力學(xué)的哈密頓理論

1、第八章 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論一 正則坐標(biāo)和哈密頓函數(shù)二 三種不同形式的哈密頓動(dòng)力學(xué)方程1 哈密頓正則方程2 哈密頓原理3 哈密頓-雅可比方程一正則坐標(biāo)和哈密頓函數(shù)為表述空間的位置，引入坐標(biāo)。常用坐標(biāo)：（1）直角坐標(biāo)；（2）平面極坐標(biāo)；（3）柱坐標(biāo)；（4）球坐標(biāo)等功能：（1）用三個(gè)坐標(biāo)值表示空間的一點(diǎn)的位置 （2）確定空間一組相互正交的單位矢量 （有了單位矢量，任何一個(gè)有方向的力學(xué)量都可以統(tǒng)一用這組矢量表示）區(qū)別：（1）直角坐標(biāo)與物體的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，是固定不變的 （2）曲線坐標(biāo)的單位矢量是隨著質(zhì)點(diǎn)所在的位置而改變的， （3）自然坐標(biāo)由質(zhì)點(diǎn)的速度方向決定坐標(biāo)1廣義坐標(biāo)：設(shè)拉格朗日方程為：又設(shè)：拉格朗日

2、方程為：令：上式中是變量 的任意函數(shù)，則：而所以由：可以得到：即：通過(guò)拉格朗日方程，對(duì)于兩個(gè)不同的拉格朗日量可以解得同一個(gè)廣義坐標(biāo)。經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)不是唯一的，不同的拉格朗日函數(shù)可以相差一項(xiàng)：由于是任意函數(shù)，因此，一個(gè)力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)可以有無(wú)窮多個(gè)。2廣義動(dòng)量:若拉格朗日函數(shù)是唯一的，則與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量也是唯一的，兩者一一對(duì)應(yīng)。但是，由于拉格朗日函數(shù) 都包含有廣義速度 因此 和將是兩個(gè)不同的力學(xué)量，由于是任意函數(shù)的，因此，與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量也有無(wú)窮多個(gè)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)是完全獨(dú)立的。若取，只是時(shí)間的函數(shù)，則和就一一對(duì)應(yīng)了。但是，這

3、是一個(gè)規(guī)范條件，這個(gè)規(guī)范條件并非理論本身所必需的。條件：（1）保留廣義坐標(biāo)的概念不變 （2）保留廣義動(dòng)量的定義不變， （3）對(duì)不做任何限制，問(wèn)題：若使和保持獨(dú)立地位：（A） 力學(xué)理論如何？（B） 是否會(huì)帶來(lái)經(jīng)典力學(xué)和拉格朗日理論中沒有的優(yōu)點(diǎn)？回答上述問(wèn)題的理論即為哈密頓理論！3 兩個(gè)變量的勒讓德變換一組獨(dú)立變數(shù)變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變數(shù)的變化稱為勒讓德變換。設(shè)：則：上式我們是以 為變量，實(shí)際上我們可以用 任意兩個(gè)量作為變量。若取： 為獨(dú)立變量，則：此時(shí)函數(shù)也為的函數(shù)記為：此時(shí)我們不能將 表述成為：對(duì)于，設(shè)：則：對(duì)于：當(dāng)自變量為時(shí)：當(dāng)自變量為時(shí)，若仍用，則：即：勒讓德變換！4 哈密頓方程：通過(guò)拉格朗日方

4、程建立哈密頓方程：廣義動(dòng)量和廣義速度為：式中的是以為變量的函數(shù)。上述方程是拉格朗日方程的另一種表述形式。但是上面方程并不對(duì)稱。定義哈密頓函數(shù)：取全微分形式：而：所以：同時(shí)：則：比較上面兩式得到哈密頓正則方程：拉格朗日方程是s個(gè)二階微分方程，而哈密頓正則方程是2s個(gè)一階微分方程，拉格朗日方程和哈密頓正則方程完全等價(jià)哈密頓函數(shù)對(duì)時(shí)間的全微商：將代入上式：當(dāng)H 不顯含時(shí)間時(shí)，所以：即：若拉格朗日函數(shù)除包含 之外還包含其它參數(shù)如 ，則：代入得到：由：得：所以：非保守力體系下：例1 寫出粒子在中心勢(shì)場(chǎng) 中的哈密頓函數(shù)和正則方程。解：粒子的拉格朗日函數(shù)為：由得：機(jī)械能：由哈密頓函數(shù)定義得：得：上式與機(jī)械能

