考研學(xué)生方程部分

1、理工類說明：(1) 只對(duì)數(shù)學(xué)一要求的在左上角加“”.(2) 記號(hào)08120表示08年數(shù)一第20題.(3) 例題中“Ai、Bi、Ci”分別表示“基本題、綜合題、應(yīng)用題” 常微分方程考試要求1.了解微分方程及其解、階、通解、特解和初始條件等概念.2.掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程及一階線性微分方程的解法.3.會(huì)解伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程.4.會(huì)用降階法解下列微分方程：，.5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu).6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.7.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和

2、與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.8.會(huì)解歐拉方程.9.會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.-內(nèi)容分為三大部分.一階微分方程求解及應(yīng)用;.二階微分方程求解及應(yīng)用;. 歐拉方程;IV差分方程.-考題常出類型A.基本題：給出方程直接求解. B.綜合題：給出與微分、積分、級(jí)數(shù)等有關(guān)的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化成微分方程求解.C.應(yīng)用題：根據(jù)實(shí)際問題列出微分方程求解.- 2 - / 33-本章主要解決的兩個(gè)問題：一是解方程,二是列方程解應(yīng)用題.解方程時(shí)，要首先掌握方程所屬類型. 因不同類型的方程有不同的解法。同一個(gè)方程可能屬于多種不同的類型，應(yīng)選擇較易的方法求解。用公式時(shí)應(yīng)注意它的使用條件。應(yīng)用題列方程時(shí)，要

3、根據(jù)題意，分析條件，搞清問題所涉及到的基本物理量或幾何量的意義，建立數(shù)學(xué)模型. 通過邏輯推理等綜合手段列出微分方程，使問題得到解決。這是考察考生綜合應(yīng)用能力的重要方面，是考試的難點(diǎn)內(nèi)容之一. 內(nèi)容提要預(yù)備知識(shí)：幾個(gè)基本概念1.微分方程的定義：一階：形如或 (方程中可缺少,但必含)階：或2.微分方程的解：使所給微分方程成為恒等式的函數(shù).通解:含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為階微分方程的通解.注意: 中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)必須與方程的階數(shù)相等.特解:根據(jù)初始條件確定了任意常數(shù)的值的解.初始條件： 一階; 二階， .一階微分方程求解及應(yīng)用(變量可分離、齊次、線性、貝努利、全微分)1.變量可分離方程: 形如 解

4、法: 分離變量 ,兩邊積分 -2.齊次方程： 形如 解法:(化齊次方程為變量可分離方程) 令, 則, 注意:一定要將變量還原，即將代回所求解中.-3.線性方程： 形如 (1) -齊次; (2) -非齊次. 性質(zhì)：若是齊次(1)的一個(gè)非零解，則是其通解；若,都是非齊次(2)的解,則是齊次(1)的解；若是非齊次(2)的特解，是齊次(1)的通解，則是非齊次(2)的通解。-解法： 公式法: 齊次； 非齊次常數(shù)變易法: 將代入所求方程確定便得解.說明:在套公式前要將方程化成標(biāo)準(zhǔn)形，即的系數(shù)為1.-4.貝努利方程： 形如 解法:(化貝努利方程為線性方程) 變形為 , 令 注意:一定要將變量還原，即將代回所

5、求解中.-5.全微分方程: 形如, 且 ， (單連域)解法: 觀察法：觀察出,使,則即為通解. 折線積分法：,，則即為通解.-說明： 一階微分方程中最基本的類型是:“可分離變量”和“線性方程”齊次方程 u=y/x 可分離變量貝努利方程 z=y1-n 線性方程 有時(shí)可視x為未知函數(shù)，y為自變量得到線性方程或貝努利方程. 例題分析基本題: 解題途徑:一是套題型,按類型求解;二是作適當(dāng)變換,化成典型類型.A1: 06310 設(shè)非齊次線性方程有兩個(gè)不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。-A2：設(shè)是的一個(gè)特解，為任意常數(shù)，則該方程的通解可表示為( ).

