二項(xiàng)式定理及性質(zhì)

1、2013-2014學(xué)年度xx學(xué)校xx月考卷1、在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則(   )A.45         B.60             C.120               D.210C本題考查二項(xiàng)式定理以及組合數(shù)的運(yùn)算，中檔題

2、由二項(xiàng)式定理知：，所以2、在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（  ）A  B   C   DC本題考查二項(xiàng)式定理及簡(jiǎn)單的組合運(yùn)算，簡(jiǎn)單題含項(xiàng)為3、的展開(kāi)式中的系數(shù)是（    ）A、-20 B、-5  C、5   D、20A 在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)展開(kāi)式為,則時(shí), ,故選A.本題考查：本題主要考查二項(xiàng)式定理4、若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)（   ）A.2  B.   C. 1  D. C二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，第項(xiàng)為

3、，令，得，所以，解得。因此選C。本題考查：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)及其方程的思想。5、在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為(    ).A.         B.         C.         D. C在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，為含的項(xiàng)，其系數(shù)是，故選擇C.6、展開(kāi)式中不含x項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為243，不含y的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)

4、值的各為32，則a,b,n的值可能為(    ).A. ，        B. ，C. ，        D. ，D注意到，因此依題意得，于是結(jié)合各選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)可知，當(dāng)時(shí)，因此選D.7、的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為(    ).A.-40        B.-20    

5、;    C.20        D.40D對(duì)于，可令得，故.的展開(kāi)式的通項(xiàng)，要得到展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，則的x與展開(kāi)式的相乘，的與的展開(kāi)式的x相乘，故令得，令得，從而可得常數(shù)項(xiàng)為.8、若，則的值為（    ）A2    B0    C-1    D-2C令可得，所以.再令可得，因而.9、在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（    ）A.10 

6、60;      B.-10        C.40        D.-40D因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，含有x，其系數(shù)為.【易錯(cuò)點(diǎn)撥】二項(xiàng)式展開(kāi)式的第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，不是.10、的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為(    ).A.         B.     &#

7、160;   C.         D.105B二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為11、設(shè)，且，若能被13整除，則(    ).A.0        B.1        C.11        D.12D，被13整除余，結(jié)合選項(xiàng)可得時(shí)，能被

8、13整除.【易錯(cuò)點(diǎn)撥】造成此題錯(cuò)解的原因是對(duì)于較大數(shù)據(jù)的展開(kāi)沒(méi)有想到運(yùn)用二項(xiàng)式定理，或除13后余誤當(dāng)成余.12、的展開(kāi)式中的系數(shù)是(    ).A.42        B.35        C.28        D.21D依題意可知，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)等于，選D13、如果的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是（   ）

9、.A.7       B. -7      C.21      D. -21C令x=1得(3-1)n=128，n=7，在的展開(kāi)式中，令，得r=6，的系數(shù)為.故選C。14、在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含的奇次冪的項(xiàng)之和為,當(dāng)時(shí)，等于（   ）A.23015      B. -23014      C.23014 

10、0;    D. -23008B當(dāng)時(shí)，選B.15、如果的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為（  ）. A.3               B.5          C.6        D. 10B由得。    由2n-5k=0,

11、得2n=5k.    又nN*，kN,故n必為5的倍數(shù)，從而正整數(shù)n的最小值為5.16、在的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（    ）.A.第5,7項(xiàng)    B.第6項(xiàng)     C.第5,6項(xiàng)     D.第6,7項(xiàng)A展開(kāi)式的通項(xiàng)為其系數(shù)為當(dāng)k=4,6時(shí)，其值最大，因此二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5，7項(xiàng)。17、二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（   ）.A.第項(xiàng)    B.第項(xiàng)&#

12、160;   C.第項(xiàng)    D.不能確定D由于3n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定，所以此二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)不能確定。18、按的降冪排列系數(shù)最大的項(xiàng)是（    ）.A.第四項(xiàng)和第五項(xiàng)          B.第五項(xiàng)      C.第五項(xiàng)和第六項(xiàng)        D.第六項(xiàng)Bn=9,第五、六項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，但第六項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值。19

13、、設(shè)，則的值為（  ）.A. -2           B. -1        C.1       D.2A令x=-1,得a0+a1+a2+a11=(1+1)×(-2+1)9=2×(-1)9=-2.20、   展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. -36         B.

