(qū)域電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間電勢差；（3）若R1=10cm、R2=30cm、q1=10-8C、q2=1.5´10-8C，離球心20cm和50 cm處的電勢為多少？解：（1）由高斯定理可得電場分布為