二階常微分方程級數(shù)解法

1、第十二章 二階常微分方程級數(shù)解法、本征值問題前幾章處理的問題幾乎都是使用直角坐標(biāo)，依據(jù)邊界條件的不同，有時(shí)使用球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)更為方便，也只有使用恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)才能使變量進(jìn)行分離徹底。下面先介紹標(biāo)量函數(shù)的梯度或矢量函數(shù)的散度在球坐標(biāo)系中和柱坐標(biāo)系中表示形式。以表示正交曲線坐標(biāo)，則有 因：于是由于的微小改變而引起的空間尺度變化同理 標(biāo)量函數(shù)的梯度的各分量為： 矢量函數(shù)的散度矢量場中單位體積的通量取由六個(gè)曲面圍成的微小六面體設(shè)分別為沿增加方向的分量，于是又 = §40.1 拉普拉斯方程.在球坐標(biāo)系中 設(shè) 則 有b. 在柱坐標(biāo)系中 §40.2 波動(dòng)方程 令 §40.3 輸運(yùn)方

2、程 令§40.3 亥姆霍茲方程 在球坐標(biāo)系中： 球貝塞爾方程在柱坐標(biāo)系中：綜上所述，對于齊次的波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、穩(wěn)定場方程在球、柱坐標(biāo)系中有如下解的形式： §41 常點(diǎn)鄰域的級數(shù)解法用球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)對齊次波動(dòng)、輸運(yùn)、穩(wěn)定場方程進(jìn)行分離變量，最后問題的癥結(jié)是階締合勒讓德方程和貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程。而這些方程大都是二階常微分方程：、。而這些方程并不能用“高等數(shù)學(xué)”中的方法求解。比較普通的方法是級數(shù)解法。若要考慮解在某點(diǎn)附近的情形，而該點(diǎn)對于中、為解析，則該點(diǎn)稱為常點(diǎn)。于是將、在常點(diǎn)展為泰勒級數(shù)后代入方程，合并同冪項(xiàng)最后令系數(shù)為零，并求出收斂半徑。例 在的鄰域上求解階勒讓德

3、方程 解：， ， 則是方程的常點(diǎn)令則 代入方程有： 于是又： 按照遞推公式有：于是 則級數(shù)的收斂半徑 即兩級數(shù)均收斂于，即。而對于，有證明兩級數(shù)發(fā)散，即。、級數(shù)發(fā)散。然而對于大多數(shù)定解問題，要求在一切方向保持有限，因而、可作為自然邊界條件而對解提出限制。注意到，為偶數(shù)時(shí)，僅有有限個(gè)非零項(xiàng)；為奇數(shù)時(shí)，僅有限個(gè)非零項(xiàng)。因而自然條件要求：為偶數(shù)時(shí)，舍去項(xiàng)；為奇數(shù)時(shí)，舍去項(xiàng)，即勒讓德方程和自然邊界條件構(gòu)成本征值問題，其本征值為（為整數(shù)）。本征函數(shù)為階勒讓德多項(xiàng)式。§42 正則奇點(diǎn)鄰線上的級數(shù)解法若所選定的點(diǎn)是方程中或的奇點(diǎn)，則應(yīng)將做羅朗級數(shù)展開，并設(shè)解的最低次冪為s（）。即代入方程，若能解出

4、s的兩個(gè)值。則稱為正則奇點(diǎn)，否則嘗試解不成功。設(shè) 則有： 當(dāng)或時(shí)，最低冪項(xiàng)系數(shù)和為零，即這些均解不出s的兩個(gè)值，則不是正則奇點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，則最低冪系數(shù)和為可解出兩個(gè)s，則為正則奇點(diǎn)（上方程中當(dāng)或時(shí)或?yàn)榱悖τ诓煌膕，則求出相應(yīng)的y(x),組合即為方程的通解。例、在的鄰線上求解m階貝塞爾方程。 （m為常數(shù)） m>0解：因， 是的一、二階極點(diǎn)，滿足，則是方程的正則奇點(diǎn)。令代入整理有： 因則 （m>0）則得，又由遞推公式（1）先取得因則得到貝塞爾方程的一個(gè)特解：該級數(shù)的收斂半徑為：通常取則其中： （） （負(fù)整數(shù)）（2）再取，得因則得到貝塞爾方程的另一特解：該級數(shù)的收斂半徑為：通常取則于是

5、貝塞爾方程的通解為討論：若所討論的區(qū)域包含點(diǎn)x=0，因含負(fù)冪項(xiàng)，則應(yīng)排除。若m為非負(fù)整數(shù)，只要，則分母趨于無窮，級數(shù)求和實(shí)際上從k=m 開始，可以證明（P254），= 即不成為第二個(gè)特解。這時(shí)通解采用貝塞爾函數(shù)和紐曼函數(shù)的線性組合。例、在的鄰域求解整數(shù)階貝塞爾方程。由前：因非獨(dú)立，因此取代入原方程有最低的冪為對于時(shí)： ，有，任意由任意遞推出各項(xiàng)和組成同第一解。列下表： 無（設(shè)為零）最后可以求得取令則整數(shù)階貝塞爾方程的通解為練習(xí)：P260 6§43 斯特姆劉維本征值問題 將偏微分方程分離變量，最后分離成帶有參數(shù)的常微分方程，然而這些常微分方程還應(yīng)滿足邊界條件，而滿足這些邊界條件的非零解

6、往往不存在，除非引入的參量取某些特定值本征值，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)。二階常微分方程通?？杀硎緸樗固啬穭⒕S型：附以相應(yīng)的邊界條件，就構(gòu)成斯特姆劉維本征值問題。不妨假定:若端點(diǎn)a或b是k(x)的一級零點(diǎn)，則該端點(diǎn)存在著自然邊界條件。將斯特姆劉維方程變換成，若x=a是k(x)的一級零點(diǎn)，則x=a是方程的正則奇點(diǎn) 代人判定方程。 對于物理上有意義的解s應(yīng)取實(shí)數(shù)，因此s1、s2要么一正一負(fù)，要么同為零。對于負(fù)根s2的解含有(x-a)的負(fù)冪項(xiàng)，因而在x=a成為無窮大。如s1=s2=0，則兩根之差為整數(shù)，其中一根應(yīng)取，在x=a處，該根成為無限大，因而x=a成為無限大的解應(yīng)該排除，這正是自然邊界條件。如k(x)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，q(x)連續(xù)或者最多在邊界有一階極點(diǎn)，則存在無限多個(gè)本征值相應(yīng)地有本征函數(shù)、這些本征函數(shù)的排列次序正好使節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)依次增多。例如在一維無限深勢井中運(yùn)動(dòng)的粒子，其波函數(shù)為。所有本征值設(shè)本征函數(shù)和本征值滿足，兩邊乘以并對x從a到b積分，則有 上式中第三、四項(xiàng)明顯為正，而第一項(xiàng)對于第一類、第二類、第三類而第二項(xiàng)對于第一類、第二類、第三類 齊次邊界條件不小于零。相應(yīng)于不同本征值和上帶權(quán)重。證： 兩式相減得兩邊從a到b積分得：對于第一項(xiàng)，若端點(diǎn)x=b的邊界條件是第一類齊次條件和或第二類齊次邊界條件和或自然邊界條件k(b)=0