14、36          C. -84           D.84 C。令得k=3,故21、展開(kāi)式中的系數(shù)為（  ）.A.  15         B. 60          C.  120  &#

15、160;    D.  240B由6-k=2得k=4,故22、代數(shù)式可化簡(jiǎn)為（ ）.A.                    B. C.                     

16、    D.  C逆用二項(xiàng)展開(kāi)式，即由 (x+1)-14展開(kāi)得。23、9192被100除所得的余數(shù)為（    ）.A. 1           B.81           C. -81          D.992B利用的展開(kāi)式，或利用的展開(kāi)式.解法一：.

17、展開(kāi)式中前92項(xiàng)均能被100整除，只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù).由前91項(xiàng)均為能被100整除，后兩項(xiàng)和為-919,因原式為正，可從前面的數(shù)中分離出1 000,結(jié)果為1 000 -919 =81，9192被100除可得余數(shù)為81,故選B.解法二: 前91項(xiàng)均能被100整除，剩下兩項(xiàng)為92×90+1=8 281,顯然8 281除以100所得余數(shù)為81，故選B.【點(diǎn)評(píng)】利用二項(xiàng)式定理可以求余數(shù)和證明整除性問(wèn)題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面（或者是前面）一、二項(xiàng)就可以了.24、的開(kāi)式中的系數(shù)為  &

18、#160;     .(用數(shù)字填寫(xiě)答案)20本題考查組合數(shù)的計(jì)算、二項(xiàng)式定理，中檔題展開(kāi)式的通項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的項(xiàng)為，故系數(shù)為2025、的展開(kāi)式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以的系數(shù)為26、設(shè)，是大于的自然數(shù)，的展開(kāi)式為若點(diǎn)Ai(i，ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示，則a=_ 3本題考查解決二項(xiàng)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，關(guān)鍵是求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，屬于一道中檔題本題考查解決二項(xiàng)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，關(guān)鍵是求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，屬于一道中檔題（1+）n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由圖知，a0=1，a1=3，a2=4，a23a=0

19、，解得a=3，故答案為：327、的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則a=_.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)本題考察二項(xiàng)式定理，簡(jiǎn)單題當(dāng)28、    如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2334    設(shè)第n行，展開(kāi)式中的第14、15項(xiàng)分別為、，解得n3429、設(shè)，則_.0的展開(kāi)式的通項(xiàng)為.由題意知，分別是含和項(xiàng)的系數(shù)，所以，所以.30、的展開(kāi)式中，的系數(shù)是_(用數(shù)字作答).84原問(wèn)題等價(jià)于求的展開(kāi)式中的系數(shù)，的通項(xiàng)，令得，的系數(shù)為，即的展開(kāi)式中的系數(shù)為84.31、設(shè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B.若B

20、=4A，則a的值是_.2對(duì)于，.B=4A，.32、若將函數(shù)表示為，其中為實(shí)數(shù)，則_.10不防設(shè)，則，因此有，則.33、在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于_.-160利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.展開(kāi)式的第項(xiàng)，令，得常數(shù)項(xiàng)為.34、若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為_(kāi).4二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是，根據(jù)已知得，解得.35、在的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng).6注意到二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)是.當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)是有理數(shù).因此的展開(kāi)式中，系數(shù)是有理數(shù)的項(xiàng)共有6項(xiàng)36、的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).-5的展開(kāi)式的通項(xiàng).令，得，令，得(舍去)，令，得.所以所求的常數(shù)項(xiàng)為：.37、在的二

21、項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_.60由的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.38、觀察下列等式：，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于，_.給出的一系列等式中，右邊為兩項(xiàng)形式加減輪換的規(guī)律，其中第一個(gè)的指數(shù)由3，7，11，4n-1構(gòu)成，第二個(gè)的指數(shù)由1，3，5，2n-1構(gòu)成.故等式的右邊為.39、若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi). 56由可知，所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，所以，所以的系數(shù)為40、的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(    ).A.3      