5、形式相同。正則方程：由：例2 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的哈密頓函數(shù)：解：由廣義動(dòng)量的定義得：哈密頓函數(shù)的定義：由：得：所以：量子力學(xué)中常用的哈密頓量。例3 設(shè)帶電粒子的電荷為 ，在電荷為 的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。取球坐標(biāo) 為廣義坐標(biāo)，設(shè)電子的質(zhì)量為 ，電子的運(yùn)動(dòng)速度：電子在核力場(chǎng)中以速度 運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能：拉格朗日函數(shù)：計(jì)算 哈密頓函數(shù)為：代入正則方程中：上式即為由哈密頓正則方程求出的電子在核力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程由于中不含有 ，所以：由：同時(shí)：右邊第二項(xiàng)是關(guān)于 項(xiàng)，由 得： 所以而：由于 和 都不包括 故電子一定在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這正是我們預(yù)期的，因?yàn)殡娮邮艿氖怯行牧?，如果令此平面為的平面，則。而電子在平面內(nèi)運(yùn)

6、動(dòng)的方程為：5 變分問(wèn)題的歐拉方程（1） 第一性原理：在力學(xué)中起“幾何公理”作用，可以由它推導(dǎo)出全部力學(xué)定律得原理或假設(shè)稱為第一性原理 例如：牛頓定律為第一性原理，以牛頓定律作為第一性原理建立的牛頓力學(xué)或稱為經(jīng)典力學(xué)體系最容易理解。但是，牛頓定律不是唯一的作為第一性原理的理論！1788年拉格朗日發(fā)表的分析力學(xué)以虛功原理為第一性原理。目前許多教材以達(dá)朗貝爾原理為第一性原理。最小作用量原理 物理學(xué)的第一性原理（2） 變分法：變分符號(hào)： （3）變分代數(shù)：設(shè)：則：（4）變分的意義：微分和變分是不同的，（i）曲線 C（實(shí)線）是S 維空間中的一條曲線，且質(zhì)點(diǎn)遵循運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)行時(shí)的軌道，即動(dòng)力軌道或稱為真實(shí)的

7、軌道。（ii）曲線為鄰近C的一條曲線，但不是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力軌道，唯 C和的兩個(gè)端點(diǎn) 和 相同。（iii）設(shè)質(zhì)點(diǎn)M 沿C 運(yùn)動(dòng)，而想象另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 沿 運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)自 點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá) 。（vi） 我們把相差甚微的C 與之間的差稱為變分。用表示，以區(qū)別來(lái)自同一曲線軌道上由于自變數(shù)微小變化而引起的差異的微分符號(hào) 。 在 和上有：（a）如果 以及是C和上兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即， 和同時(shí)自點(diǎn)出發(fā)，分別經(jīng)C和運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)，到達(dá)點(diǎn)。（b）是附近的一點(diǎn)，并且在和點(diǎn)相同的軌道上。（c）若 則： ， （d）在線上的點(diǎn)可以從兩個(gè)方面來(lái)考慮： 一個(gè)方面： 另一個(gè)方面： 即 與 對(duì)易！但是：所以一般情況下，與 不對(duì)易，若則：這種情況稱為等時(shí)變分，而與 不對(duì)易的變分稱為全變分或不等時(shí)變分。（5）泛函數(shù)的變分：鉛直平面內(nèi)，所有連接兩個(gè)定點(diǎn) 和 的曲線中，找出一條使初始速度為零的質(zhì)點(diǎn)在自力作用下自 無(wú)摩擦下滑時(shí)以最短時(shí)間到達(dá)。泛函數(shù)：如果 是 的函數(shù)，則 稱為函數(shù)的泛函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲線自由下落時(shí)，速度與的關(guān)系為：?jiǎn)栴}：最速落徑問(wèn)題由下落到點(diǎn)所需的時(shí)間：需要知道：所以最速落徑問(wèn)題是泛函數(shù)的極值問(wèn)題。取極值的條件為：令：對(duì)于固定的