初三數(shù)學專題講義-存在性問題(共16頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上初三數(shù)學講義存在性問題 教學過程：一、教學銜接（課前環(huán)節(jié)） 1、回收上次課的教案，了解家長的反饋意見； 2、檢查學生的作業(yè)，及時指點3、捕捉學生的思想動態(tài)和了解學生的本周學校的學習內容二、知識點解析 存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設存在推理論證得出結論。若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷。由于“存在性”問題的結論有兩種可能，所以具有開放的特征，在

2、假設存在性以后進行的推理或計算，對基礎知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對我們知識、能力的一次全面的考驗。一、函數(shù)中的存在性問題（相似）1.（2011棗莊10分）如圖，在平面直角坐標系中，把拋物線向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線.所得拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與軸交于點C，頂點為D. （1）寫出的值； （2）判斷ACD的形狀，并說明理由；（3）在線段AC上是否存在點M，使AOMABC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.二、函數(shù)中的存在性問題（面積）2. 如圖，拋物線與雙曲線相交于點A，B已知點B的坐標為（

3、2，2），點A在第一象限內，且tanAOX4過點A作直線AC軸，交拋物線于另一點C（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計算ABC的面積；（3）在拋物線上是否存在點D，使ABD的面積等于ABC的面積若存在，請你寫出點D的坐標；若不存在，請你說明理由三、函數(shù)中的存在性問題（四邊形）yABCOx3 如圖，二次函數(shù)y= -x2+ax+b的圖像與x軸交于A(-，0)、 B(2，0)兩點，且與y軸交于點C； (1) 求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀； (2) 在x軸上方的拋物線上有一點D，且以A、C、D、B四 點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標； (3) 在此拋物線上是否存在點P，使

4、得以A、C、B、P四點 為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。鞏固練習，及時反饋1.如圖，已知拋物線經(jīng)過A（2，0），B（3，3）及原點O，頂點為C（1）求拋物線的解析式；（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由2.如圖，第一象限內半徑為2的C與軸相切于點A，作直徑AD，過點D作C的切線l交軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的

5、解析式為：=k+3。(1) 設點P的縱坐標為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關系式。(2)設C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有AMNABP。請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；(3)是否存在使AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由。3已知直角坐標系中有一點A（4，3），點B在x軸上，AOB是等腰三角形(1）求滿足條件的所有點B的坐標；(2）求過O、A、B三點且開口向下的拋物線的函數(shù)表達式（只需求出滿足條件的一條即可）；(3）在（2）中求出的拋物線上存在點P，使得以O，A，B，P四點為頂點的四邊形是梯形

6、，求滿足條件的所有點P的坐標及相應梯形的面積4、在直角坐標系中，已知點P是反比例函數(shù)（0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與軸相切，設切點為A（1）如圖1，P運動到與軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由（2）如圖2，P運動到與軸相交，設交點為B，C當四邊形ABCP是菱形時：求出點A，B，C的坐標在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由5如圖所示，拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點以為直徑作過拋物線上一點作的切線切點為并與的切線相交于點連結并延長交于點連結(1）求拋物線所對應的函

7、數(shù)關系式及拋物線的頂點坐標；(2）若四邊形的面積為求直線的函數(shù)關系式；(3）拋物線上是否存在點，使得四邊形的面積等于的面積？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 1、【答案】解：（1）由平移的性質知，的頂點坐標為（，）， 。 （2）由（1）得. 當時， 解之，得。 . 又當時，C點坐標為（0，3）。又拋物線頂點坐標D（1，4），作拋物線的對稱軸交軸于點E，DF 軸于點F。易知在RtAED中，AD2=22+42=20，在RtAOC中，AC2=32+32=18， 在RtCFD中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。ACD是直角三角形。（3）存在作OMBC交AC于M，點即為所求點。

8、由（2）知，AOC為等腰直角三角形，BAC450，AC。由AOM ABC，得。即。過M點作MGAB于點G，則AG=MG=，OG=AOAG=3。又點M在第三象限，所以M（，）。2、【答案】解：（1）把點B（2，2）的坐標代入得，4。雙曲線的解析式為：。設A點的坐標為（m，n）A點在雙曲線上，mn4。又tanAOX4，4，即m4n。n21，n±1。A點在第一象限，n1，m4。A點的坐標為（1，4）。把A、B點的坐標代入得，解得，1，3。拋物線的解析式為：。（2）AC軸，點C的縱坐標y4，代入得方程，解得14，21（舍去）。C點的坐標為（4，4），且AC5。又ABC的高為6，ABC的面積&

9、#215;5×615。（3）存在D點使ABD的面積等于ABC的面積。理由如下：過點C作CDAB交拋物線于另一點D，此時ABD的面積等于ABC的面積（同底：AB，等高：CD和AB的距離）。直線AB相應的一次函數(shù)是：，且CDAB，可設直線CD解析式為，把C點的坐標（4，4）代入可得，。直線CD相應的一次函數(shù)是：。解方程組，解得，。點D的坐標為（3，18）。3、答案：解 (1) 根據(jù)題意，將A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解這個 方程，得a=，b=1，該拋物線的解析式為y= -x2+x+1，當 x=0時，y=1， 點C的坐標為(0，1)。在AOC中，AC=。 在

10、BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 點D的坐標為(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。yABCOxP j 若以BC為底邊，則BC/AP，如圖1所示，可求得直線 BC的解析式為y= -x+1，直線AP可以看作是由直線 BC平移得到的，所以設直線AP的解析式為y= -x+b， 把點A(-，0)代入直線AP的解析式，求得b= -， 直線AP的解析式為y= -x-。點P既在拋物線上，又在直線AP上，yABCOPx 點P的縱坐標相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。當x=時，y= -，點P

