概率論大數(shù)定律及其應(yīng)用

1、概率論基礎(chǔ)結(jié)課論文題目：獨(dú)立隨機(jī)序列的大數(shù)事件的定理與應(yīng)用作者：信計(jì)1301班 王彩云 130350119摘要：概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱(chēng)之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一，又稱(chēng)弱大數(shù)理論。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)平均結(jié)果的穩(wěn)定性，它是概率論中一個(gè)非常重要的定律，是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的具體表現(xiàn)，應(yīng)用很廣泛。本文介紹了幾種常用的大數(shù)定律，并分析了它們?cè)诶碚撆c實(shí)際中的應(yīng)用 。關(guān)鍵詞：弱大數(shù)定理 伯努利大數(shù)定理 隨機(jī)變量 數(shù)學(xué)期望 概率引言：“大數(shù)定律”本來(lái)是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，又叫

2、做“平均法則”。在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律，通俗的說(shuō)，這個(gè)定律就是在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率以概率為穩(wěn)定值。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下時(shí)哪一面朝上本身是偶然的，但當(dāng)我們向上拋的硬幣的次數(shù)足夠多時(shí)，達(dá)到上萬(wàn)次甚至幾十萬(wàn)幾百萬(wàn)時(shí)之后，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣朝上的次數(shù)大約占總數(shù)的二分之一。偶然之中包含著必然。從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出：一個(gè)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他的一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性。這就是說(shuō)，無(wú)論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以

3、及它們?cè)谠囼?yàn)進(jìn)行過(guò)程中的個(gè)別特征如何，大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的個(gè)別特征無(wú)關(guān)，而且結(jié)果也不再是隨機(jī)的。深入考慮后，人們會(huì)提出這樣的問(wèn)題：穩(wěn)定性的確切含義是什么？在什么條件下具有穩(wěn)定性？這就是我們大數(shù)要研究的問(wèn)題。概率與統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科，而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái)。然而，在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，它的穩(wěn)定性會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多表現(xiàn)得越來(lái)越明顯。這種穩(wěn)定性與它在在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行中的個(gè)別特征無(wú)關(guān)，且不再是隨機(jī)的。大數(shù)定律給出了穩(wěn)定性的確切含義，并且給出了什么條件下才具有穩(wěn)定性。那么，這對(duì)于我們解決

4、理論與實(shí)際問(wèn)題有哪些實(shí)際意義呢？這就是我們?cè)谙旅鎸⒁私獾降?，大?shù)定律的某些應(yīng)用。 即，大數(shù)定律及其在理論與實(shí)際生活中的一些應(yīng)用。 一方面，在理論上，大數(shù)定律可以看作是求解極限、重積分以及級(jí)數(shù)的一種新思路，另一方面，在實(shí)際生活中，保險(xiǎn)動(dòng)機(jī)的產(chǎn)生、保險(xiǎn)公司財(cái)政穩(wěn)定和保費(fèi)的確定，我們都將看到大數(shù)定律的重要作用。正文：發(fā)展歷史：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué), 而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái). 從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出: 一個(gè)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性, 即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,

5、0;事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近. 人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí), 也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性. 這就是說(shuō), 無(wú)論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以及它們?cè)谠囼?yàn)進(jìn)行過(guò)程中的個(gè)別特征如何, 大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的特征無(wú)關(guān), 且不再是隨機(jī)的. 深入考慮后, 人們會(huì)提出這樣的問(wèn)題: 穩(wěn)定性的確切含義是什么? 在什么條件下具有穩(wěn)定性? 這就是大數(shù)定律要研究的問(wèn)題. 1733年，德莫佛拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。

6、拉普拉斯改進(jìn)了他的證明并把二項(xiàng)分布推廣為更一般的分布。1900年，李雅普諾夫進(jìn)一步推廣了他們的結(jié)論，并創(chuàng)立了特征函數(shù)法。這類(lèi)分布極限問(wèn)題是當(dāng)時(shí)概率論研究的中心問(wèn)題，卜里耶為之命名“中心極限定理”。20世紀(jì)初，主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件，二三十年代的林德貝爾格條件和費(fèi)勒條件是獨(dú)立隨機(jī)變量序列情形下的顯著進(jìn)展。  伯努利是第一個(gè)研究這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)家，他于1713年首先提出后人稱(chēng)之為“大數(shù)定律”的極限定理。因此概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利。它是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一，屬于弱大數(shù)定律之一，當(dāng)然也稱(chēng)為伯努利大數(shù)定律。  它可以通俗的

