相似三角形難題集錦(含答_案)45586

1、 一、相似三角形中的動點問題1.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB1AC動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點D作DHAB于H，過點E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點，連接DG設(shè)點D運動的時間為t秒（1）當(dāng)t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；（2）當(dāng)DEG與ACB相似時，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動

2、當(dāng)其中有一點到達(dá)終點時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當(dāng)ADCD時，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3c

3、m的速度向A點運動，當(dāng)P點到達(dá)B點時，Q點隨之停止運動設(shè)運動的時間為x（1）當(dāng)x為何值時，PQBC？（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t6）。（1）當(dāng)t為何值時，QAP為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段

4、OA的夾角是45°，求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長8.在ABC中，AC=BC，ACB=90°，點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E那么D點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點以AB為短

5、邊在第一象限做一個矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點的坐標(biāo)。 三、構(gòu)造相似輔助線A、X字型 11.如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點，EFAB，且EF交BC于點F，某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：(1)當(dāng)時，EF=；(2)當(dāng)時，EF=；(3)當(dāng)時，EF=當(dāng)時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是

6、BC上的兩點，且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中線的交點）（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例 四、相似類定值問題 16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個頂點分別在ABC上。

7、求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長為a求證： 五、相似之共線線段的比例問題 20.（1）如圖1，點在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過點P分別交BA，BC的延長線于點Q，S，交于點求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；21.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PE·PF 22.如圖，已知ΔABC中，AD，BF分別為BC，AC邊

8、上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長線于H。求證： DE2=EGEH 23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD上有一點P，且BPC為直角求證：PD2AD·DH 。 六、相似之等積式類型綜合 25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長線交CA于F。求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點M在CD上，DHBM且與AC的延長線交于點E.

9、求證：（1）AEDCBM；（2）27.如圖，ABC是直角三角形，ACB=90°，CDAB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由.28.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證：29.如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH 七、 相似基本模型應(yīng)用 30.ABC和DEF是兩個等腰直角三角形

10、，A=D=90°，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論31.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR32.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：答案：1.答案：解：（1）ACB=90°，

11、AC=3，BC=4AB=5又AD=AB，AD=5tt=1，此時CE=3，DE=3+3-5=1（2）如圖當(dāng)點D在點E左側(cè)，即：0t時，DE=3t+3-5t=3-2t若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時，即：，求得：t=；DEGBCA，此時，即：，求得：t=；如圖，當(dāng)點D在點E右側(cè)，即：t>時，DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG與ACB相似，有兩種情況：DEGACB，此時，即：，求得：t=；DEGBCA，此時，即：，求得：t=綜上，t的值為或或或3.答案：解：（1）證明：AD=CDA=ACDDE平分CDB交邊BC于點ECDE=BDECDB為CDB的一個外角CDB=A+

12、ACD=2ACDCDB=CDE+BDE=2CDEACD=CDEDEAC（2）NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如圖NCE=MBEBD=CD又NCE+ACD=MBE+A=90°ACD=AAD=CDAD=BD=AB在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8AB=10AD=5NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如圖NCE=MEBEMCDCDAB在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8AB=10A=A，ADC=ACBACDABC綜上：AD=5或時，BME與CNE相似4.答案：解（1）由題意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，當(dāng)PQB

13、C時，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cmAPQCBQ，則，即解得：或（舍）此時：AP=cmAPQCQB，則，即解得：（符合題意）此時：AP=cm故AP=cm或20cm時，APQ與CQB能相似5.答案：解：設(shè)運動時間為t，則DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若QAP為等腰直角三角形，則AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合題意）t=2時，QAP為等腰直角三角形（2）B=QAP=90°當(dāng)QAPABC時，即：，解得：（符合題意）；當(dāng)PAQABC時，即：，解得：（符合題意） 當(dāng)或時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似6.答案：解：分兩種情況第一種

14、情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點A作ABOA，交待求直線于點B，過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C，過點B作BDAC則由上可知：90°由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45°OC2，AC1，AOABADOC2，BDAC1D點坐標(biāo)為（2，3）B點坐標(biāo)為（1，3）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：y3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點A作ABOA，交待求直線于點B，過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C，過點B作BDAC則由上可知：90°由雙垂直模型知：OCAADBA（2，1），45°OC1，AC2，AOABADOC1，BDAC2D點坐標(biāo)為（3，1）B點坐標(biāo)

