常微分方程自學(xué)練習(xí)題

1、常微分方程自學(xué)習(xí)題及答案一 填空題:1 一階微分方程的通解的圖像是 維空間上的一族曲線.2 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 y1(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是_.3 方程的基本解組是_.4 一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是_區(qū)間.5 方程的常數(shù)解是_.6 方程 一個(gè)非零解為 x1(t) ,經(jīng)過(guò)變換_7 若4(t)是線性方程組的基解矩陣, 則此方程組的任一解4(t)=_.8 一曲線上每一占切線的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍,則此曲線方程為_.9 滿足_條件的解,稱為微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)我們稱這種微分方程為_.11 一階線性方程有積分因子( ).12

2、 求解方程的解是( ).13已知(為恰當(dāng)方程,則=_.14 ,由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是( ).15方程的通解是( ).16方程的階數(shù)為_.17若向量函數(shù)在區(qū)間D上線性相關(guān),則它們的伏朗斯基行列式w (x)=_.18若P(X)是方程組的基本解方陣則該方程組的通解可表示為_.19、一般而言，弦振動(dòng)方程有三類邊界條件，分別為：第一類邊界條件u(0,t)=g1(t), ；第二類邊界條件， ；第三類邊界條件F， T，其中k0,k1,T都是大于零的常數(shù)，u(t),v(t)為給定的函數(shù)。20、在偏微分方程組中，如果方程個(gè)數(shù) 未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，則方程組為不定的。反之，如果方程的個(gè)數(shù) 未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，則方

3、程組稱為超定的。（選填“多于”、“少于”或“等于”）21、一般2個(gè)自變量2階線性偏微分方程有如下形式： ，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的連續(xù)可微函數(shù)，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同時(shí)為0。方程中稱為方程的2階主部。若其2階主部的系數(shù)a,b,c作成的判別式=b2-ac在區(qū)域中的某點(diǎn)（x0,y0）大于零，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是 型的；如果=0，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是 型的；如果<0，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是 型的。（選填“橢圓”、“雙曲”、“拋物”）二 單項(xiàng)選擇:1 方程滿足

4、初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是( ).(A)上半平面 (B)平面 (C)下半平面 (D)除y 軸外的全平面2 方程( ) 奇解. (A) 有一個(gè) (B) 有兩個(gè) (C) 無(wú) (D) 有無(wú)數(shù)個(gè)3 在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是( ).(A) (B) (C) (D)4 方程的一個(gè)特解形如( ). (A) (B) (C) (D)5 連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的( )條件（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二階線性非齊次微分方程的所有解( ). (A)構(gòu)成一個(gè)2維線性空間 (B)構(gòu)成一個(gè)3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間 (D)構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間7 方程

5、過(guò)點(diǎn)(0,0)有( ). (A) 無(wú)數(shù)個(gè)解 (B)只有一個(gè)解 (C)只有兩個(gè)解 (D)只有三個(gè)解 8 初值問(wèn)題 x , 在區(qū)間,上的解是( ). (A) (B) (C) (D) 9 方程是( ). (A) 一階非線性方程 (B)一階線性方程 （C)超越方程 (D)二階線性方程10 方程的通解是( ). (A) (B) (C) (D)11 方程的一個(gè)基本解組是( ). (A) (B) (C) (D)12 若y1和y2是方程的兩個(gè)解,則 （e1,e2為任意常數(shù)）(A) 是該方程的通解 (B)是該方程的解 (C) 不一定是該方程的通解 (D)是該方程的特解13 方程過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為,此解存在(

6、). (A) (B) (C) (D)14 方程是( ) . (A) 可分離變量方程 (B) 齊次方程 (C)全微分方程 (D) 線性非齊次方程15 微分方程的通解是( ).(A) (B) (C) (D)16 在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是( ).(A) (B) (C) (D)17 方程的一個(gè)數(shù)解形如( ). (A) (B) (C) (D)18 初值問(wèn)題 在區(qū)間上的解是( ).(A) (B) (C) (D) 三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通積分: (1) (2) (3) (4) (5)2 求方程的解 3 解方程:并求出滿足初始條件:當(dāng)x=0時(shí),y=2的特解4 求方程: 5求方程:

