實(shí)際問題與二次函數(shù)拱橋問題（課堂PPT）

1、12活動(dòng)活動(dòng)1：美麗的拱橋345XY0BCA探究探究1:公園要建造圓形的噴水池，在水池中央公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子垂直于水面處安裝一個(gè)柱子OA，O點(diǎn)恰在水面點(diǎn)恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子頂端米，由柱子頂端A處的噴頭向處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水路線落下。為使水流較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離流在離OA距離為距離為1米處達(dá)到距水面最大高度米處達(dá)到距水面最大高度2.25米。如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑米。如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要多少

2、米，才能使噴出的水流落不到池外？至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？ 本題是涉及公園美化的本題是涉及公園美化的應(yīng)用性問題。應(yīng)用性問題。60BCA解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點(diǎn)解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點(diǎn) 為為B，水流落水與，水流落水與x軸交于軸交于C點(diǎn)。點(diǎn)。 由題意可知由題意可知A（，（，1.25）、）、 頂點(diǎn)頂點(diǎn)B（1，.25） XY設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x1)2+2.25 將點(diǎn)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得坐標(biāo)代入，得a= 1y= (x1)2+2.25當(dāng)當(dāng)y= 0，即，即(x 1) 2+2.25=0時(shí)，時(shí)，x= 0.5（舍去），（舍去）， x=2.5水池的半徑至少要水池的半徑至少要2

3、.5米。米。x= 0.5（舍去）（舍去）7變式變式. .要修建一個(gè)圓形噴水池要修建一個(gè)圓形噴水池, ,在池中在池中心豎直安裝一根水管心豎直安裝一根水管. .在水管的頂端在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭安裝一個(gè)噴水頭, ,使噴出的拋物線形使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為水柱在與池中心的水平距離為1m1m處處達(dá)到最高達(dá)到最高, ,高度為高度為3m,3m,水柱落地處離水柱落地處離池中心池中心3m,3m,水管應(yīng)多長水管應(yīng)多長? ?123123解解: :如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系, , 點(diǎn)點(diǎn)(1,3)(1,3)是是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)圖中這段拋物線的頂點(diǎn). . 因此可因此可設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)

4、的函數(shù)是設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0)(3,0) 0=a(3 0=a(31) 1)2 23 3 解得解得: :因此拋物線的解析式為因此拋物線的解析式為: :y=a(xy=a(x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),y=2.25,y=2.25答答: :水管長應(yīng)為水管長應(yīng)為2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y= (xy= (x1) 1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 48 如圖的拋物線形拱橋如圖的拋物線形拱橋,當(dāng)水面在當(dāng)水面在 時(shí)時(shí),拱橋頂離水面拱橋頂離水面 2 m,水面寬水面寬 4 m,水面下降水面下

5、降 1 m, 水面寬度增加多少水面寬度增加多少?l探究探究3：9探究探究3 3 圖中是拋物線形拱橋，圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水時(shí)，拱頂離水面面2m，水面寬，水面寬4m，水，水面下降面下降1m，水面寬度增，水面寬度增加多少？加多少？ 分析：我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)姆治觯何覀冎?，二次函?shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，為解題坐標(biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，為解題簡便，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為簡便，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建軸建立直角坐標(biāo)系立直角坐標(biāo)系42l10 拋物線

6、形拱橋，當(dāng)水面在拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 時(shí)，時(shí)，拱頂離水面拱頂離水面2m2m，水面寬度，水面寬度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面寬度增加多少？，水面寬度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的寬，水面的寬度為度為 m.3y6x62462水面的寬度增加了水面的寬度增加了m探究探究3：2axy 解：解：如圖建立如下直角坐標(biāo)系如圖建立如下直角坐標(biāo)系,設(shè)這條拋物設(shè)這條拋物線解析式為線解析式為21a由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-2），可得），可得221xy所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：3y當(dāng)水面下降