15、為（3，1）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：yx7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：證明：方法一：連接PC，過點P作PDAC于D，則PD/BC根據(jù)折疊可知MNCP2+PCN=90°，PCN+CNM=90°2=CNMCDP=NCM=90°PDCMCNMC：CN=PD：DCPD=DAMC：CN=DA：DCPD/BCDA：DC=PA：PBMC：CN=PA：PB方法二：如圖，過M作MDAB于D，過N作NEAB于E由雙垂直模型，可以推知PMDNPE，則，根據(jù)等比性質(zhì)可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖過

16、點D作AB的平行線交BC的延長線于點M，交x軸于點N，則M=DNA=90°，由于折疊，可以得到ABCADC，又由B（1，3）BC=DC=1，AB=AD=MN=3，CDA=B=90° 1+2=90° DNA=90° 3+2=90° 1=3 DMCAND，設(shè)CM=x，則DN=3x，AN=1x，DM3x3x，則。答案為A10.答案：解：過點C作x軸的平行線交y軸于G，過點D作y軸的平行線交x軸于F，交GC的延長線于E。直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點A（1,0），B（0,2）OA=1，OB=2，AB=AB：BC=1:2BC=AD=ABO+CBG=

17、90°，ABO+BAO=90°CBG=BAO又CGB=BOA=90°OABGBCGB=2，GC=4GO=4C（4,4）同理可得ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5D（5,2）11.答案：證明：（方法一）如圖延長AE到M使得EM=AE，連接CMBE=CE，AEB=MEC BEACEMCM=AB，1=BABCMM=MAD，MCF=ADFMCFADFCM=AB，AD=AC（方法二）過D作DGBC交AE于G則ABEADG，CEFDGF，AD=AC，BE=CE12.答案：證明：過點D作DFAB交AC的延長線于點F，則2=3AC平分DAB1=21=3AD=DFDEF=B

18、EA，2=3BEADEFAD=DFAC為AB、AD的比例中項即又1=2ACDABC13.答案：解：證明：過點E作PQBC分別交BA延長線和DC于點P和點QABCD，PQBC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形PBEFCQ，又ABb，CDaAPPB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF14.答案：解：連接MFM是AC的中點，EFFCMFAE且MFAEBENBFMBN：BMBE：BFNE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2BN：NM1:1設(shè)NEx，則MF2x，AE4xAN3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN：NM1:1，NQ：QM3:2BN：NQ：QM5:3:215.答

19、案：證明：（1）如圖1，AD、BE為ABC的中線，且AD、BE交于點O過點C作CFBE，交AD的延長線于點FCFBE且E為AC中點AEOACF，OBDFCD，AC2AEEAOCAFAEOACFD為BC的中點，ODBFDCBODCFDBOCF同理，可證另外兩條中線三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（2）如圖2，AD為ABC的角平分線過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E則BAD=EAD為ABC的角平分線BAD=CADE=CADACCECEABBADCED16.答案：證明：如圖，作DPAB，DQAC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形BP+CQMN，D

20、PDQPQM、N分別是邊AB，AC的中點MNBCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBEC，DPDQPQBCABAB（）17.答案：證明：EF/AB，AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA，18.答案：證明：EFCD，EHAB，AFEADC，CEHCAB，EFEH19.答案：證明：EFAC，DEBC，BFEBCA，AEDABC，EFDEa20.答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由ABCD可證PTDPQB（2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PRD=S，RDP=DBSDRPBSP同理由ABCD可證P

21、TDPQB21.答案：證明:ABAC，AD是中線，ADBC,BP=CP1=2又ABC=ACB3=4CFAB3=F,4=F又EPC=CPFEPCCPFBP2PE·PF即證所求22.答案：證明：DEAB90°90°ADEDBEDE2=BFAC90°90°且BEGHEADE2=EG•EH23.答案：證明：四邊形ABCD為平行四邊形ABCD，ADBC1=2，G=H，5=6PAHPCG又3=4APECPF24.答案：證明：如圖，連接BH交AC于點E，H為垂心BEACEBC+BCA=90°ADBC于DDAC+BCA=90

22、6;EBC=DAC又BDH=ADC=90°BDHADC，即BPC為直角，ADBCPD2BD·DCPD2AD·DH25.答案：證明：CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點CE=EB=DEB=BDE=FDAB+CAB=90°，ACD+CAB=90°B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCDADC=CDB=90°，B=ACDACDCBD即26.答案：證明：（1）ACBADC90°AACD90°BCMACD90°ABCM同理可得：MDHMBDCMBCDBMBD90°MBD