7、理解，有些隨機(jī)事件無(wú)規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機(jī)事件”中在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計(jì)特性，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說(shuō)，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。 例如：在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，觀測(cè)投擲n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同，但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于。  頻率靠近概率的一種客觀存在的，可以直接觀察到的現(xiàn)象。而伯努利給這種現(xiàn)象給予了一種確切的含義。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律

8、的證明，出現(xiàn)了更多更廣泛的大數(shù)定律，例如切比雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律就是切比雪夫大數(shù)定律的一個(gè)特例。再到后面，出現(xiàn)獨(dú)立同分布的辛欽大數(shù)定律等常用的大數(shù)定律。主要含義：大數(shù)定律(law of large numbers)，又稱(chēng)大數(shù)定理，是一種描述當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。但是注意到，雖然通常最常見(jiàn)的稱(chēng)呼是大數(shù)“定律”，但是大數(shù)定律并不是經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，而是嚴(yán)格證明了的定理。有些隨機(jī)事件無(wú)規(guī)律可循，但不少是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機(jī)事件”  數(shù)學(xué)家伯努利在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計(jì)特性，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。確切的說(shuō)大數(shù)定律是以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了大量重復(fù)

9、出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性和平均結(jié)果的穩(wěn)定性，并討論了它們成立的條件。簡(jiǎn)單地說(shuō)，大數(shù)定理就是“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，事件發(fā)生的頻率無(wú)窮接近于該事件發(fā)生的概率”。該描述即伯努利大數(shù)定律。舉例說(shuō)明：例如，在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，觀測(cè)投擲了次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與之比）可能不同，但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于。又如稱(chēng)量某一物體的重量，假如衡器不存在系統(tǒng)偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對(duì)同一物體重復(fù)稱(chēng)量多次，可能得到多個(gè)不同的重量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值一般來(lái)說(shuō)將隨稱(chēng)量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實(shí)重

10、量。相關(guān)數(shù)學(xué)家：拉普拉斯 拉普拉斯,1749年3月23日生于法國(guó)西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授，1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授。1799年他還擔(dān)任過(guò)法國(guó)經(jīng)度局局長(zhǎng)，并在拿破侖政府中任過(guò)6個(gè)星期的內(nèi)政部長(zhǎng)，1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長(zhǎng)，1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天體問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。德莫佛 英國(guó)倫敦），法國(guó)數(shù)學(xué)家。德莫佛對(duì)數(shù)學(xué)最著名的貢獻(xiàn)是德莫佛公式（de Moivre Formula）和

11、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對(duì)正態(tài)分布和概率理論的研究。德莫佛還寫(xiě)了一本概率理論的教科書(shū)，The Doctrine of Chances，據(jù)說(shuō)這本書(shū)被投機(jī)主義者（gambler）高度贊揚(yáng)。德莫佛是解析幾何和概率理論的先驅(qū)之一；他還最早發(fā)現(xiàn)了一個(gè)二項(xiàng)分布的近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。 大數(shù)定理的意義：在一個(gè)隨機(jī)事件中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值；同時(shí)，在對(duì)物理量的測(cè)量實(shí)踐中，大量測(cè)定值的算術(shù)平均也具有穩(wěn)定性。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，一般有三個(gè)定理，貝努利定理和辛欽定理，如：反映算術(shù)平均值和頻率的穩(wěn)定性。當(dāng)很大時(shí)，算術(shù)平均值接近數(shù)學(xué)期望；頻率以概率收斂于事件

12、的概率。大數(shù)定律表表明：事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率，這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。就是說(shuō)當(dāng)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率于概率有較大偏差的可能性很小。由實(shí)際推斷原理，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率。大數(shù)定律的表現(xiàn)形式：由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率1收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。 定義 設(shè)有一列隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意的，有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列依概率收斂于，記作。定義 設(shè)有隨機(jī)變量和一列隨機(jī)變量 ，.，若成立，則稱(chēng)幾乎處處收斂于，記作 定義 若是隨機(jī)變量序列,如果存在常數(shù)

