自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

1、第一部分 三角函數(shù)表三角函數(shù)表反三角函數(shù)表 第二部分 極限極限數(shù)列極限：劉徽的“割圓術(shù)”，設(shè)有一個(gè)半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法之下，要計(jì)算其面積：方法：先做圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為，再做一內(nèi)接正12邊形，記其面積為再做一內(nèi)接正24邊形，記其面積為,如此逐次將變數(shù)加倍。得到數(shù)列，則當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)，有函數(shù)極限：常用的極限公式 常用的幾個(gè)公式等比數(shù)列公式：是等比數(shù)列 ,當(dāng)q<1時(shí)，等比數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)和為等差數(shù)列公式： 或者：例 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求：（1）常數(shù)a, b, c;(2) 的概率密度.解：（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)知從上面第二式得, 從上面第三式 得, 再?gòu)纳?/p>

2、面第一式 得. 由于從而概率密度為第三部分 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)含義函數(shù)值的增長(zhǎng)與自變量增長(zhǎng)之比的極限。重要的求導(dǎo)公式 . 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 若函數(shù)，都在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有()； ()；()， 例題： 解：（1）(2) (3) （4）在概率中的應(yīng)用主要是知道分布函數(shù)求密度函數(shù)，需要對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。 3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) 在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決求導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確地把一個(gè)函數(shù)分解成幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)；(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，必須把引進(jìn)的中間變量換成原來(lái)的自變量 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的步驟如下

3、：(1)從外到里分層次，即把復(fù)合函數(shù)分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)；(2)從左到右求導(dǎo)數(shù)，即把每一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)對(duì)自身的自變量的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)；(3)利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，從左到右作連乘 例題： 解 函數(shù)可分解為 則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 主要在第二章第四節(jié)里面用第四部分 原函數(shù)和不定積分原函數(shù)：已知是一個(gè)定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，如果存在著函數(shù)， 使得對(duì)內(nèi)任何一點(diǎn)，都有 或 那么函數(shù)就稱為在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。例如：是在區(qū)間上的原函數(shù)。不定積分 在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分， 記作 ，即 。其中：稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量?；痉e分公式 由基本微分公式可得基本積分公式

4、 (為常數(shù))， ()， ， ， ， ， ，.這些基本公式是求不定積分的基礎(chǔ)，應(yīng)熟記求不定積分的方法一 第一類換元法先看下例：回憶： 令 ，定理1 （第一類換元法）：這種方法稱為湊微分法（將公式中的箭頭作出動(dòng)態(tài)效果）例1求下列不定積分1、， 2 解1、 令 2、 令 =注意：由上面的解題可發(fā)現(xiàn)，變量只是一個(gè)中間變量，在求不定積分的過(guò)程中，只是起過(guò)渡作用，最終都要換回到原來(lái)的積分變量。因此，在較熟練之后，可以采用不直接寫出中間變量的做法。例如：通過(guò)以上例題，可以歸納出如下一般湊微分形式： ； ； ； ； ； ； ； 等等第二類換元法 2、 分部積分法利用復(fù)合函數(shù)微分法則導(dǎo)出了換元積分法，它能解決許

5、多積分問(wèn)題，但仍有許多類型的積分用換元法也不能計(jì)算，例如、等等本節(jié)我們用乘積的微分公式導(dǎo)出另一種重要的積分方法分部積分法，可以解決許多積分問(wèn)題設(shè)、是兩個(gè)可微函數(shù)，由得 兩邊積分，可得 即 分部積分公式例子： 二、特殊情況1、用分部積分法計(jì)算不過(guò)有時(shí)需要多次使用分部積分法例6 求解 小結(jié)：1對(duì)可微函數(shù)、，有分部積分公式： 當(dāng)容易求出，且比易于積分時(shí)利用分部積分公式易于計(jì)算2要記住適合使用分部積分法的常見題型及湊微分d的方式如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積，使用分部積分法時(shí)進(jìn)入微分號(hào)的順序一般為：指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，冪函數(shù)，反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。第五部分 定積分的基本性質(zhì)定積分性質(zhì)性質(zhì)1 這個(gè)