22、0; B.2        C.2        D.3D的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，.當(dāng)因式中提供時(shí)，則取；當(dāng)因式中提供2時(shí)，則取，所以的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是5-2=3.41、將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如圖1-4-5所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱(chēng)為萊布尼茨三角形從萊布尼茨三角形可看出，其中x=_令，則=_.r+1；從萊布尼茨三角形可以看出，下一行兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和等于肩上的上一行的分?jǐn)?shù)之和，x=r+1.又。42、由等式定義映射，則等于_(0，-3，4，-1)設(shè)f(4

23、，3，2，1)=(b1，b2，b3，b4)，則x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)4+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4.解法一：令x+1=0，即x=-1，得b4=-1.    對(duì)式兩邊求導(dǎo)得4x3+12x2+6x+2=4(x+1)3+3b1(x+1)2+2b1(x+1)+b3，再令x=-1得b3=4.    同理可得b1=0，b2=-3.    解法二：x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)-14+4(x+1)-13+3(x+1)-12+2(x+1)-1+1=(x+1)4-3(x+1)2+

24、4(x+1)-1，比較系數(shù)可知b1=0，b2=-3，b3=4，b4=-1.故填(0，-3，4，-1).43、已知，則的值為_(kāi) 奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)a0、a2、a4、a6均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)a1、a3、a5、a7均為負(fù)數(shù)，故即當(dāng)x=-1時(shí)，a0-a1+a2-a3+a6-a7=-214.44、的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_(用數(shù)字作答)，由30-5k=0，得k=6，故.45、展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）.594。令得k=10，故46、的展開(kāi)式中的系數(shù)是_.5變換部分展開(kāi)確定系數(shù),或利用雙通項(xiàng)來(lái)求解.解法一：，的系數(shù)為 1×( -1)+( -2)×( -3) =5.解法二: 的通項(xiàng)

25、：，的通項(xiàng): ，的通項(xiàng)：（其中，).令，則有，或，或故的系數(shù)為.故填5.【點(diǎn)評(píng)】本題解法一僅適用于冪指數(shù)較小的二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式，而解法二的雙通項(xiàng)法則是解決這類(lèi)問(wèn)題的通法.所謂雙通項(xiàng)法就是根據(jù)多項(xiàng)式與多 項(xiàng)式的乘法法則得到的展開(kāi)式中的一般項(xiàng)為 (注意這里含有的項(xiàng)不一定只有一項(xiàng)），再根據(jù)題目中對(duì)字母的指數(shù)的特殊要求，確定r與k所滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而求出r、k所取的值的情況.從而使問(wèn)題順利地解決.推廣到一般可得三通項(xiàng)法、四通項(xiàng)法47、如圖所示，在一塊木板上釘一些正六棱柱形的小木塊，在它們中間留下一些通道,從上面的漏斗直通到下部的長(zhǎng)方形框子,前面用一塊玻璃擋住.把小彈子倒在漏斗里,它首先會(huì)通過(guò)

26、中間的一個(gè)通道落到第二層（有幾個(gè)通道就算第幾層）的六棱柱上面，以后,再落到第二層中間的一個(gè)六棱柱的左邊或右邊的兩個(gè)豎直通道里邊去.再以后,它又會(huì)落到下一層的三個(gè)通道之一里邊去，以此類(lèi)推，最終落到下邊的長(zhǎng)方形框子中.假設(shè)我們總共在木板上做了層通道,在頂上的漏斗里一共放了顆小彈子,讓它們自由落下,落到下邊個(gè)長(zhǎng)方形框子里,那么落在每個(gè)長(zhǎng)方形的框子里時(shí)的彈子的數(shù)目（按照可能情形來(lái)計(jì)算）會(huì)是多少？你能用學(xué)過(guò)的二項(xiàng)式定理與概率的知識(shí)來(lái)解釋這一現(xiàn)象嗎？見(jiàn)解析彈子從每一個(gè)通道通過(guò)時(shí)可能情況是:它選擇左右兩個(gè)通道的可能性是相等的,而其他任何一個(gè)通道的可能情形等于它左右肩上兩個(gè)通道的可能情形的和.可以設(shè)想，第1層