13、列,使得對(duì)任意的,有 （8）成立，則稱(chēng)隨機(jī)變量序列滿(mǎn)足大數(shù)定律。 定義設(shè)有隨機(jī)變量和隨機(jī)變量序列的r階原點(diǎn)矩、（n=1,2）存在，其中r>0，若則稱(chēng)r次平均收斂到。記作 。此時(shí)必有。當(dāng)r=2時(shí)是常用的二階矩，稱(chēng)為均方收斂。定義 若是隨機(jī)變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望存在，有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列服從弱大數(shù)定律。定義 若是隨機(jī)變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望存在，有 或等價(jià)地，則稱(chēng)服從強(qiáng)大數(shù)定律。上述兩個(gè)大數(shù)定律要注意，強(qiáng)大數(shù)定律和弱大數(shù)定律區(qū)別不僅僅是一個(gè)法則的不同，不能簡(jiǎn)單的把極限符號(hào)從概率號(hào)P（）中移出來(lái)，弱大數(shù)定律描述的是一列概率的收斂性，而強(qiáng)大數(shù)定律說(shuō)的是一列隨機(jī)變量收斂到一個(gè)常數(shù)，也正是這點(diǎn)，保證

14、了用事件出現(xiàn)的頻率來(lái)作為事件概率的估計(jì)的正確性。定理 對(duì)任意的隨機(jī)變量，若，又存在，則對(duì)任意的正常數(shù)，有， 則稱(chēng)此式子為切比雪夫不等式。粗糙地說(shuō)，如果越大，那么也會(huì)大一些。大數(shù)定律形式有很多種，我們僅介紹幾種最常用的大數(shù)定律。定理（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是n重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,則，有 （5）此定理表明：當(dāng)n很大時(shí)，n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，這個(gè)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫(huà)了頻率的穩(wěn)定性，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率。 定理（切比雪夫大數(shù)定律）

15、 設(shè)是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量,又設(shè)它們的方差有界,即存在常數(shù),使有，則對(duì)于任意的,有 （9）在上述的定理中，因?yàn)橛玫角斜妊┓虿坏仁?，都有?duì)方差的要求，其實(shí)方差這個(gè)條件并不是必要的。例如獨(dú)立同分布時(shí)的辛欽大數(shù)定律。 該定律的含義是：當(dāng)n很大，服從同一分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)將依概率接近于這些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。將該定律應(yīng)用于抽樣調(diào)查，就會(huì)有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計(jì)推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。貝努里大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則對(duì)任意正數(shù)，有：該定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例

16、，其含義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。在抽樣調(diào)查中，用樣本成數(shù)去估計(jì)總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。定理（辛欽大數(shù)定律） 設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且有有限的數(shù)學(xué)期望,則對(duì)于任意的,有 （10）上式也可表示為或,并且稱(chēng)依概率收斂于.定理（泊松大數(shù)定律）設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列, ，其中，則服從泊松大數(shù)定律。泊松大數(shù)定律是伯努利大數(shù)定律的推廣，伯努利大數(shù)定律證明了事件在完全相同的條件下重復(fù)進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性；而泊松定理表明，當(dāng)獨(dú)立進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)的條件變化時(shí)，頻率仍然具有穩(wěn)定性：隨著n的無(wú)限增大，在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A的頻率趨于穩(wěn)定在各

17、次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)概率的算術(shù)平均值附近。定理（馬爾科夫大數(shù)定律）對(duì)于隨機(jī)變量序列,若有則有大數(shù)定律的一些應(yīng)用大數(shù)定律本身便是概率論中非常重要的定理之一，而它與其他數(shù)學(xué)理論也有密不可分的聯(lián)系，而且對(duì)這些數(shù)學(xué)理論分支有不可或缺的作用。大數(shù)定律本身便是頻率靠近概率的極限理論，是大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定于平均值的極限理論。可以說(shuō)大數(shù)定律是利用極限才得出的，同時(shí)利用大數(shù)定律可以來(lái)求解極限，這當(dāng)然只是眾多求極限方法之一，但也有它獨(dú)特的簡(jiǎn)潔和巧妙。就以大數(shù)定律和極限這個(gè)概念的關(guān)系為例子，用它來(lái)對(duì)我們要求的重積分和極限相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行另一種方式的求解。極限伴隨重積分出現(xiàn)的類(lèi)型在高數(shù)中是常見(jiàn)的，在利用大數(shù)定律來(lái)