7、當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為11 拋物線形拱橋，當(dāng)水面在拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 時(shí)，時(shí)，拱頂離水面拱頂離水面2m2m，水面寬度，水面寬度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面寬度增加多少？，水面寬度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的寬度增加了水面的寬度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：解：如圖建立如下直角坐標(biāo)系，如圖建立如下直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線解析式為設(shè)這條拋物線解析式為21a由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0），可得），可得21(2)22yx 所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：所以，這條拋物線的二次函數(shù)為：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，所以，水面下降所以

8、，水面下降1m，水面的，水面的寬度為寬度為 m.1 y6262x 1y 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為12X yxy00 注意注意: 在解決實(shí)際問題時(shí)在解決實(shí)際問題時(shí),我們應(yīng)建立簡單方便的平面直角坐標(biāo)我們應(yīng)建立簡單方便的平面直角坐標(biāo)系系.13 用拋物線的知識(shí)解決生活中的一些實(shí)用拋物線的知識(shí)解決生活中的一些實(shí)際問題的一般步驟：際問題的一般步驟：建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系二次函數(shù)二次函數(shù) 問題求解問題求解 找出實(shí)際問題的答案找出實(shí)際問題的答案注意變量的取值范圍注意變量的取值范圍14練習(xí)：1252yxABAB30hA 5B 6C 8D 9河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物

9、線型，建立如圖所示的坐標(biāo)系,其函數(shù)的解析式為， 當(dāng)水位線在位置時(shí)，水面寬米,這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨?是（）、米、米； 、米； 、米15如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是8m，寬是2m，拋物線可以用 表示.（1）一輛貨運(yùn)卡車高4m，寬2m，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨運(yùn)卡車是否可以通過？2144yx （1）卡車可以通過.提示：當(dāng)x=1時(shí)，y =3.75,3.7524.（2）卡車可以通過.提示：當(dāng)x=2時(shí)，y =3,324.13131313O練習(xí)：16 ： 某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬AB=4m,頂部C離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿貨物

10、的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為2.4m.這輛汽車能否順利通過大門?若能,請你通過計(jì)算加以說明;若不能,請簡要說明理由.練習(xí)17解：如圖，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.AB=4A(-2,0) B(2,0)OC=4.4C(0,4.4)設(shè)拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4axy2 拋物線過A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)汽車能順利經(jīng)過大門.18投籃問題投籃問題19一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知

11、球出手時(shí)離地一場籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高面高 米，與籃圈中心的水平距離為米，與籃圈中心的水平距離為8 8米，當(dāng)球出米，當(dāng)球出手后水平距離為手后水平距離為4 4米時(shí)到達(dá)最大高度米時(shí)到達(dá)最大高度4 4米，設(shè)籃球米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3 3米。米。209 問此球能否投中？問此球能否投中？3米米2098米米4米米4米米020048（4，4）920 xy442xay(0 x8)9200，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx時(shí)，當(dāng)籃圈中心距離地面籃圈中心距離地面3米米此球不能投中此球不能投

12、中如圖，建立平面如圖，建立平面 直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系，點(diǎn)（點(diǎn)（4，4）是圖中這段拋物）是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)這段拋線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：321活動(dòng)四：試一試活動(dòng)四：試一試如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位ABAB時(shí)，水面寬時(shí)，水面寬2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就達(dá)到警戒米，就達(dá)到警戒線線CD,CD,這時(shí)水面寬為這時(shí)水面寬為1010米。米。（1 1）求拋物線型拱橋的解析式。）求拋物線型拱橋的解析式。（2 2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.20.2米的速米的速度上升，從警戒線開始，度上升，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時(shí)才能達(dá)在持續(xù)多少小時(shí)才能達(dá)到拱橋頂？到拱橋頂？（3 3）若正常水位時(shí)，有一艘）若正常水位時(shí)，有一艘寬寬8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通過這座橋？能否安全通過這座橋？A AB B20m20mCD22 解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax2設(shè)D（5，b），則B（10，b3）， 把D、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2得： ，解得 ， y=1/25 x2； （2）b=1，拱橋頂O到CD的距離為1， =5小時(shí)所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂 23實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問