7、 的通解6 求的通解.7 求解方程: 8 求方程: 的解9 求方程的通解10 求下列方程組的通解11求初值問(wèn)題 的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1) (2) (3) (三種方法) (4)13 計(jì)算方程 的通解14計(jì)算方程 15 求下列常系數(shù)線性微分方程: 16 試求 x的基解矩陣17 試求矩陣 的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.18 試求矩陣 的特征值和特征向量19 解方程組 20、21、求解初值問(wèn)題 （提示：使DAlembert 公式）22、求解初值問(wèn)題23、求解第一初邊值問(wèn)題 四 名詞解釋 1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3變量分離方程 4伯努利方程 5條件 6 線性相

8、關(guān)五 證明題1在方程中已知p(x);q(x)在上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.2 設(shè)x1(t)、x2(t)分別是非齊次性線方程 證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設(shè)f (x)在0；+上連續(xù)且f (x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y (x)=04 在方程中p(x)、q(x)在（）上連續(xù)；求證：若p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w（x）是（）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數(shù)組（其中當(dāng)時(shí)）在任意區(qū)間（a ,b）上線性無(wú)關(guān)。7試證：習(xí)題答案一 填空題:1、 22、 線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式

9、不等于零）3、 ex ; xex4、 開5、 6、 7、 ,c為常數(shù)列向量8、 y=x2+c9、 初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c ; c為任意正常數(shù)13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數(shù)列向量19、u(l,t)=g2(t) , 20、多于，少于21、雙曲，拋物，橢圓二 單項(xiàng)選擇 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D三 求下列方程的解1 (1）解：當(dāng)時(shí)，分離變量取不定積分，得 通積分為 1ny= Cex（2）解：令y

10、= xu , 則代入原方程，得 分離變量，取不定積分，得 （） 通積分為：（3） 解： 方程兩端同乘以 y-5,得 令y -4= z ，則代入上式，得 通解為 原方程通解為 （4） 解： 因?yàn)?， 所以原方程是全微分方程。 ?。▁0,y0）=（0，0）原方程的通積分為 即 （5） 解：原方程是克萊洛方程，通解為： y = cx+2c32 解：設(shè)則方程化為 ，積分后得y = ct 即 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5為任意常數(shù)= = f1(t) + f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2 (t)的解。 3

11、解： 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里c是任意常數(shù)。以x=0 , y=1代入通解中以決定任意常數(shù)c，得到 c = -1 因而，所求特解為 4 解：以 及 代入，則原方程變?yōu)?即 將上式分離變量,即有 兩邊積分,得到 這里是任意函數(shù),整理后,得到 令,得到 sinu = cx 5 解: 令z = y-1得 代入原方程得到 這是線性方程,求得它的通解為 代回原來(lái)的變量y , 得到 這就是原方程的通解。此外，方程還有解 y=0 。 6 解： 這里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，這時(shí) 因此方程是恰當(dāng)方程?，F(xiàn)在求u ，使它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程 由（1）對(duì)x 積分

12、，得到 為了確定，將（3）對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足（2），即得 于是 = 4y4 積分后可得 =y4 將代入（3），得到 u = x3 + 3x2y2 + y4 因此，方程的通解為 x3 + 3x2y2 + y4=c 這里c是任意常數(shù) 7 解： 特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個(gè)實(shí)值解cost、tcost 、sint 、tsint 故通解為x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1 ; c2 ; c3 ; c4為任意常數(shù) 8 解： 令 則方程化為： 積分后得y=ct 即于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5 其中c1 ; c2 c