18、求解這類(lèi)重積分的極限的題目前，先介紹一個(gè)相關(guān)定理。定理7（勒貝格控制收斂定理） 設(shè)（1）是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列； （2）于（n=1，2，.，）且在上可積分（稱(chēng) 為所控制，而叫控制函數(shù)）； （3）；則在上可積分且；例1：已知，求的值。解：設(shè)，為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，服從（0，1）上的均勻分布，為獨(dú)立同分布，為獨(dú)立同分布。且 又 由切比雪夫大數(shù)定律可知：當(dāng)是獨(dú)立的同分布的隨機(jī)變量序列，且，由前面知道是強(qiáng)大數(shù)定律可知，；由此可知 即 又因?yàn)榍夜视?，因此。由此，有根?jù)勒貝格控制收斂定理可知：=即。可以看出，利用大數(shù)定律求解數(shù)學(xué)分析中的重積分和極限收斂問(wèn)題有它簡(jiǎn)潔的一面，也體現(xiàn)了大數(shù)定律等概率論等知

19、識(shí)的廣泛聯(lián)系和應(yīng)用。1、大數(shù)定律在級(jí)數(shù)上的應(yīng)用大數(shù)定律在求解無(wú)窮級(jí)數(shù)上也有很大的作用，它為一些定理和固定公式的理論證明提供另一種有趣而且也有用的辦法。下面我們就引用一個(gè)很著名的問(wèn)題來(lái)展現(xiàn)大數(shù)定律在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用：伯努利是一位偉大而且著名的數(shù)學(xué)家，但是他也被一個(gè)在現(xiàn)在已經(jīng)解決的問(wèn)題難住了：一個(gè)求級(jí)數(shù)和的問(wèn)題。求自然數(shù)倒數(shù)平方的級(jí)數(shù)和： 。伯努利公開(kāi)征求這個(gè)問(wèn)題的求解方法。三十年過(guò)后，先是歐拉利用猜度術(shù)的方法找出了它的結(jié)果，他是第一個(gè)找出答案的，但是卻不能證明，只能是數(shù)據(jù)驗(yàn)證，當(dāng)然，到現(xiàn)在為止，有了很多種證明的方法，其中一種便是利用了大數(shù)定律的原理來(lái)完成的。下面先來(lái)看其他方法之一是如何證明的設(shè)所有的

20、排列為2<3<5<7<<q<.，在此數(shù)列中，有放回的取出兩數(shù)和，只可能出現(xiàn)下面的情況：；的公因子有2；有公因子3；.有公因子q；.因此是必然事件，且知是相互獨(dú)立的，設(shè)中有因子q，那么必定是q的倍數(shù)，那也可知。同理也有，那么。由對(duì)立事件知道。根據(jù)對(duì)偶規(guī)律,根據(jù)他們的獨(dú)立性，可知 根據(jù)歐拉的變換無(wú)窮乘積為級(jí)數(shù)的方法.下面我們就用大數(shù)定律的辦法來(lái)求解這個(gè)級(jí)數(shù)的和。從自然數(shù)中有放回任意取出兩個(gè)數(shù)，設(shè)他們的最大公因子是n,事件數(shù)為，表示第i次取出n的倍數(shù)事件（i=2，3，4，.）。根據(jù)第一次和第二次從自然數(shù)序列中有放回的隨機(jī)取出兩數(shù)是n的倍數(shù)的條件下，這兩數(shù)的最大公因

21、子是n的條件概率等于從自然數(shù)序列隨機(jī)取出兩數(shù)互素的概率。于是有 顯然是互不相容的，且有。與n是相互獨(dú)立的，,于是就有。根據(jù)伯努利大數(shù)定律知道，概率可近似的利用頻率來(lái)表示，因此在如此多的自然書(shū)中，隨機(jī)的取出兩數(shù)互素的概率為。于是知所求級(jí)數(shù)的和為。2、多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)分析中應(yīng)用概率論的思想是非常美妙的構(gòu)思,證明清晰明了。作者在文獻(xiàn)6 中利用非齊次馬氏鏈強(qiáng)大數(shù)定律構(gòu)造了一類(lèi)奇異單調(diào)函數(shù), 而非借助于傳統(tǒng)的Cantor 展式。尤其多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)中也容易注意到近似多項(xiàng)式富有意義的構(gòu)造。下面類(lèi)似的方法可用來(lái)較易地構(gòu)造一些熟悉的分析結(jié)果。例2假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，則存在一列多項(xiàng)式一致收斂于函數(shù)。證明：不