11、(，-)。 k 若以AC為底邊，則BP/AC，如圖2所示。 可求得直線AC的解析式為y=2x+1。 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設直線BP的解析式為y=2x+b，把點B(2，0)代 入直線BP的解析式，求得b= -4， 直線BP的解析式為y=2x-4。點P既在拋物線 上，又在直線BP上，點P的縱坐標相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 當x= -時，y= -9，點P的坐標為(-，-9)。 綜上所述，滿足題目條件的點P為(，-)或(-，-9)。練習1、【答案】解：（1）設拋物線的解析式為，拋物線過A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解

12、得。拋物線的解析式為。（2）當AE為邊時，A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，DE=AO=2，則D在軸下方不可能，D在軸上方且DE=2，則D1（1，3），D2（3，3）。當AO為對角線時，則DE與AO互相平分。點E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標為1，由對稱性知，符合條件的點D只有一個，與點C重合，即C（1，1）。故符合條件的點D有三個，分別是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如圖：B（3，3），C（1，1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與BOC相似

13、，設P（，），由題意知0，0，且，若AMPBOC，則。即 +2=3（2+2）得：1=，2=2（舍去）當=時，=，即P（，）。若PMABOC，則，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）當=3時，=15，即P（3，15）故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）。2、解：（1）y軸和直線l都是C的切線，OAAD BDAD 。 又 OAOB，AOB=OAD=ADB=90°。四邊形OADB是矩形。C的半徑為2，AD=OB=4。點P在直線l上，點P的坐標為（4，p）。又點P也在直線AP上，p=4k+3。（2）連接DN。AD是C的直徑， AND=90°。 AND=

14、90°DAN，ABD=90°DAN， AND=ABD 。 又ADN=AMN，ABD=AMN。MAN=BAP AMNABP 。（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。AB=。 SABD= AB·DN=AD·DB，DN=。 AN2=AD2DN2=。AMNABP ， 即 。當點P在B點上方時，AP2=AD2PD2 = AD2(PBBD)2 =42(4k33)2 =16(k21)，或AP2=AD2PD2 = AD2(BDPB)2 =42(34k3)2 =16(k21)，SABP= PB·AD= (4k3)×4=2

15、(4k3)，。整理得k24k2=0 ， 解得k1 =2 ， k2=2 。當點P在B 點下方時，AP2=AD2PD2 =42(34k3)2 =16(k21) ，SABP= PB·AD= (4k3)×4=2(4k3)，。 整理得k2+1=（4k3）， 解得k=2。 綜合以上所得，當k=2±或k=2時，AMN的面積等于。3、【答案】解：作ACx軸，由已知得OC4，AC3，OA5(1）當OAOB5時，如果點B在x軸的負半軸上，如圖（1），點B的坐標為（5，0）如果點B在x軸的正半軸上，如圖（2），點B的坐標為（5，0）xyBCAOxyBCAO(2)(1)當OAAB時，點B

16、在x軸的負半軸上，如圖（3），BCOC，則OB8，點B的坐標為（8，0） 當ABOB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（4），在x軸上取點D，使ADOA，可知OD8由AOBOABODA，可知AOBODA，則，解得OB，點B的坐標為（，0）yBCAxO(3)(4)yABDxO(2）當ABOA時，拋物線過O（0，0），A（4，3），B（8，0）三點，設拋物線的函數(shù)表達式為，可得方程組，解得a，(當OAOB時，同理得(3）當OAAB時，若BPOA，如圖（5），作PEx軸，則AOCPBE，ACOPEB90°，AOCPBE，設BE4m，PE3m，則點P的坐標為（4m8，3m），代入，解得m3則點P

17、的坐標為（4，9），S梯形ABPOSABOSBPO48若OPAB（圖略），根據(jù)拋物線的對稱性可得點P的坐標為（12，9），S梯形AOPBSABOSBPO48(5)OyBCAxPE(6)xyBAOCPF(當OAOB時，若BPOA，如圖（6），作PFx軸，則AOCPBF，ACOPFB90°，AOCPBF，設BF4m，PF3m，則點P的坐標為（4m5，3m），代入，解得m則點P的坐標為（1，），S梯形ABPOSABOSBPO若OPAB（圖略），作PFx軸，則ABCPOF，ACBPFO90°，ABCPOF，設點P的坐標為（n，3n），代入，解得n9則點P的坐標為（9，27），S梯形

18、AOPBSABOSBPO754、【答案】解：（1）四邊形OKPA是正方形。理由如下：P分別與兩坐標軸相切，PAOA，PKOK。PAO=OKP=90°。又AOK=90°，PAO=OKP=AOK=90°。四邊形OKPA是矩形。又OA=OK，四邊形OKPA是正方形。（2）連接PB，設點P的橫坐標為，則其縱坐標為。過點P作PGBC于G。四邊形ABCP為菱形，BC=PA=PB=PC。PBC為等邊三角形。在RtPBG中，PBG=60°，PB=PA=，PG=。sinPBG= ，即解之得：=±2（負值舍去）。PG=，PA=BC=2。易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3。A（0，），B（1，0）C（3，0）。設二次函數(shù)解析式為：。據(jù)題意得：解之得：。 二次函數(shù)關系式為：設直線BP的解析式為：，據(jù)題意得：解之得：。直線BP的解析式為：。過點A作直線AMPB，則可得直線AM的解析式為：。解方程組：得過點C作直線CMPB，則可得直線CM的解析式為：。解方程組：得綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個：（0，），（7，8），（3，0），（4，）。5、答案：解：（1）因為拋物線與軸交于點兩點，設拋物線的函數(shù)關系式為：拋物線與軸交于點所以，拋物線的函數(shù)關系式為：