6、性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形性質(zhì)2 （為常數(shù)）性質(zhì)3 不論三點(diǎn)的相互位置如何，恒有這性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性牛頓萊布尼茨公式定理2 （ 牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 定積分的計(jì)算1定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得等式兩邊同時(shí)在區(qū)間上積分，有 定積分的分部積分公式，例5 設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則小結(jié)：1定積分換元積分定理： 注意：換元必?fù)Q限， 下限對(duì)下限，上限對(duì)上限2定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有3對(duì)稱區(qū)間上的積分：

7、設(shè)在上連續(xù)，則有(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則廣義積分1設(shè)在積分區(qū)間上連續(xù)，定義， 變上限的積分 如果在區(qū)間上連續(xù)，則有例一 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的分布函數(shù).解 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 即的分布函數(shù)為 例二 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求（1）的概率密度；（2）落在區(qū)間的概率.解 （1）（2）有兩種解法： 或者,例三 設(shè)某種型號(hào)電子元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度 現(xiàn)有一大批此種元件（設(shè)各元件工作相互獨(dú)立）,問(wèn)（1） 任取1只,其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？（2） 任取4只,4只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少？（3） 任取4只,4只

8、元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少？解 （1）.（2）各元件工作相互獨(dú)立,可看作4重貝努利試驗(yàn),觀察各元件的壽命是否大于1500小時(shí). 令表示4個(gè)元件中壽命大于1500小時(shí)的元件個(gè)數(shù),則,所求概率為 .(3) 所求概率為.第六部分 偏導(dǎo)數(shù)求法1偏導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x , y)的某鄰域有定義，函數(shù)z在點(diǎn)P(x , y)處對(duì)變量x的偏導(dǎo)數(shù)和對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù)分別定義為= =更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù)2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 對(duì)一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要把其它的自變量都當(dāng)常數(shù)就行了因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則都可用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)3高階偏導(dǎo)數(shù)

9、對(duì)函數(shù)z = f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)就得到高階偏導(dǎo)數(shù)，例如=；= ；= ；=其中、稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)注意：1、更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù)2、計(jì)算法：對(duì)一個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí)，只要把其他自變量都當(dāng)常數(shù)就行求時(shí)，把看作常量，而對(duì)求導(dǎo)數(shù)；求時(shí)，把看作常量，而對(duì)求導(dǎo)數(shù)。例1求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。解法1： , 則 , 解法2： ， 則 主要用于第三章的二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的求導(dǎo)例一 設(shè)(X, Y)的概率密度為求：關(guān)于X 及關(guān)于Y的邊緣概率密度, 并判斷X與Y是否相互獨(dú)立.解：關(guān)于X的邊緣概率密度. 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)或時(shí) , ,所以同理當(dāng)時(shí),所以X與Y不獨(dú)立.第七部分 二重積

10、分的性質(zhì)由于二重積分的定義與定積分的定義是類似的，因而二重積分有與定積分類似的性質(zhì)，敘述于下（假定所出現(xiàn)的二重積分均存在）：性質(zhì)1 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即 (k為常數(shù))特別，令 f (x, y)1，則有（D的面積） 性質(zhì)2 函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即 性質(zhì)3 如果區(qū)域D可以劃分為D1與D2，其中D1與D2除邊界外無(wú)公共點(diǎn)，則=例 1 設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, X在0, 1服從均勻分布, Y的概率密度為求: (1) (X, Y)的概率密度； (2) ; (3) .解: (1)由已知X與Y相互獨(dú)立, (X, Y)的概率密度為 例2 設(shè)的概率密

11、度為求的分布函數(shù). 解: 由定義5知,當(dāng)x>0, y>0時(shí),當(dāng) 時(shí), 例3 設(shè)X的概率密度為 求.解： 例4 設(shè)（X,Y）服從在D上的均勻分布,其中D為x軸, y軸及x+y=1所圍成，求D(X).解: D(X) =.二、 二重積分的計(jì)算按照二重積分的定義計(jì)算二重積分，只對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域是可行的，對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域，這種“和式的極限”是無(wú)法直接計(jì)算的下面我們介紹將二重積分轉(zhuǎn)化為兩次定積分來(lái)計(jì)算的方法，這是計(jì)算二重積分的一種行之有效的方法1X型區(qū)域上二重積分的計(jì)算設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過(guò)D的內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示3），則稱D為X型區(qū)

