初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題(含答案)

1、初三數(shù)學(xué)相似三角形 （一）相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是： 1. 理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或兩線段的比，了解黃金分割。 2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成已知比。 3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。 4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題 本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。 本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。 相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊

2、形、圓的知識(shí)相結(jié)合構(gòu)成高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。（二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹： 1. 比例線段的有關(guān)概念： b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。 把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。 2. 比例性質(zhì)： 3. 平行線分線段成比例定理： 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1l2l3。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比

3、例。 定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 4. 相似三角形的判定： 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和

4、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】 例1. （1）在比例尺是1：8000000的中國行政區(qū)地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實(shí)際距離是_千米。 （2）小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m，此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是18米，則此建筑物的高是_米。 解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡(jiǎn)單。 （1）應(yīng)填600 （2）應(yīng)填14.4。 例2. 如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式錯(cuò)誤的是：_ 分析：故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰是截線、誰是被截 例3. 如

5、圖，在等邊ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且APD=60°， 解：ABC是等邊三角形 C=B=60° 又PDC=1+APD=1+60° APB=1+C=1+60° PDC=APB PDCAPB 設(shè)PC=x，則AB=BC=1+x AB=1+x=3。 ABC的邊長(zhǎng)為3。 例4. 如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為a的正方形， （1）求證：AEFCEA （2）求證：AFB+ACB=45° 分析：因?yàn)锳EF、CEA有公共角AEF 故要證明AEFCEA 只需證明兩個(gè)三角形中，夾AEF、CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。 證明：（1）四

6、邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=a，ABE=90° 又CEA=AEF CEAAEF （2）AEFCEA AFE=EAC 四邊形ABEG是正方形 ADBC，AG=GE，AGGE ACB=CAD，EAG=45° AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45° 例5. 已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F 求證：OE=OF 證明：ADEFBC OE=OF 從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論： 這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD、BC、

7、EF中，已知任何兩條線段的長(zhǎng)度，都可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。 例6. 已知：如圖，ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F 分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代 證明：在ABD和ADE中， ADB=AED=90° BAD=DAE ABDADE AD2=AE·AB 同理：ACDADF 可得：AD2=AF·AC AE·AB=AF·AC 例7. 如圖，D為ABC中BC邊上的一點(diǎn)，CAD=B，若AD=6，AB=8，BD=7，求

8、DC的長(zhǎng)。 分析：本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。 解：在ADC和BAC中 CAD=B，C=C ADCBAC 又AD=6，AD=8，BD=7 解得：DC=9 例8. 如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC于F，過F作FGAB交AE于G， 求證：AG2=AF·FC 證明：在矩形ABCD中，AD=BC， ADC=BCE=90° 又E是CD的中點(diǎn)，DE=CE RtADERtBCE AE=BE FGAB AG=BF 在RtABC中，BFAC

9、于F RtBFCRtAFB BF2=AF·FC AG2=AF·FC 例9. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。 分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。 解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC 一、填空題 1. 已知，則_ 2. 若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21cm，則其余兩邊之和是

10、_cm 3. 如圖，ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6，則DE=_；ADE與ABC的面積之比為：_。 4. 已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項(xiàng)c為_cm。 5. 在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DEBC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=_ 6. 已知三個(gè)數(shù)1，2，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是_ 7. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=_ 8. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，A=90°，BDCD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：_

11、二、選擇題 1. 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3：4，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是_ A. 9：16B. ：2 C. 3：4D. 3：7 2. 在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實(shí)際面積是_米2 A. B. C. D. 3. 已知，如圖，DEBC，EFAB，則下列結(jié)論： 其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是_ A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè) 4. 如圖，在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與ABC相似，則AE的長(zhǎng)是_ A. 16B. 14C. 16或14D. 16或9 5. 如

12、圖，在RtABC中，BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，AEAD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是_ A. AEDACBB. AEBACD C. BAEACED. AECDAC三、解答題： 1. 如圖，ADEGBC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長(zhǎng)。 2. 如圖，ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，B=75°，CDB=60°， 求證：ABCCBD。 3. 如圖，BE為ABC的外接圓O的直徑，CD為ABC的高， 求證：AC·BC=BE·CD 4. 如圖，RtABC中，ACB=90°，AD平分CAB交BC于點(diǎn)D

13、，過點(diǎn)C作CEAD于E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EGBC交AB于點(diǎn)G，AE·AD=16，AB， （1）求證：CE=EF （2）求EG的長(zhǎng)參考答案一、填空題： 1. 19：132. 243. 3；1：4 4. 65. 12 6. 只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：等。 7. 14.48. 二、選擇題： 1. C 2. D 3. C 4. D 5. C 三、解答題： 1. 解：ADEGBC 在ABC中，有 在ABD中，有 AE：AB=2：3 BE：AB=1：3 BC=9，AD=6 EG=6，EF=2 GF=EGEF=4 2. 解：過點(diǎn)B作BECD于點(diǎn)E， CDB=60°，CBD=75° DBE=30°， CBE=CBDDBE=75°30°=45° CBE是等腰直角三角形。 AB=3AD，設(shè)AD=k，則AB=3k，BD=2k DE=k，BE ， ABCCBD 3. 連結(jié)EC， E=A 又