23、ADEADCMDH90°MDHADECMBAEDCBM（2）由上問可知：，即故只需證明即可AA，ACDABCACDABC，即27.答案：（1）將結(jié)論寫成比例的形式，可以考慮證明FDBFCD（已經(jīng)有一個公共角F）RtACD中，E是AC的中點DE=AEA=ADEADE=FDBA=FDB而A+ACD=90°FCD+ACD=90°A=FCDFCD=FDB而F=FFBDFDC（2）判斷：GD與EF垂直RtCDB中，G是BC的中點，GDGBGDB=GBD而GBD+FCD=90°又FCD=FDB（1的結(jié)論）GDB+FDB=90°GDEF28.答案：證明：由四

24、邊形ABCD、DEFG都是正方形可知，ADC=GDE=90°，則CDG=ADE=ADG+90°在和中則DAM=DCN又ANM=CNDANMCND則29.答案：證明：找模型。（1）BCD、BDG，CDG構(gòu)成母子型相似。BDGDCGDG2BG·CG（2）分析：將等積式轉(zhuǎn)化為比例式。BG·CGGF·GHGFC=EFH，而EFH+H=90°，GFC+FCG=90°H=FCG而HGB=CGF=90°HBGCFGBG·CGGF·GH30.答案：（1

25、）證明：MEBNEC180°45°135°MEBEMBNECEMB又B=CBEMCNE（2）COEEON證明：OEN=C45°，COEEONCOEEON31.答案：解：（1）BCPBER，CQPDQR，ABPCQP，DQRABP（2）ACDEBCPBER四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形AD=BC，AD=CEBC=CE，即點C為BE的中點又ACDECQPDQR點R為DE的中點DR=RE綜上：BP：PQ：QR3：1：232.答案：證明：ADBC，DEABADBAEDAD²AEAB同理可證：AD²AFACAEABAFAC反比例函

26、數(shù)典型例題1、（2011寧波）正方形的A1B1P1P2頂點P1、P2在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，頂點A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，則P2點的坐標(biāo)為_，則點P3的坐標(biāo)為_。 答案：P2（2，1） P2（+1，-1） 2、已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，且關(guān)于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有實根，且k為正整數(shù)，正方形ABP1P2的頂點P1、P2在反比例函數(shù)y=（x0）圖象上，頂點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，求點P2的坐標(biāo)答案：（2，1）或

27、（，）3、如圖，正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形OABC的邊長為2（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求點D的坐標(biāo) 答案：（1） y= (2) (,)4、兩個反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P1、P2在反比例函數(shù)圖象上，過點P1作x軸的平行線與過點P2作y軸的平行線相交于點N，若點N（m，n）恰好在y=的圖象上，則NP1與NP2的乘積是_。答案：3 答案：35、 （2007泰安）已知三點P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函數(shù)y=的圖象上，若x10，x20，則下列式子正確的是（）答案：DAy1y20By10y

28、2Cy1y20Dy10y26、 如圖，已知反比例函數(shù)y=的圖象上有點P，過P點分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A、B，使四邊形OAPB為正方形，又在反比例函數(shù)圖象上有點P1，過點P1分別作BP和y軸的垂線，垂足分別為A1、B1，使四邊形BA1P1B1為正方形，則點P1的坐標(biāo)是_。 答案：7、 在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，有一系列點P1、P2、P3、Pn，若P1的橫坐標(biāo)為2，且以后每點的橫坐標(biāo)與它前一個點的橫坐標(biāo)的差都為2現(xiàn)分別過點P1、P2、P3、Pn作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個長方形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1、S2、S3、Sn，則S1+S2+S3+S201

29、0=_。答案：18、 如圖，四邊形ABCD為正方形，點A在x軸上，點B在y軸上，且OA=2，OB=4，反比例函數(shù)y=(k0)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點D（1） 求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2） 將正方形ABCD沿x軸向左平移_個單位長度時，點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上答案：（1） （2）29、 如圖，已知OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、均為等腰直角三角形，直角頂點P1、P2、P3、在函數(shù)y=（x0）圖象上，點A1、A2、A3、在x軸的正半軸上，則點P2010的橫坐標(biāo)為_。答案：10、 兩個反比例函數(shù)y=，y=-的圖象在第一象限，第二象限如圖，點P1、P2、P3P2010在y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是有這樣規(guī)律的一行數(shù)列1，3，5，7，9，11，過點P1、P2、P3、P2010分別作x軸的平行線，與y=-的圖象交點依次是Q1、Q2、Q