27、只有1個(gè)通道,通過(guò)的概率是1;第2層有2個(gè)通道，每個(gè)通過(guò)的概率依次是;第3層有3個(gè)通道,每個(gè)通過(guò)的概率從左到右依次是;第4層有4個(gè)通道，每個(gè)通過(guò)的概率從左到右依次是；照這樣計(jì)算第層有個(gè)通道,彈子通過(guò)各通道的概率將是多少呢？我們可以寫(xiě)出如下圖所示的“概率三角形”，可得出它與楊輝三角的關(guān)系：第行各概率的分子是楊輝三角中的數(shù)，分母是.由此可知,落在每個(gè)長(zhǎng)方形的框子里的彈子的數(shù)目（按照可能情形來(lái)計(jì)算)分別是：.1即正好等于二項(xiàng)式系數(shù)：.【點(diǎn)評(píng)】本題中通過(guò)觀察特殊圖形，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律:彈子通過(guò)每一通道時(shí)，它選擇左、右兩通道的可能性相等,并且經(jīng)過(guò)任一通道 的可能性等于它肩上兩個(gè)通道的可能情形之和.進(jìn)而不難把

28、它與“楊輝三 角”聯(lián)系在一起,使問(wèn)題順利地解決.本題的解決過(guò)程進(jìn)一步體現(xiàn)了“觀察分析，實(shí)驗(yàn)歸納猜想證明”的基本思想方法.其中觀察、分析、實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想結(jié)論是其關(guān)鍵,是我們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的地方.48、設(shè)成等差數(shù)列，求證: .見(jiàn)解析證明：由題意知:,又. 令，則.兩式相加得：=.【點(diǎn)評(píng)】利用二項(xiàng)式定理可以解決某些數(shù)列求和問(wèn)題，本例中利用倒序相加求和法，并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)，把所求的和轉(zhuǎn)化為的問(wèn)題，為運(yùn)用二項(xiàng)式定理知識(shí)解決問(wèn)題創(chuàng)設(shè)了條件.我們應(yīng)從本題中領(lǐng)悟到如何 對(duì)問(wèn)題實(shí)施轉(zhuǎn)化，還有如何為應(yīng)用二項(xiàng)式定理創(chuàng)設(shè)條件的真諦.49、求證：.見(jiàn)解析觀察等式右邊的組合數(shù)的特征，聯(lián)想二項(xiàng)式定理可知它是的展開(kāi)式中的系數(shù)

29、，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等式左邊也應(yīng)該是的展開(kāi)式中的系數(shù)，而等式左邊每一項(xiàng)的各因子又都是展開(kāi)式中 各項(xiàng)的系數(shù)，所以想到要將轉(zhuǎn)化為再分別展開(kāi)證明：的展開(kāi)式中的系數(shù)為.又，則等式右邊整理后的系數(shù)為.兩種形式下的展開(kāi)式中的系數(shù)應(yīng)該相等，.50、設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，.(1)寫(xiě)出，并判斷是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）見(jiàn)解析；（2） (1)由已知可得，.當(dāng)，時(shí)，因此.由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，是以d為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不是等比數(shù)列.(2)由(1)可知，從而，. 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，式兩邊同乘得.，式相減可得.化簡(jiǎn)即得.綜上，51、設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，公比q

30、是的展開(kāi)式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列）（1）用n、x表示通項(xiàng)以及前n項(xiàng)和；（2）若，用n、x表示（1）；（2）(1)由知        (2)當(dāng)x=1時(shí)，Sn=n，    又    故當(dāng)x1時(shí)，             52、設(shè)是定義在R上的一個(gè)給定的函數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）時(shí)，求見(jiàn)解析(1)當(dāng)f(x)=1時(shí)，      

31、;   (2)當(dāng)f(x)=x時(shí)，    53、在的展開(kāi)式中，試求使的系數(shù)為最小值時(shí)P的值P=4解法一；通項(xiàng)又(1+px)r的通項(xiàng)為，        而m+r=4，且0mr10.        x4的系數(shù)為    僅當(dāng)p=-4時(shí)，x4的系數(shù)為最小。    解法二：            因展開(kāi)式可知，x4的系數(shù)為  &#