22、妨設(shè)a=0，b=1?？梢胄碌淖兞縰：x=()，使u0,1，那么由f(x)在a，b上連續(xù)可知f(x)在0,1上一致連續(xù)且有界。即對(duì)于任意>0，存在>0，只要<，總有<，其中，0,1，此外，對(duì)于任意x0,1，有k（k為常數(shù)）。設(shè)隨機(jī)變量，服從二項(xiàng)分布，則可建立多項(xiàng)式： (x)=() =其中x0,1，參數(shù)n。顯然(0)= f(0)，(1)= f(1)。由貝努力大數(shù)定律知： ，x0，1。由于=1，故有：(x) =+< +2k=+2kP。而對(duì)于任意x0,1，可見(jiàn)存在N，使當(dāng)n>N時(shí)，P，從而，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)于一切x0,1，有：<=+=即關(guān)于x0,1一致收

23、斂于。從上可以看出大數(shù)定律在極限、重積分、級(jí)數(shù)以及多項(xiàng)式逼近中都有重要應(yīng)用，其實(shí)概率論學(xué)科和數(shù)學(xué)分析只見(jiàn)是相互滲透的，大數(shù)定律在數(shù)學(xué)理論中的應(yīng)用也不僅僅這么狹窄，它在求很多高等數(shù)學(xué)的問(wèn)題上也有很好的催化作用，大數(shù)定律在信息論中也有不俗的表現(xiàn)，比如在信息序列的漸近等分性質(zhì)就是一個(gè)體現(xiàn)。下面主要看大數(shù)定律在實(shí)際生活中的精彩的表現(xiàn)，它涉及到很多與我們貼身的行業(yè)。3、大數(shù)定律在保險(xiǎn)業(yè)的應(yīng)用保險(xiǎn)動(dòng)機(jī)的產(chǎn)生現(xiàn)代保險(xiǎn)業(yè)已經(jīng)是社會(huì)非常重要的一環(huán)，而大數(shù)定律就是這大廈最重要的基石之一，下面就看看大數(shù)定律是如何撐起這座保險(xiǎn)業(yè)大廈的。保險(xiǎn)業(yè)是根據(jù)大數(shù)定律的法則，集中眾多企業(yè)或者個(gè)人的風(fēng)險(xiǎn)，建立抵御風(fēng)險(xiǎn)的社會(huì)機(jī)制。但

24、是保險(xiǎn)業(yè)的產(chǎn)生不僅僅是為了避險(xiǎn)，當(dāng)然也有利潤(rùn)這只無(wú)形的手的驅(qū)使，有利潤(rùn)才能保證保險(xiǎn)業(yè)真正的發(fā)展下去，壯大起來(lái)。同時(shí)大數(shù)定律不僅僅用于計(jì)算保險(xiǎn)公司避險(xiǎn)需要的客戶(hù)數(shù)，也需要用來(lái)計(jì)算產(chǎn)生的利潤(rùn)的合理范圍。為了抵御風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司需要大數(shù)目的客戶(hù)，那么這些企業(yè)或者個(gè)人是如何愿意自己交出保險(xiǎn)費(fèi)投保的呢？其實(shí)這也是企業(yè)或者個(gè)人為了自己的利益著想，不但是避險(xiǎn)，也是一種投資，這就是保險(xiǎn)業(yè)能夠產(chǎn)生發(fā)展的一個(gè)基礎(chǔ)。例如某企業(yè)有資金Z單位，而接受保險(xiǎn)的事件具有風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)遭受的經(jīng)濟(jì)損失為個(gè)單位，那么在理性預(yù)期的條件下，該企業(yè)只能投入的資金單位。假設(shè)企業(yè)投入資金與所得利潤(rùn)之間的函數(shù)關(guān)系為，顯然有，當(dāng)時(shí)為預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)條

25、件下利潤(rùn)損失額。當(dāng)時(shí)，企業(yè)就需要有避險(xiǎn)的需求，且隨差額的增大而增大。這就是企業(yè)的避險(xiǎn)需求，也是保險(xiǎn)業(yè)產(chǎn)生的基礎(chǔ)。具有同種類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)，且風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生相互獨(dú)立的眾多企業(yè)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的時(shí)候，需要一定的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，以使損失最小或得以繼續(xù)某項(xiàng)生產(chǎn)活動(dòng)，在這里看來(lái)，風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生，在整體上看是必然的，但從局部看，是隨機(jī)的，所以這種補(bǔ)償在風(fēng)險(xiǎn)沒(méi)有發(fā)生時(shí)是一種預(yù)期。 假設(shè)這種隨機(jī)現(xiàn)象為，則的概率分布為： 取值0 概率 上表中，P為風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率，為風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)企業(yè)的損失額。那么知道該事件的數(shù)學(xué)期望為。根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，當(dāng)有限時(shí)，.，上述式子可以表述為：n個(gè)具有某種同類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)，且風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生是相互獨(dú)立的，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)預(yù)計(jì)得到

