空間基本圖形的公理

1、寶石學(xué)?；铐撜n時教案(首頁)班級:高一年級 科目:數(shù)學(xué)周次教學(xué)時間2011年11月 日月教案序號課題 1-5-2 空間圖形的公理課型新授教學(xué)目標(識記、理解應(yīng)用、分析、創(chuàng)見)知識目標：在掌握五類位置關(guān)系的分類及其有關(guān)概念的基礎(chǔ)上, 繼續(xù)學(xué)習(xí)和掌握平面的基本性質(zhì),即公理1,2,3. 提高學(xué)生的歸納、類比能力.能力目標：通過對長方體的觀察，直觀的了解點線面的位置關(guān)系，感受數(shù)學(xué)來源與生活，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力. 情感目標：結(jié)合三種語言的相互轉(zhuǎn)換，體會數(shù)學(xué)圖形的直觀美和數(shù)學(xué)語言的簡潔美.教學(xué)重點及難點教學(xué)重點: 4個公理和等角定理的應(yīng)用.教學(xué)難點: 空間圖形的位置關(guān)系和公理的歸納.教學(xué)方法 學(xué)法：觀

2、察、思考、交流、討論、概括。 教法：“問題探究式”教學(xué)法。教學(xué)反饋1 / 6板書設(shè)計 1-5-2 空間圖形的公理公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面(即可以確定一個平面).公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線. 常常將平面與平面的公共直線即交線a記作=a.公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行. 定理 空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.一、情境導(dǎo)入1、導(dǎo)入大家都看過電視劇西游記吧，如來佛對孫悟空說：“你一個

3、跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數(shù)學(xué)中的平面.2、復(fù)習(xí)：為了直觀地了解點、線、面的位置關(guān)系,我們先觀察一個長方體. 如圖2.該長方體中有幾個頂點?幾條棱?幾個面?圖2 觀察圖2所示的長方體,歸納空間點與直線的位置關(guān)系? 歸納空間點與平面的位置關(guān)系? 歸納空間兩條直線的位置關(guān)系? 歸納空間直線與平面的位置關(guān)系? 歸納空間平面與平面的位置關(guān)系?2、 學(xué)習(xí)新課 1、提出問題 把一根直尺邊緣上的任意兩點放在平整的桌面上,可以看到直尺邊緣與桌面重合,這是

4、顯而易見的事實,用公理的形式把它表示出來. 在日常生活中,照相機的腳架,施工用的撐腳架,天文望遠鏡的腳架等都制成三個腳,這樣,可以使這些物體放置得很平穩(wěn).我們知道,兩點確定一條直線.那么怎樣確定一個平面呢?歸納出公理. 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,可以確定一個平面嗎? 經(jīng)過兩條相交直線,可以確定一個平面嗎? 經(jīng)過兩條平行直線,可以確定一個平面嗎? 長方體表面中的任意兩個面,要么平行,要么交于一條直線.其實空間任意兩個不重合的平面都有這樣的性質(zhì).那么,兩個平面在什么情況下相交?并歸納出公理. 在平面內(nèi),平行于同一條直線的兩條直線平行,那么在空間中呢? 在平面內(nèi),如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,

5、那么這兩個角相等或互補.(如圖3,AOAO,BCBO,AOB和AOB相等,AOC和AOB互補.)在空間中呢?圖3討論結(jié)果:公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)). 如圖4,直線AB在平面內(nèi),記作直線AB.圖4 公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面(即可以確定一個平面). 如圖5,經(jīng)過不在同一條直線上的三點A,B,C的平面,又可記作“平面ABC”.圖5 上邊三種情況都可以確定一個平面,把這三個結(jié)論通?？闯善矫娴男再|(zhì). 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線. 常常將平面與平面的公

6、共直線即交線a記作=a. 公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行. 在圖6的長方體中,ab,bc,不難看出ac.圖6 在空間亦有: 定理 空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補. 2、應(yīng)用示例 例1 在空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形. 活動:只需證明FGEH,且FG=EH即可. 證明:如圖7,連接BD.圖7因為FG是CBD的中位線,所以FGBD,FG=BD.又因為EH是ABD的中位線,所以EHBD,EH=BD.根據(jù)公理4,FGEH,且FG=EH.所以四邊形EFGH是平行四邊形. 變式訓(xùn)練 如圖7

7、,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD. 求證:四邊形EFGH是菱形. 證明:連接EH,因為EH是ABD的中位線,所以EHBD,且EH=BD. 同理,FGBD,EFAC,且FG=BD,EF=AC. 所以EHFG,且EH=FG. 所以四邊形EFGH為平行四邊形. 因為AC=BD, 所以EF=EH. 所以四邊形EFGH為菱形. 例2 如圖8(1),將無蓋正方體紙盒展開,直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.相交且垂直 C.異面直線 D.相交成60° 解:如圖8(2),將上面的展開圖還原成正方體,點B與點D重合.容易知道A

8、B=BC=CA,從而ABC是等邊三角形,所以選D.圖8 變式訓(xùn)練 圖9表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有_對.圖9三、鞏固訓(xùn)練 1、畫一個正方體ABCDABCD，再畫出平面ACD與平面BDC的交線，并且說明理由.圖15 2、已知ABC三邊所在直線分別與平面交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線. 3、O1是正方體ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，過D1、B1、A作一個截面，求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上.圖17 4、在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點.圖18 5、拓展提升 下列命題中正確的個數(shù)是( ) 若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l 若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行 若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點 A.0 B.