“將軍飲馬”模型詳解與拓展

1、“將軍飲馬”模型詳解與拓展平面幾何中涉及最值問題的相關(guān)定理或公理有： 線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短. 并由此得到三角形三邊關(guān)系；   垂線段的性質(zhì)：從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中,垂線段最短.  在一些“線段和最值”的問題中，通過翻折運(yùn)動(dòng)，把一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可應(yīng)用 、 的基本圖形，并求得最值，這類問題一般被稱之為“將軍飲馬”問題。問題提出：唐朝詩人李欣的詩古參軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題如下圖，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營請問怎樣走才能使總的路程最短？模型提煉：模

2、型【1】一定直線、異側(cè)兩定點(diǎn)直線l和l的異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小解答：根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段距離最短”，所以聯(lián)結(jié)AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)模型【2】一定直線、同側(cè)兩定點(diǎn)直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB最小解答：第一步：畫點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'根據(jù)“翻折運(yùn)動(dòng)”的相關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)A、A'到對稱軸上任意點(diǎn)距離相等，如下圖，AP=A'P，即把一定直線同側(cè)兩定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一定直線異側(cè)兩定點(diǎn)問題第二步：聯(lián)結(jié)A'B交直線l于點(diǎn)Q，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段距離最短”，此時(shí)“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最

3、短模型【3】一定直線、一定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)已知直線l和定點(diǎn)A，在直線k上找一點(diǎn)B點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找點(diǎn)P，使得AP+PB最小解答：第一步：畫點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'第二步：過點(diǎn)A'做A'Bk于點(diǎn)B且交直線l于點(diǎn)P，根據(jù)“從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中,垂線段最短”，可知A'P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定點(diǎn)、兩定直線點(diǎn)P是MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B，使PAB的周長最小解答：策略：兩次翻折第一步：分別畫點(diǎn)P關(guān)于直線OM、ON的對稱點(diǎn)P1、P2第二步：聯(lián)結(jié)P1P2，交OM、ON于點(diǎn)A、點(diǎn)B根據(jù)“翻折運(yùn)動(dòng)”的相關(guān)性質(zhì)，AP

4、=AP1，BP=BP2；根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段距離最短”可知此時(shí)AP1+BP2+AB最短即ABP周長最短拓展如果兩定點(diǎn)、兩定直線呢？“如圖，點(diǎn)P，Q為MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB的周長最小”問題升級：問題：如圖，ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，試求作DEF的最小值解答：將點(diǎn)D視為定點(diǎn)，先作出DEF的最小值對應(yīng)的線段DD，而后研究DD隨著點(diǎn)D的位置變化過程中的最小值即可無論點(diǎn)D位置在何處，點(diǎn)C對線段DD的張角不變，即 DCD的大小不變，為2ACB. 因而，為使得DD最小，只需要CD = CD = CD最小即可，顯然當(dāng)CDAB時(shí)，有垂線段最小，從而內(nèi)接三角形DEF的周長最小現(xiàn)在已經(jīng)有CDAB，接下來說明點(diǎn)E、點(diǎn)F也正好是ABC的高線的垂足！如下列圖：D、D、D三點(diǎn)在以C為圓心的圓上，弧DD所對圓心角為DCD，所對圓周角為DDD，故有：(1/2)DCD=DD”D.由翻折又有：(1/2)DCD=ECD，得DD”D=ECD，故C、E、D、D四點(diǎn)共圓；另一方面：CDB+CD”B=180°，故C、D、B、D四點(diǎn)共圓，綜上有：C、E、