12、域由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為D：入口曲線出口曲線圖3在區(qū)間a，b上任取一點(diǎn)x，過(guò)點(diǎn)x作與x軸垂直的直線，它與D相交于兩點(diǎn)， ，axb 經(jīng)過(guò)以上兩步計(jì)算，相當(dāng)于在區(qū)域上累加了一遍。因此 （1） 由此可見，二重積分可以化為兩次定積分來(lái)計(jì)算第一次對(duì)變量y積分，將x當(dāng)作常數(shù)，積分區(qū)間是區(qū)域D的下邊界的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的上邊界的點(diǎn)第二次對(duì)x積分，它的積分限是常數(shù)這種先對(duì)一個(gè)變量積分，再對(duì)另一個(gè)變量積分的方法，稱為累次(或二次)積分法公式（1）是先對(duì)y后對(duì)x的累次積分公式，通常簡(jiǎn)記為 2Y型區(qū)域上二重積分的計(jì)算設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過(guò)D的內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示4），

13、則稱D為Y型區(qū)域由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為D： 圖4 利用與前面相同的方法，可得先對(duì)x后對(duì)y的累次積分公式： （2）通常簡(jiǎn)記為 （3）3一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算如果區(qū)域D不屬于上述兩種類型，則二重積分不能直接利用公式(1)、(3)來(lái)計(jì)算這時(shí)可以考慮將區(qū)域D劃分成若干個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域或是X型區(qū)域、或是Y型區(qū)域在每個(gè)小區(qū)域上單獨(dú)算出相應(yīng)的二重積分，然后利用二重積分對(duì)區(qū)域的可加性即可得所求的二重積分值 例1 計(jì)算二重積分其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域。解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則 ，過(guò)作直線平行于軸，交區(qū)域下邊界為，上邊界為，則 解法2. 將D看作Y型區(qū)域

14、, 則 ，過(guò)作直線平行于軸，交區(qū)域左邊界為，右邊界為，則 例2 計(jì)算二重積分，其中D為矩形域D：1x2，0y1解 采用先y后x的積分次序，則注意： 例2中的二重積分若采用先x后y的積分次序，則，函數(shù)xexy先對(duì)x積分時(shí)需要用分部積分法來(lái)計(jì)算，這將使計(jì)算工作量增加（請(qǐng)讀者自己完成，作一比較）由此可見，計(jì)算二重積分要根被積函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序例3 計(jì)算積分，其中D是由拋物線y2 = x和直線y = x2所圍成的閉區(qū)域xyy=x-222O-1y2=x解 ：易求拋物線y2 = x和直線y = x2的交點(diǎn)為 （1，-1）和 （4，2） 積分區(qū)域如圖示5所示D看作Y型區(qū)域, 采用先x后y的積分次序，則將

15、區(qū)域D表示為D：y2xy+2，1y2故有 圖5注意 本例若D看作X型區(qū)域，采用先y后x的積分次序，由于區(qū)域D的下邊界曲線需要用分段函數(shù)表示：當(dāng)x0，1時(shí)，；當(dāng)x1，4時(shí)，將D劃分為D1、D2兩個(gè)部分區(qū)域(如圖6)，其中 xyy=x-221O-1y2=xD2D14D1：；D2：由此可利用二重積分的區(qū)域可加性計(jì)算此積分：圖6 將D1、D2的表示式代入上式化為兩個(gè)累次積分后可計(jì)算出積分結(jié)果顯然，這次序比較麻煩例4 設(shè)D是由y = x2, y =x和 x = 1所圍成的閉區(qū)域，將二重積分I =化為累次積分（兩種次序）解 區(qū)域D如圖示7所示（1）將D看作Y型區(qū)域, 先x后y: D應(yīng)表為D = D1D2，其中D1：； D2：故 （2）將D看作X型區(qū)域, 先y后x：D應(yīng)表為：xyx2，0x1故xyy=x11圖7bO-1y=x2Dxyy=x11圖7aO-1y=x2D1D2例5 計(jì)算二重積分，其中D是由直線y = x, y = 1與y軸圍成的閉區(qū)域解 積分區(qū)域D如圖示7我們選取先x后y的積分次序?qū)表示為：yy=x11x圖8D：0xy，0y1故有注意：若先對(duì)y積分后對(duì)x積分，由于函數(shù)對(duì)變量y的原函數(shù)不能表為初等函數(shù)，第一步的積分將無(wú)法計(jì)算小結(jié)