D8_3二重積分在幾何上的應(yīng)用

1、整理ppt1第三節(jié)一、體積一、體積 和平面圖形的面積和平面圖形的面積二、曲面的面積二、曲面的面積 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分在幾何上的應(yīng)用 第八章 整理ppt21. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便 2. 用重積分解決問題的方法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt3一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx

2、 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt41:221yxzS任一點(diǎn)的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V . 解解: 曲面1S的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xoy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記所圍域?yàn)镈 ),(000zyx在點(diǎn)Drrrdd2例例1. 求曲面rr dd10320機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt5xoyza2例例2.

3、 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt6MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yx

4、fyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt7故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt8xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt9例例3. 計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理ppt10例例4. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.解解:設(shè)球面方程為 ar球面面積元素為ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐標(biāo)方程. (見書 P202)方法方法1 利用球坐