6、(A) ； (B) ;(C) ; (D) 。A3:0610206202 A3:08109 -A4: 0510105201 A4: 12年數(shù)123 若滿足，求。練習(xí)：1.08210 08312 (y+x2e-x)dx-xdy=0 答案： 2. 90303 答案： 3. 11210 11110 , 答案： -A5: A5: 答案： A6: 96308 A6: 99205 ，x0. 答案： -A7: 93103 答案：A7: 07314 ， 答案： -A8:97203 答案：A9: 12212 求滿足的特解。-練習(xí)：A9: 答案： A9: 答案： -簡(jiǎn)單變量代換的例子：(1) 令，直接積分可得 。

7、(2) 令，分離變量求得。 (3) 令，化為線性方程可求得。 綜合題:當(dāng)給定與積分或微分等有關(guān)的條件，求函數(shù)的題目，一般用微分方程求解。通常解題思路為：一般是將所給等式求導(dǎo)后,轉(zhuǎn)化為微分方程,然后按方程類型求解.-B1:9810298202 已知,且,求。B1:13109 13202設(shè)函數(shù)由方程確定，則B 1:99306 設(shè)有微分方程，其中,試求在內(nèi)的連續(xù)函數(shù),使之在和內(nèi)都滿足所給方程，且滿足條件.答案：B2: 07320設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù), 且滿足,求的表達(dá)式。練習(xí)：）設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且，求。答案：）91102若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，求。答案：）95304已知連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，求。

8、答案：）設(shè)函數(shù)連續(xù),且 ,求。答案：-B3: 97308 設(shè)在上連續(xù),且,求。B3: 11319 設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足，其中，求的表達(dá)式。B4: 03307 設(shè)，其中和在內(nèi)滿足以下條件：， 且，。(1)求所滿足的一階微分方程； (2) 求的表達(dá)式。提示：。B5: 04319設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為，求: (1) 所滿足的微分方程； (2) 的表達(dá)式。B6: 00106設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向閉曲面,均有，其中在內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求。應(yīng)用題解題途徑：根據(jù)條件,利用微分,積分的幾何意義和微元法、物理定律(牛頓定律、光學(xué)原理)等,列出等式，然后轉(zhuǎn)化為微分方程求解.C1: 9510

9、5 設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)，上任意點(diǎn)處的切線與軸總相交,交點(diǎn)記為。已知，且過點(diǎn)，求的方程.C2: 08219 設(shè)函數(shù)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增函數(shù)，且，對(duì)任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體。若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式。C3: 98308 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若由曲線，直線，（）與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為。試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解。C3: 97206 設(shè)函在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)大于零，并滿足 (為常數(shù))，又曲線與, 所圍的圖形的面積值為2, 求函數(shù)，并問為何值時(shí)，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所

10、得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.（8分）C4: 03208 設(shè)位于第一象限的曲線過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分。（12分）(1) 求曲線的方程；(2) 已知曲線在上的弧長(zhǎng)為，試用表示曲線的弧長(zhǎng)。-C5: 97103 在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為，在時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為，在任意時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為（將視為連續(xù)可微變量），其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù), 求。（5分）-C6：00207 某湖泊的水量為，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為。流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖泊的水量為。已知1999年底湖中

11、A的含量為，超過國(guó)家規(guī)定指標(biāo)，為了治理污染，從2000年初起，限制排入湖泊中污水的濃度不超過。問至多需經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量才能降至以內(nèi)？（設(shè)湖水中A的濃度是均勻的）。. 二階微分方程的求解及應(yīng)用一、二階線性微分方程 (1) 稱為二階齊次線性方程. (2) 稱為二階非齊次線性方程.性質(zhì)： 若，是齊次(1)的兩個(gè)解，則 (，為任意實(shí)數(shù))也是齊次(1)的解. 若，是非齊次(2)的兩個(gè)解，則是齊次(1)的解. 若是非齊次(2)的解，是齊次(1)的解,則是非齊次(2)的解. 設(shè)是 ()的解，則是的解.結(jié)構(gòu)： 設(shè)，是齊次的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解, 則是它的通解. -齊次結(jié)構(gòu) 設(shè)是非齊次的一個(gè)特解，是