13、5 為任意常數(shù) ，這就是原方程的通解。 9 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 特征根為 齊次方程的通解為 y=C1+C2e5x 因?yàn)閍=0 是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 y1(x)=x（Ax2 + Bx + C） 代入原方程，比較系數(shù)確定出 A=， B= ，C= 原方程的通解為 10 解： 先解出齊次方程的通解 =C1 +C2 令非齊次方程特解為 =C1(t)+C2(t) 滿足 = 解得 積分，得 通解為 11 解： M=max=4 故解的存在區(qū)間為 2) q0(x)=0 q1(x)=0 q2(x)=0+ = 12 求方程的通解: 1) 解: 變形(1),將y看作自變量, x為未知函數(shù)

14、解齊線性方程, 通解為x = cy 令x = c (y)y. (2)微分得, 由(1)(2)知 ,積分得故(是任意常數(shù)) 2) 解: 令則, 于是 則原方程變?yōu)?即 將上式分離變量有 積分得為任意常數(shù)。整理令得 方程還有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解為 sinu = cx (c為任意常數(shù)) 3）(三種方法) 解：法一，這里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y 因此此方程是恰當(dāng)方程 現(xiàn)求 u使（1）， （2） 對(duì)（1）中x積分得 （3） 對(duì)（3）中y求導(dǎo) 積分得，代入（3）得 故通解為，c為任意常數(shù) 法二，重新組合得 ，即 于是通解為其中c是任意常數(shù)。 4） 解：

15、 令則 對(duì)x求導(dǎo)得 積分得 于是方程通解為 （p=0）13 方程的通解 解： 齊次方程是 由于2i是特征方程單根 故所求特解應(yīng)具形式 代入原方程 故通解為，其中c1c2為任意常數(shù)14 解：特征方程有重根 因此對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數(shù)。 因?yàn)椴皇翘卣鞲F(xiàn)求形如的特征解， 代入原方程化簡(jiǎn) 于是 故 故通解為其中c1,c2為任意常數(shù) 15 求下列常系數(shù)線性微分方程 對(duì)應(yīng)的齊次方程為 特征方程為 特征根為 a不是特征根， 故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x的特解代入原方程得 故原方程通解為，（為任意常數(shù)） 16 解：因?yàn)?= + 而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的 得到 t

16、 = E + t + 但是， = 所以，級(jí)數(shù)只有兩項(xiàng)。因此，基解矩陣就是 17 解： 特征方程為 因此，是A的二重特征值.為了尋求對(duì)應(yīng)于的特征向量,考慮方程組 因此, 向量 是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù). 18 解A特征方程為 特征根為 對(duì)應(yīng)于1=3+5i的特征向量滿足 解得u = a 為任意常數(shù) 對(duì)應(yīng)于特征向量滿足 解得 為任意常數(shù) 19 解:的特征方程為 1=1, 2=4為特征根,為方程組解a為任意常數(shù). 為方程組解. 這樣為方程的解 20、解： 21、解：由DAlembert 公式公式為則=22、解：由 令 則 已知誤差函數(shù)定義，故23、解：第一步對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其不包括b

17、2u項(xiàng)。令u=veat，代入方程，有令a=-b2,則u=,v為定解問(wèn)題的解。由分離變量法，得四 名詞解釋 1 聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，稱之為微分方程。 2 如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，稱這種微分方程的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上 的微分方程稱為偏微分方程。 3 形如 的方程，稱為變量分離方程，這里分別是x , y的連續(xù)函數(shù)。 4 形如 的方程，稱為伯努利方程，這里為x的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù) 5 函數(shù)f (x , y)稱為在R上關(guān)于y滿足條件，如果存在常數(shù)L>0,使得不等式對(duì)于所有都成立, L稱為常數(shù). 6 定義在區(qū)間上的函數(shù), 如果存在不全為零的常數(shù)c1 , c2 , . ck 使得恒等式對(duì)于所有都成立,稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的. 五 1在方程中,已知p (x),q (x)在上連續(xù),求證:該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切.證明：方程，設(shè)是它的任一非零解。 若p (x),q (x)在上連續(xù)，假設(shè)在平面上與軸相切。 則與方程有非零解矛盾。 故與x軸不相切。 2 由已知得 把x1(