26、補(bǔ)償?shù)钠骄蹬c其各自的期望值之差，可以像事先約定的那樣小，以致在企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中可以忽略不計(jì)。定理6在n重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出言的概率為p，為n此試驗(yàn)中出現(xiàn)A的次數(shù)，則。 定理7 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差。則隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)于任意x滿(mǎn)足根據(jù)上述中心極限定理，由事先約定的，則這樣，由事先給定的確定出參加某種風(fēng)險(xiǎn)保障的企業(yè)最小數(shù)目n.例如：當(dāng)，則當(dāng)約定時(shí)，一定有,也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，上述的結(jié)果成立。依據(jù)上述結(jié)果，從兩個(gè)方面來(lái)看，從微觀上看，因?yàn)?則，由前面說(shuō)的企業(yè)是看利潤(rùn)遞增的原則，顯然有。此時(shí)企業(yè)產(chǎn)生參加社會(huì)保險(xiǎn)的動(dòng)機(jī)，也就是企業(yè)參加社會(huì)保險(xiǎn)比自保更有利。

27、從宏觀上看，如果有n個(gè)具有同類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)的企業(yè)存在且都實(shí)行自保，顯然在理性預(yù)期的條件下，為抵御風(fēng)險(xiǎn)而失去的利潤(rùn)總額為。其中表示第i個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)（i=1,2,.n）.而這n企業(yè)全部參加社會(huì)保險(xiǎn)后，為了抵御風(fēng)險(xiǎn)而失去的利潤(rùn)總額為。概率論基礎(chǔ)結(jié)課論文則由于參加社會(huì)保險(xiǎn)而產(chǎn)生的社會(huì)總效益為：由于 ，i=1,2,n.所以此效益隨著n的增大而增大。綜上所述，企業(yè)參加社會(huì)保險(xiǎn)的動(dòng)機(jī)便是在于參加社保比自保更加的有利，利潤(rùn)的驅(qū)使，這也是企業(yè)參加保險(xiǎn)的重要?jiǎng)訖C(jī)，因此保險(xiǎn)業(yè)這個(gè)行業(yè)以存在和發(fā)展，也發(fā)展了眾多的保險(xiǎn)公司。保險(xiǎn)公司同樣也需要評(píng)估是否可保的問(wèn)題，上面的敘述可以得知，可保的條件有：1、風(fēng)險(xiǎn)事故造成的損失應(yīng)當(dāng)是

28、可以估計(jì)的。2、有大量獨(dú)立的同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)單位存在，即是各風(fēng)險(xiǎn)單位遭遇風(fēng)險(xiǎn)事故造成損失的概率和損失規(guī)模大致相近，同時(shí)各風(fēng)險(xiǎn)單位要相互獨(dú)立，相互的發(fā)生不會(huì)產(chǎn)生影響。這些都是大數(shù)定律的基本要求。大數(shù)定律是保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)營(yíng)的一個(gè)重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律的原作，可以將個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)單位遭遇損失的不確定性，轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)單位集合的損失的確定性。由于與損失金額的預(yù)測(cè)具有相關(guān)性，大數(shù)定律的運(yùn)用直接關(guān)系到補(bǔ)償或給付的實(shí)現(xiàn)程度與保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性。下面分成幾個(gè)方面來(lái)闡述大數(shù)定律在保險(xiǎn)業(yè)中的一些應(yīng)用。1、 制定保費(fèi)以切比雪夫大數(shù)定律為例，該極限定理運(yùn)用到保險(xiǎn)行業(yè)，相當(dāng)于有個(gè)投保人或被保險(xiǎn)人，同時(shí)投保了個(gè)相互獨(dú)立的保險(xiǎn)標(biāo)的，用表示每個(gè)標(biāo)的實(shí)際發(fā)生損失的大小。其中，為理論上每個(gè)投保人應(yīng)繳納的純保費(fèi)，為平均每個(gè)被保險(xiǎn)人實(shí)際獲得的賠款金額。當(dāng)投保