12、齊次的通解,則是非齊次的通解. -非齊次結(jié)構(gòu)1. 二階常系數(shù)線性齊次方程 特征方程：的兩個(gè)根， 當(dāng)為兩不相等實(shí)根時(shí)，通解 ； 當(dāng)為兩相等實(shí)根時(shí)，通解； 當(dāng)為兩共軛復(fù)根時(shí)，通解.推廣到n階方程： 特征方程： 根據(jù)特征根的情況仿二階寫出通解.-2.二階常系數(shù)線性非齊次方程 通解 其中為齊次的通解，為非齊次的特解.特解的確定方法：(1) 特解 ，當(dāng)不是特征根時(shí), ；當(dāng)是特征單根時(shí), ；當(dāng)是特征重根時(shí), .-(2) 或或特解當(dāng)不是特征根時(shí), ；當(dāng)是特征根時(shí), . 例題分析基本題：A1：設(shè)為一二階常系數(shù)線性齊次方程的通解，則該方程為 . -A2:06210函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是( )。(A) ； (B

13、) ； (C) ； (D) 。-A3:93204設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為，試確定的值，并求其通解。A3:09110若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件，的解為 .-A4: 97203 已知，是某一二階線性非齊次方程的三個(gè)解，求此微分方程。-求下列方程的通解：A5: 07113 07214 A5: 99101 答案：-A6: 92205 （9分）A6: 10115 （10分）-A7: 96203 -A8：91205 （9分）A8：04211 寫出的特解形式。答案：A8：11204 微分方程的特解形式為：（ ） -關(guān)于高階線性常系數(shù)微分方程的例子：A9: 0020

14、2 具有特解，的三階常系數(shù)微分方程是( ).(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。-A10:0810308203在下列微分方程中，以為通解的是( ).(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。-A11: 答案： 綜合題B1: 設(shè)滿足，且其圖形在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線在該點(diǎn)處的切線重合，求。 -B2: 09220 設(shè)曲線是區(qū)間內(nèi)過點(diǎn)的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，函數(shù)y(x)滿足，求的表達(dá)式。 -B3: 89108 設(shè)，為連續(xù)函數(shù)，求。答案：-B4: 97104 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足, 求。-B5: 01207 設(shè)，滿足，且，求。-B6: 94105 設(shè)

15、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且為一全微分方程，求及通解。B7: 03107 03206 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，是的反函數(shù)。 （12分）(1)將所滿足的方程變換為滿足的方程。(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解。-B8: 05218 用變量代換()化簡(jiǎn)微分方程，并求其滿足的解。B9: 98205 利用代換將方程化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。 II. 歐拉方程形如 以二階為例 解法: 令，則, ，(當(dāng)時(shí)，令 )。, 代入方程得 這是以為自變量的二階常系數(shù)線性方程，解得通解，然后將代入還原為。 例題分析1. 04104 求（）的通解。 應(yīng)用題：C: 04116 04216 某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少

16、滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下?，F(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為v0=700km/h，經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為k=6.0106）。問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？（11分）II、二階可降階微分方程(1) 型解法： 推廣 (2) 型 (不顯含) 解法：令, , 則有為一階微分方程。(3) 型 (不顯含) 解法：令, , 則有為一階微分方程。 例題分析基本題A1: 00101 求通解。（5分）A2: 02101 02201 求微分方程滿足初始條件, 的特解。（3分）A3: 07219

17、求微分方程滿足初始條件的特解。（10分）綜合題B1: 11218 設(shè)函數(shù)具二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若，求的表達(dá)式。（10分）-B2: 09218 設(shè)非負(fù)函數(shù) ()滿足微分方程。當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。注：由平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積為 (課本習(xí)題)B3: 06118 06220 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式。(1) 驗(yàn)證；(2) 若求函數(shù)的表達(dá)式。答：求出，利用對(duì)稱性可得，代入所給方程。是可降階方程 ，答案：。B4: 00211 在上可導(dǎo)，, 且，求。提示：變形 ，缺，求解答案：。B5: 9

18、6106 設(shè)對(duì)任意, 曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距等于, 求的一般表達(dá)式。提示：設(shè)過處的切線方程為，令，得，變形為，即，答案：。應(yīng)用題C1: 99105 99209 設(shè)函數(shù) ()二階可導(dǎo)且，, 過曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程。C2：91109 在上半平面求一條上凹的曲線，其上任意點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1, 1)處的切線與x軸平行。-C3: 98210 設(shè)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)(0,1)處的切線方程為，求該曲線的方程。答案：。C4: 98105 98207 從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器。按探測(cè)要求，須確定儀器的下沉深度與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力